九年级数学上册 第23章 解直角三角形 23.2 解直角三角形及其应用 第2课时 仰角、俯角问题同步

23.2 第2课时仰角、俯角问题

知|识|目|标

通过对实际问题的分析，了解仰角、俯角的定义，并能利用仰角、俯角的定义计算物体的高度．

目标会运用解直角三角形解决仰角、俯角问题

例1 ［教材补充例题］［xx·南通改编］热气球探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100 m．按照下列步骤，求这栋楼的高度(计算结果保留根号)．

图23－3－4

(1)由题意可知，在Rt△ABD中，∠BAD＝________，AD＝________m，则BD＝________m；

(2)在Rt△ACD中，∠CAD＝________．根据正切的定义，tan∠DAC＝CD

AD，则CD＝AD·tan∠DAC＝________m，∴BC＝BD＋CD＝________m.

综上所述，这栋楼的高度为________m.

例2 ［高频考题］［xx·荆门金桥］学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高．如图23－2－5，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°.已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶的坡角为30°，且点E，F，D在同一直线上．求旗杆AB的高．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，

3≈1.73)

图23－2－5

【归纳总结】视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和测量点到物

体的水平距离，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．

知识点一 俯角和仰角的概念

在进行高度测量过程中，视线与水平线会形成一个夹角，当视线在水平线______时这个夹角叫做仰角； 当视线在水平线______时这个夹角叫做俯角.

如图23－2－6所示，∠1是仰角，∠2是俯角．

图23－2－6

[点拨] (1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．

知识点二 解直角三角形——俯角、仰角问题

利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题，通常借助视线、水平线、铅垂线构成的直角三角形进行解答．

如图23－2－7所示，直升机在大桥AB 上方的点P 处，此时飞机离地面的高度为a m ，A ，B ，O 三点在一条直线上且PO ⊥AB 于点O ，测得点A 的俯角为α，点B 的俯角为β，求大桥AB 的长度．

图23－2－7

解：在Rt △POA 中，∵∠APO ＝α，tan ∠APO ＝OA

OP

，∴OA ＝OP ·tan α.在Rt △POB 中，

∵∠BPO ＝β，tan ∠BPO ＝

OB

OP

，∴OB ＝OP ·tan β，∴AB ＝OA －OB ＝OP (tan α－tan β)＝a (tan α－tan β)m.

上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程．

教师详解详析

【目标突破】

例1(1)45°100 100 (2)60°100 3 100(1＋3) 100(1＋3)

例2[解析] 设AM＝x.过点C作CM⊥AB于点M，则MC＝AM.在Rt△AEF中，用含x 的式子表示EF.在Rt△CFD中，求出FD，从而根据ED＝MC列方程求出x，由此可求出AB 的长．

解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，则四边形CMED是矩形，且△AMC是等腰直角三角形．

设AM＝x，则ED＝MC＝AM＝x，AE＝AM＋ME＝AM＋CD＝x＋3.

在Rt△AEF中，EF＝AE

tan∠AFE＝x＋3 3

.

在Rt△CFD中，FD＝CD

tan∠CFD＝3 3.∵ED＝MC，

∴x＋3

3

＋3 3＝x.

解得x＝6 3＋6，

∴AB＝AM＋ME－BE＝6 3＋6＋3－1＝6 3＋8≈6×1.73＋8≈18.4(米)．

答：旗杆AB的高约为18.4米．

【总结反思】

[小结] 知识点一上方下方

[反思] 不正确．本题错在把从点P观测点A的俯角误认为是∠APO，从点P观测点B 的俯角误认为是∠BPO，只有弄清俯角的定义才能避免这类错误．

正解：根据题意，得∠CPA＝α，∠BPC＝β，∴∠PAO＝α，∠PBO＝β.

在Rt△POA中，∵tan∠PAO＝OP OA

，

∴OA＝OP

tan∠PAO＝a

tanαm.

在Rt△POB中，∵tan∠PBO＝OP

OB

，

∴OB＝OP

tan∠PBO＝

a

tanβm，

∴AB＝OA－OB＝(a

tanα－

a tanβ)m.

课堂反馈(三十三)

1．7tanα

2．1200 3 [解析] 由题意可知∠BAC＝60°，则BC＝AC·tan∠BAC＝1200×3＝1200 3(m)．

3．3(3－1) [解析] 由题意可知，△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝AB＝3 m．在Rt △ACD中，AC＝AD·tan∠CDA＝3×tan60°＝3 3(m)，∴BC＝AC－AB＝3 3－3＝3(3－1)m.

4．解：过点C作CE⊥AB于点E.在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BE＝CD＝5 m，∴∠CBE＝60°.根据正切的定义，得CE＝BE·tan∠CBE＝5 3 m.

由题意可知，△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝CE＝5 3 m，∴AB＝AE＋BE＝5(3＋1)m.故大树的高度为5(3＋1)m

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