平衡条件的推论及其应用87378

平衡条件的推论及其应用

白灿然

物体的平衡状态是指物体处于静止或匀速直线运动状态，即物体的加速度为零。由牛顿第二定律可知物体的平衡条件是物体所受的合外力F

合

0，这一条件也是解决平衡问题的基本依据。在这个基本结论的基础上，我们可以得到一些推论，掌握这些推论，将会给解题带来很大的方便。

推论1：若物体受到几个力作用而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余几个力的合力构成一对平衡力。

例1. 如图1所示，某个物体在F1、F2、F3和F4四个共点力的作用下处于静止状态，若F4沿逆时针方向转过60 而保持其大小不变，其作三个力的大小和方向均不变，则此时物体所受的合力大小为（）

图1

A. F

4

2

B.

3

24

F C. F

4

D. 34F

解析：物体受到四个力的作用而平衡，则其中一个力F4与余下的三个力F1、F2、F3的合力应等大，反向。当F4沿逆时针方向转过60 而保持其大小不变时，F1、F2、F3的合力大小仍为F4，方向与F4成120 角。由平行四边形定则可知，此时物体所受合力大小为F4，故正确答案为C项。

推论2：当物体受到三个力作用而平衡时，这三个力必在同一平面内，且这三个力的作用线或作用线的延长线必相交于一点，这就是三力汇交原理。

例2. 如图2所示，AB为一不均匀直杆，长为l，将它用两根细绳拴住两端后悬挂于同一点O，当AB在水平方向平衡时，两绳与AB的夹角分别为30 和60 ，求杆的重心距B端的距离。

图2

解析：以AB 杆为研究对象，它共受到三个力的作用，即重力G 和两绳对它的拉力F AO 、F BO 。

当物体受到三个力的作用而平衡时，三个力的作用线必相交于同一点，因为F AO 和F BO 相交于O 点，故杆受到的重力的作用线也必过O 点。由于AB 杆是水平的，过O 点作AB 杆的垂线相交于C ，则C 即为AB 杆的重心。

由三角函数关系可得：

BO AB l ==

sin302 BC BO l ==cos604

即AB 杆的重心距B 端的距离为

l 4。

推论3：当物体受到三个共点力作用而处于平衡时，某个力的大小与另两个力所成角的正弦之比为常数，这一结论称为拉密定理。

例3. 如图3所示，一根均匀轻绳AB 的两端系在天花板上，在绳上一点C 施加一拉力F ，逐渐增大F ，为使AC 、BC 两段绳同时断裂，则拉力F 与AC 绳间的夹角α应为多少？

图3

解析：AB 是一根均匀轻绳，AC 、BC 两段绳能承受的最大拉力T 相同。由于已知?ABC 各角度，因此可利用拉密定理来解题。

以C 点为研究对象，它受到拉力F 及AC 、BC 绳对它的拉力。设当两绳同时被拉断时，AC 、BC 绳中的拉力都为T ，则由拉密定理得

F ACB T T ACB sin sin sin()

∠==--∠αα360 将∠=-+=ACB 180405090

()代入上式解得α=135