两时期CAPM模型

两时期CAPM 模型

一、模型假设

z 只有现在和未来两个时刻，现在是确定的，未来是不确定的； z 假定市场中有n 种风险资产，其未来价格是n 个随机变量12,,,n x x x ； z 第0种资产是无风险资产，其未来价格0x 是确定值；

z 假设n ＋1种资产的当前价格为0()p x ，12(),(),,()n p x p x p x 。这n+1

种资产的投资组合可用n+1维向量01(,,,)n θθθθ= 来表示。那么投资组合的当前价格为

0011()()()n n p p x p x p x θθθ=+++

投资组合的未来价格为

0011n n y x x x θθθ=+++

z 假设有一个投资者，当前的财富禀赋为0ω，未来的财富禀赋为1ω。投

资者在现在时刻还持有一个初始资产组合0001(,)n θθθ=…。他的效用是用当前消费0z 和未来消费1z 的期望效用函数01(,)u z z 来衡量的。投资者可以用禀赋购买金融资产，也可以卖掉初始的投资组合，构造新的投资组合，从而跨期分配消费而达到效用最大化，因此，他面临的最优资产选

择问题如下：求当前消费0z 和投资（持有）组合111

1(,)n θθθ=…，使得01(,)E u z z ????达到最大。更确切地说，问题可表述为：求资产组合θ，使

得

()()01

1

001110

max ,.. ()

n

k k k k n k k

k E u z z S t z p x z x ωθθωθ==????

=??=+∑∑ （1.1）

这里第一个等式是确定量的等式，第二个等式是随机量的等式，由此出

发来推导著名的资本资产定价模型（CAPM ）。

二、均值方差假设

z 为导出CAPM ，需要假定()()

01011,,,E u z z v z E z Var z ??????=??????

，即效用函数只与现在消费以及未来消费的均值和方差有关（均值-方差形式）。马科维茨在他的资产组合选择理论中（Markowitz ，1952），开始时没有使用期望效用函数，而仅以组合收益率的均值和方差来衡量组合收益的优劣，即只提出所谓“均值-方差准则”。托宾（Tobin ，1958）发现在以下两个假设下，都可使期望效用函数变为均值-方差形式，即（1）运用二次效用函数；（2）假定随机变量服众正态分布。

z 在这样的假定下，如果再假定1ω是常数，那么问题（1.1）可以表达为

均值方差效用的形式。由于

[]1

10

n

k k z k E x μθ==∑

1

2

111111

,1

,,n n

n

j k

j k j k j k z j k j k Cov x x Cov x x σθθθθ===????==

????∑∑∑

这样，问题（1.1）变为：求资产组合1θ，使得

()

()()

[]

1111020001

10211

,1

max ,,.. ,z z n

k k k k n

k k z k n j k j k z j k v z S t z p x E x Cov x x μσωθθμθσθθ====+?=??=

??

∑∑∑ （1.2）

为简化表述，记(,,)v v x y z =，它对三个变量的偏导数分别记为,,x y z v v v 。要求0,0,0x y z v v v >><,它们分别意味着：“现在时刻消费越多效用越大”；“未来时刻消费越多效用越大”；“未来消费的风险越小越好”。

三、个体最优状态的性质

问题（1.2）的拉格朗日函数为

1

11

,1

00

10

(,[],cov[,])

(()())

n

n

k k j k j k k j k n n

k

k k

k k k L v z E x x x p x z p x θθθλωθθ=====++??∑∑∑∑

根据一阶条件，问题（1.2）的解（1θ）满足以下条件（？？）：

111102002(,,)(,,)

x z z y z z v z r v z μσμσ=

（1.3）

1111020021

(,,)[]2

()cov[,]0,1,...,(,,)

n

z z z j k k k j k y z z v z E r r p x r r j n v z μσθμσ=?+==∑ （1.4） 其中，0z ，z 为对应1θ的0z ，1z ；1,...,n r r 分别为各金融资产的收益率。

四、市场均衡时的资产组合

如果市场上共有I 个“同质”的投资者，即他们各自有禀赋0i ω，资产组合0

i θ和效用函数i v ；每个投资者面临着金融资产的选择问题：

()()()

[]

11110200010

10211

,1

max ,,..

,i i i i i i z z n

i i i i k k k k n

i k k z k n

i i j k j k z j k v z S t z p x E x Cov x x μσωθθμθσθθ====+?=??=

??

∑∑∑ （1.5）

投资者各自作出最优选择1

i θ

，如果市场上资产价格使得资产的需求等于供给，

即011

1

,0,1,...,I

I

i i k

k i i k n θ

θ====∑∑，那么称市场达到均衡。为简单起见，我们直

接假设在这种情况下均衡存在。

由式（1.4），可得

1

1()cov[,],

1,,n

i i j k k k j k E r r A p x r r j n θ=???==??∑

（1.6）

其中，由式（1.3），

1111

020

2(,,)

2

0(,,)

i

z i z z i y

z z v z A v z μσμσ=?>

把式（1.6）写成矩阵形式，则可得

[]()1

0, 1,,i

E r r e AV p x i I θ?==

其中

[][][]()()

1,,1,,1T

T

n E r E r E r e ==

()()

(

)

1

1

11

1(),,T i i i n

n p x p x p x θθθ=

()()

,1,,,1,,,jk j k j k n j k n V V Cov r r ==??==??

因此

()[]()1

10, 1,,i i

A p x V E r r e i I θ?=?=

（1.7）

上式右端与i 无关，从而可得

()()()112111

2

,1,,I I

k

k

k

k k k A p x A p x A p x k n θθθ==== （1.8）

令

()()111

/, 1,,n

i i i k k

k

k k k p x p x k n ωθθ===∑

这是第i 个投资者的最优组合中的第k 种风险资产的价值在其持有资产总价值中

所占的比重。那么由式（1.6）可得

()()110

1

1

11,,i n

n

i i i

k

j k k k j k k n

i i

k k j k E r r A p x Cov r r A p x Cov r r θθωθ===?????=????????

=??????

∑∑∑ （1.9）

其中1

1

i n

i

k k k r

r

θω==∑，由上式可得

()

()110111

,n

n n i i

i

i

k j

j k j j j k j E r r A p x Cov r r θωθω===???????=????????∑∑∑

因为

()

1

001

i n

i j j j E r r E r r θω=?????=?????

∑ (

)1

1

1

1

1

,,i i i n

i j j j Cov r r Cov r r Var r θθθθ

ω=????==???

?

∑

由此即得

()

11101()/i n

i i

k k k A p x E r r Var r θθθ=??????=?????????

∑

带入（1.9）我们有

()

11100,i i j j Cov r r E r r E r r Var r θθ?????????=?????????

对于固定的k ，所有i

k ω都相等，并且都等于市场组合相应的比例系数M k ω。事实上，由式（1.7），我们可得

[]()1101(),

1,,n

i i

i k k k A p x V E r r e i I θω?=??=?=????

∑

其中()

1,,T i

i i n

ωωω=

。但是由式（1.8），11()n i

k k k A p x θ=??

????

∑与i 无关。因此，

i ω与i 无关，即对于固定的k ，所有i k ω都相等。另一方面，

()()()()()0

1

1

1

1

1111

11

11

11

1111

11()()()I

I

i i k k k k M i i k n I

n I

i i k k k k k i k i I

n

n

I

i i i k k k k k i i

i k i k k k n

I n I i i k k k k k i k i p x p x p x p x p x p x p x p x θθωθθωθθωωθθ===============

=

=

==∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

这样，对于任何资产i ，1i m r r θ=，因而可得

这就是资本资产定价模型（CAPM ）的经典形式，是用均衡定价的思想构造模型来推出资本资产定价模型。我们从研究单个投资者的消费－投资决策出发，在市场均衡的条件下获得了均衡的定价关系：风险溢价是定价的核心，投资者对不可分散的风险要求相应的回报，风险暴露程度高（β值高）的金融资产期望收益也高。

需要注意的是上，以上CAPM 的建模主要包括如下假设：第一，完全竞争的市场，即市场上存在着大量的投资者，每个投资者的财富相对财富总和来说均微不足道，投资者是价格的接受者，单个投资者的交易行为对股票价格不产生影响；第二、两时期的决策模型，即只有现在和未来两个时期，投资者根据对未来的预期来形成现在的决策；第三、不考虑交易成本和税收影响；第四、投资人追求期望效用最大化，效用函数需要是“均值－方差效用函数” ；第五、同质性信念假设，即投资者关于股票收益率的概率分布预期是一致的。