2020中考数学相似三角形压轴题

相似三角形中考压轴试题

一、选择题

1. （2014年江苏宿迁3分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P 为AB 边上一动点，若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是【】

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

二、填空题

1.（2015贺州）如图，在△A BC 中，AB =AC =15，点D 是BC 边上的一动点（不与B 、C 重合），∠ADE =∠

B =∠α，DE 交AB 于点E ，且tan ∠α=34．有以下的结论：①△ADE ∽△ACD ；②当CD =9时，△ACD 与△DBE 全等；③△BDE 为直角三角形时，BD 为12或214；④0＜BE ≤245，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．

三、解答题

1. （2014年福建三明14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+4与x 轴的一个交点为A （﹣2，0），与y 轴的交点为C ，对称轴是x=3，对称轴与x 轴交于点B ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）经过B ，C 的直线l 平移后与抛物线交于点M ，与x 轴交于点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M 的坐标；

（3）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2. （2014年湖北十堰12分）已知抛物线C 1：()2

y a x 12=+-的顶点为A ，且经过点B （﹣2，﹣1）．

（1）求A 点的坐标和抛物线C 1的解析式；

（2）如图1，将抛物线C 1向下平移2个单位后得到抛物线C 2，且抛物线C 2与直线AB 相交于C ，D 两点，求S △OAC ：S △OAD 的值；

（3）如图2，若过P （﹣4，0），Q （0，2）的直线为l ，点E 在（2）中抛物线C 2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m 过点C 和点E ．问：是否存在直线m ，使直线l ，m 与x 轴围成的三角形和直线l ，m 与y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m 的解析式；若不存在，说明理由．

3. （2014年湖南郴州10分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm ，AD 是斜边BC 上的高，垂足为D ，BE=1cm ．点M 从点B 出发沿BC 方向以1cm/s 的速度运动，点N 从点E 出发，与点M

同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？

（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．

（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？

4.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．

（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；

（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；

（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？

5. （2014年湖南益阳12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．

（1）求AD的长；

（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．

6. （2014年内蒙古呼伦贝尔13分）以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：

（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△COB的形状，并证明你的结论；

（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长；

（3）当点E在线段OA上时，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．

7. （2014年山东日照14分）如图1，在菱形OABC中，已知OA=23，∠AOC=60°，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）经过O，C，B三点．

（1）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．

（2）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线AG上．

①当OP+PC的最小值时，求出点P的坐标；

②在①的条件下，连接PE、PF、EF得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C为顶点的三角形与△PEF相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

8. （2014年山东威海12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．

9. （2014年宁夏区10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB,垂足为Q，连接AP．

（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；

（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；

（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AOP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．

10．（2014年新疆区、兵团12分）如图，直线

y x8

=-+与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从

A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．

（1）写出A，B两点的坐标；

（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．11．（2014年新疆乌鲁木齐14分）2的正方形ABCD的顶点A、B 在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．

（1）求证：△OAD≌△EAB；

（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；

（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．

12．（2014年云南省9分）已知如图平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，矩形ABCD 是顶点坐标分别为A （3，0）、B （3，4）、C （0，4）．点D 在y 轴上，且点D 的坐标为（0，﹣5），点P 是直线AC 上的一动点．

（1）当点P 运动到线段AC 的中点时，求直线DP 的解析式（关系式）；

（2）当点P 沿直线AC 移动时，过点D 、P 的直线与x 轴交于点M ．问在x 轴的正半轴上是否存在使△DOM 与△ABC 相似的点M ？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P 沿直线AC 移动时，以点P 为圆心、R （R ＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P ．若设动圆P 的半径长为AC 2，过点D 作动圆P 的两条切线与动圆P 分别相切于点E 、F ．请探求在动圆P 中是否存在面积最小的四边形DEPF ？若存在，请求出最小面积S 的值；若不存在，请说明理由．

13．（2014年浙江湖州12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，以P （1，1）为圆心的⊙P 与x 轴，y 轴分别相切于点M 和点N ，点F 从点M 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF ，过点PE ⊥PF 交y 轴于点E ，设点F 运动的时间是t 秒（t ＞0）

（1）若点E 在y 轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF ；

（2）在点F 运动过程中，设OE=a ，OF=b ，试用含a 的代数式表示b ；

（3）作点F 关于点M 的对称点F′，经过M 、E 和F′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q ，连接QE ．在点F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q 、O 、E 为顶点的三角形与以点P 、M 、F 为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．

14. （2013年山东日照14分）已知，如图(a)，抛物线2y ax bx c =++经过点A(x 1，0)，B(x 2，0)，C(0，－

2)，其顶点为D.以AB 为直径的⊙M 交y 轴于点E 、F ，过点E 作⊙M 的切线交x 轴于点N 。∠ONE=30°，12x x 8-=。

（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

（2）连结AD 、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P ，使得△ABP 与△ADB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图（b ）,点Q 为EBF 上的动点（Q 不与E 、F 重合），连结AQ 交y 轴于点H ，问：AH·AQ 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

15. （2013年贵州黔西南16分）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D 的坐标．

（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A 为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

16. （2013年福建南平14分）如图，已知点A（0，4），B（2，0）．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x﹣m）2+n与线段OA交于点C．

①求线段AC的长；（用含m的式子表示）

②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．

17. （2013年云南曲靖12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式．

（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．

（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．18. （2013年云南红河9分）如图，抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．

（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；

（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；

（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

19. （2013年新疆乌鲁木齐14分）2的正方形ABCD的顶点A、B 在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．

（1）求证：△OAD≌△EAB；

（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；

20.（2013年广西百色10分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，直径AB左侧的半

圆上有一点动点E （不与点A 、B 重合），连结EB 、ED 。

（1）如果∠CBD ＝∠E ，求证：BC 是⊙O 的切线；

（2）当点E 运动到什么位置时，△EDB ≌△ABD ，并给予证明；

（3）若tanE ＝33，BC ＝3

34，求阴影部分的面积。（计算结果精确到0.1) (参考数值：π≈3.14,

2≈1.41，3≈1.73) 21. （ 2013年广西贵港11分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c 交y 轴于点C （0，4），对称轴x=2与x 轴交于点D ，顶点为M ，且DM=OC+OD ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设点P （x ，y ）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若经过点P 的直线PE 与y 轴交于点E ，是否存在以O 、P 、E 为顶点的三角形与△OPD 全等？若存在，请求出直线PE 的解析式；若不存在，请说明理由．

22. （2015福建漳州）如图，在OABC 中，点A 在x 轴上，∠AOC=60o ，OC=4cm ．OA=8cm ．动点P 从点O 出发，以1c m ／s 的速度沿线段OA→A B 运动；动点Q 同时．．

从点O 出发，以 a c m ／s 的速度沿线段O C →C B 运动，其中一点先到达终点B 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．

(1)填空：点C 的坐标是(______，______)，对角线OB 的长度是_______cm ；

(2)当a=1时，设△OPQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出当t 为何值时，S 的值最大?

(3)当点P 在OA 边上，点Q 在CB 边上时，线段PQ 与对角线OB 交于点M.若以O 、M 、P 为顶点的三角形与△OAB 相似，求a 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围．

23.如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处．分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax 2+bx+c 经过O ，D ，C 三点．

（1）求AD 的长及抛物线的解析式；

（2）一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似？

（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

24.如图，已知二次函数

y(x2)(ax b)

=++的图像过点A(－4，3），B(4，4).

（1）求二次函数的解析式：

（2）求证：△ACB是直角三角形；

（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

25. （2015钦州）如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG 上的一个动点（点A与点B不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．

（1）用含t的式子表示点E的坐标为_______；

（2）当t为何值时，∠OCD=180°？

（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．