《集合与常用逻辑用语》单元测试题(文科)(最新整理)

《集合与常用逻辑用语》单元测试题（文科）

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符号题目要求的。)

1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N}与B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N}，

则正确表示集合A 、B 关系的韦恩(Venn)图是(　A )

2．已知集合M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，N ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R}，则

M ∩N 等于(　D )

A ．(0,1)，(1,2)

B ．{(0,1)，(1,2)}

C ．{y |y ＝1或y ＝2}

D ．{y |y ≥1}3.若集合A ＝{x ||2x －1|<3}，B ＝{x |

<0}，则A ∪B 是(　C )2x ＋13－x A ．{x |－13}D ．{x |－

4．设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若α∥β，l ?α，m ?β则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ?β，则α⊥β.则下列命题为真命题的是(　B )

A ．p 或q

B ．?p 或q

C ．p 且q

D ．p 且?q

5．在△ABC 中，“·＝·”是“||＝||”的(　A)AB → AC → BA → BC → AC → BC →

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

6．下列结论错误的是(　D )

A ．命题“若p ，则q ”与命题“若?q ，则?p ”互为逆否命题

B ．命题p ：?x ∈[0,1]，e x ≥1，命题q ：?x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则p ∨q 为真

C ． 若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题

D ．“若am 2

7．“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0”的否命题是(D )

A ．若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－(a ＋b )x ＋ab ＝0.

B ．若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0.

C ．若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0.

D ．若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－(a ＋b )x ＋ab ＝0.

8．命题p ：?x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≤1，则(B )

A ．p 是假命题，?p ：?x 0∈[0，＋∞)，(log 32)x 0>1

B ．p 是真命题，?p ：?x 0∈[0，＋∞)，(log 32)x 0>1

C ．p 是假命题，?p ：?x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≥1

D ．p 是真命题，?p ：?x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≥1

9．非空数集{}*123n A a a a a n =∈N ，，，，()中,所有元素的算术平均数记为E A (),即

123n a a a a E A n

++++= ().若非空数集B 满足下列两个条件:①B A ?;②E B E A =()(),则称B 为A 的一个“保均值子集”.据此,集合{}12345，，，，的“保均值子集”有

（　C ）

A ．5个

B ．6个

C ．7个

D ．8个

10记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC ?的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为

max{,,}min{,,},a b c a b c t b c a b c a

=?则“t=1”是“ABC ?为等边三解形”的B

A.充分布不必要的条件

B.必要而不充分的条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要的条件

二、填空题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把正确答案填在题中横线上)

11．已知命题甲：a ＋b ≠4，命题乙：a ≠1且b ≠3，则命题甲是命题乙的________条件．　既不充分也不必要

12. 已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(?U A )∪(?U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为　m －n

13．已知集合A 满足条件：当p ∈A 时，总有∈A (p ≠0且p ≠－1)，已知2∈A ，则集－1p ＋1

合A 中所有元素的积等于___1

14．函数f (x )＝log a x －x ＋2(a >0且a ≠1)有且仅有两个零点的充要条件是___ a >1_____．

15. 设函数f (x )＝x 2－2x ＋m .

(1)若?x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立， m 的取值范围 m ≥1 ；

(2)若?x ∈[0,3]，f (x )≥0成立， m 的取值范围 m ≥-3 ．16. 设A ＝{x |<0}，B ＝{x ||x －b |

取值范围是___(－2,2)_____．

17．方程＋＝1表示曲线C ，给出以下命题：x 24－t y 2

t －1

①曲线C 不可能为圆；②若1

③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；

④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1

其中真命题的序号是___　③④___(写出所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共5个小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18．(本小题满分12分)求方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负实数根的充要条件．

解：方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一负根．

当a ＝0时，x ＝－适合条件．12

当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根，

则Δ＝4－4a ≥0，∴a ≤1，

当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1.

当a <1时，若方程有且仅有一负根，则<0，∴a <0.1a

综上，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.

19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是R 上的增函数，a 、b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．”

(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

[解析]　(1)逆命题是：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0，真命题．

用反证法证明：设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，∵f (x )是R 上的增函数，

∴f (a )

∴f (a )＋f (b )

(2)逆否命题：若f (a )＋f (b )

由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真．

∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a ，又∵f (x )在R 上是增函数，

∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )．∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，∴原命题真，故逆否命题为真．

20．(本小题满分13分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}．

(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；

(2)若A ??R B ，求实数m 的取值范围．

[解析]　A ＝{x |－1≤x ≤3} B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．

(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴Error!，Error!，∴m ＝2.

(2)?R B ＝{x |x m ＋2}A ??R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1.

∴m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是m >5或m <－3.

21(本小题满分14分).已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 且q 为假，求实数a 的取值范围．

解：若p 真，则f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，

∴0<2a －6<1，∴3

若q 真，令f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足Error!，

∴Error!，故a >，52

又由题意应有p 假或q 假

若p 假则或a ≥，若q 假，则，3a ≤7252

a ≤故a 的取值范围是{a |a ≤3或a ≥}．72

22．(本小题满分14分) 已知p ：2x 2－9x ＋a ＜0，q ：Error!且?p 是?q 的充分条件，求实数a 的取值范围．

解析：　由Error!得Error!即2＜x ＜3.

∴q ：2＜x ＜3.

设A ＝{x |2x 2－9x ＋a ＜0}，B ＝{x |2＜x ＜3}，

∵?p ??q ，∴q ?p .∴B ?A .

∴2＜x ＜3含于集合A ，

即2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0.

设f(x)＝2x2－9x＋a，

要使2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0，需Error!即Error!∴a≤9.

故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．