三角函数高考大题汇编一
三角函数恒等变换
【高考考情解读】 1.从近几年的考情来看，对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点2.分析近年考情可知，命题模式一般为1～2题，其中，选择(填空)题多为低档题，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和差角与倍角公式等．解答题则主要考查三角函数的图像与性质、三角函数的恒等变换、解三角形、向量与三角函数综合问题、三角函数的实际应用，一般出现在前两个解答题的位置，难度中等．3.高考常设置必考1个解答题，或者再加上1个客观题，约合12-17分。
【考查形式】 1.三角恒等变换是高考的热点内容，在解答题中多作为一种化简工具考查，其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点。
2.三角函数的图像与性质是高考考查的另一个热点，侧重于对函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的周期性、单调性、对称性以及最值等的考查，常与其他知识交汇以解答题的形式考查，难度中等．
3.正弦定理、余弦定理以及解三角形的问题是高考的必考内容．在解答题中主要考查：(1)边和角的计算；(2)面积的计算；(3)有关范围的问题．由于此内容应用性较强，解三角形的实际应用问题也常出现在高考解答题中等.
1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α??
??α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．六组诱导公式 角 函数 2k π＋α(k ∈Z )
π＋α －α π－α π
2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
对于角“k π
2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”
是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．”
3.常用角的弧度和正余弦、正切函数值
θ 0° 30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
α
0 6
π 4π 3π 2
π 23
π 34
π 56
π π
sin α 0 12
22
32
1 1
2 22
32
0 cos α 1 32 22
12
0 32- 22
- 12
- 1 tan α 0
33
1
3
33
-
-1
3-
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数
y ＝sin x
y ＝cos x
y ＝tan x
图象
定义域 R R xx ∈R 且x ≠π
2
＋k π，k ∈Z
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
?
?
2k π－π2，π2＋
2k π(k ∈Z )上递增；
?
?
2k π＋π2，3π2＋
2k π(k ∈Z )上递减 [2k π－π，2k π](k ∈Z )上递增；[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上递减
?
?
k π－π2，π2＋
k π(k ∈Z )上递增
最值
x ＝π
2
＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π
2＋2k π(k
∈Z )时，y min ＝－1
x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数 对称 中心 (k π，0)(k ∈Z )
???
?π2＋k π，0(k ∈Z ) ???
?k π2，0(k ∈Z )
对称轴 方程 x ＝π
2
＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )
周期
2π
2π
π
研究三角函数图像与性质的常用方法
(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化
简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后再求解．
(2)对于形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2
＋b
2
sin(ωx ＋φ)?
? cos φ＝a a 2＋b 2，
?
??
sin φ＝
b
a 2
＋b 2
的形式来求．
1．求三角函数的最小正周期
(1)周期函数的定义：一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期．
(3)首先利用两角和差正余弦公式、二倍角公式、常用角函数值、辅助角公式等化简成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的形式，则最小正周期T=
2π
ω
。
2、求三角函数的单调区间时应注意以下几点：
(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作是一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )求得函
数的减区间．
(2)形如y ＝A sin(－ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y ＝－A sin(ωx －φ)，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤
3π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的增区间．
(3)求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误．
(4)对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等，函数的单调区间求法与y ＝A sin(ωx ＋φ)类似． 3、求三角函数的对称轴、对称中心
(1)利用两角和差正余弦公式、二倍角公式、常用角函数值、辅助角公式等化简成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的对称轴、对称中心，基本思路是把ωx ＋φ看作是一个整体，y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的对称轴的求法是，令ωx ＋φ=π
2＋k π(k ∈Z )，然后求出x 的对称轴；
对称中心令ωx ＋φ=k π(k ∈Z )，然后求出x 的对称中心。
(2)对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等，函数的单调区间求法与y ＝A sin(ωx ＋φ)类似． 4、三角函数形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像平移变换 (1)确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，|φ|<π)中的参数的方法：
在由图象求解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m
2，ω由周期T
确定，即由2π
ω
＝T 求出，φ由图像中的特殊点确定．
(2)由y＝sin x的图象变换到y＝A sin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变
换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|
ω(ω>0)
个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是于ωx加减多少值．
（1）先平移后调频把y＝sin x的图象变换到y＝A sin(ωx＋φ)的图象
（2）先调频后平移把y＝sin x的图象变换到y＝A sin(ωx＋φ)的图象
两种平移变换的对比：
5、求三角函数恒等变换的值域
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋h 的形式或y ＝Acos(ωx ＋φ)＋k 的形式．
第二步：根据题设条件求出y ＝Asin(ωx ＋φ)＋h 中有关的参数．
第三步：由x 的取值范围确定ωx ＋φ的取值范围，再确定sin(ωx ＋φ)的取值范围． 第四步：求出所求函数的值域(或最值)． 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β；
(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；
(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α
1－tan 2α.
3．常用的公式变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin （α±
4
π
）
3．三角恒等变换的常见形式：一是化简，二是求值，三是三角恒等式的证明．
(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解；
(2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解；
(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．
注： 1.两角和与差的三角函数公式的理解：
(1)正弦公式概括为“正余、余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．
(2)余弦公式概括为“余余、正正符号异”．
(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”，变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
考点 三角函数的化简与求值 [方法规律总结]
1．三角函数的化简求值题一般先将三角函数式化简，再求值．其中常用到两角和差正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式等，有时会考察同角三角函数恒等式、诱导公式。
2．讨论三角函数的性质(求周期、求单调区间、求最值等)的题目，一般先运用三角公式化（两角和差正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式）简函数表达式，再依据正弦型或余弦型函数的性质进行讨论．
3．三角变换的基本策略：(1)1的变换；(2)切化弦；(3)升降次；(4)引入辅助角；(5)角的变换与项的分拆. [三角函数化简技巧]
1、凡是遇到sinx,cosx 的二次项，都采用降次
2、凡是遇到两角和形如cos(2x+π
3)，都是先拆项再组合的方式处理，如(2013·湖南高考)。
3、凡是遇到三角形的角的组合，多用两角和正余弦公式和三角形内角和公式。
已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间????－π6，π
2上的最大值和最小值． 解：(1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin 2x ， ∴函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵－π6≤x ≤π
2
，
∴－π3≤2x ≤π，则－3
2
≤sin 2x ≤1.
所以f (x )在区间????－π6，π2上的最大值为1，最小值为－3
2. 12．(2012·北京高考)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x
sin x .
(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间． 解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x
sin x
＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ?
???2x －π
4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为????2k π－π2，2k π＋π
2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π
2，x ≠k π(k ∈Z )，
得k π－π8≤x ≤k π＋3π
8
，x ≠k π(k ∈Z )．
所以f (x )的单调递增区间为????k π－π8，k π和????k π，k π＋3π
8(k ∈Z )． 设函数f (x )＝cos ????2x ＋π
3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；
(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ????C 2＝－1
4，且C 为锐角，求sin A .
【解】 (1)f (x )＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12cos2x －32sin2x ＋12－1
2cos2x
＝12－3
2
sin2x .
所以，当2x ＝－π2＋2k π，即x ＝－π
4＋k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值，f (x )最大值＝1＋32
，
f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π，故函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.
(2)f ????C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14，解得sin C ＝3
2
， 由cos B ＝13得sin B ＝223.因此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )
＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋3
6.
（2010广东理数）16、（本小题满分14分）
已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ??π=+>∈-∞+∞<<在12
x π
=时取得最大值4．
(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (
23α +12π)=12
5
,求sin α．
3sin(2)25πα+=，3cos 25α=，2312sin 5α-=，21
sin 5
α=，5sin 5α=±． [例1] (2013·北京高考)已知函数f (x )＝(2cos 2
x －1)sin 2x ＋12cos 4x .
(1)求f (x )的最小正周期及最大值；
(2)若α∈? ????π2，π，且f (α)＝22，求α的值． [解答] (1)因为f (x )＝(2cos 2
x －1)sin 2x ＋12
cos 4x
＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ? ?
???4x ＋π4，
所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为2
2.
(2)因为f (α)＝
22，所以sin ?
????4α＋π4＝1.
因为α∈? ????π2，π，所以4α＋π4∈? ????9π4，17π4，
即4α＋π4＝5π2.故α＝9π
16
.
（2010重庆理数）设函数R x x
x x f ∈++=,2
cos 2)32cos()(2π. （Ⅰ）求)(x f 的值域；
（Ⅱ）记ABC ?的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若3,1,1)(===c b B f ，求a 的值.
解：（Ⅰ）1cos 3
2
sin sin 32cos
cos )(++-=x x x x f ππ 1cos sin 23cos 21++--=x x x 1sin 23cos 21+-
=x x 1)6
5
sin(++=πx ， 因此)(x f 的值域为]2,0[. （Ⅱ）由1)(=B f 得11)65sin(=++
πB ，即0)6
5
sin(=+πB ，又因π<
由余弦定理B ac c a b cos 22
22-+=，得0232=+-a a ，解得1=a 或2.
（2010天津理数）（17）（本小题满分12分） 已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,
2π??
????
上的最大值和最小值； 【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数sin()y A x ω?=+的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。 （1）解：由2()23sin cos 2cos 1f x x x x =+-，得
2()3(2sin cos )(2cos 1)3sin 2cos 22sin(2)6
f x x x x x x x π
=+-=+=+
所以函数()f x 的最小正周期为π
因为()2sin 26f x x π??
=+
??
?
在区间0,
6π??????上为增函数，在区间,62ππ??
????
上为减函数，又 (0)1,2,
162f f f ππ??
??
===- ? ?????
，所以函数()f x 在区间0,2π??????上的最大值为2，最小值为-1
（2009山东）（17）（本小题满分12分）设函数()2cos(2)sin 3
f x x x π
=++。
（Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期； （Ⅱ）设A ，B ，C 为ABC ?的三个内角，若11
cos ,()324
c B f ==-，且C 为锐角，求sin A 。
解: （1）f(x)=cos(2x+
3
π
)+sin 2x. =1cos 213
cos 2cos
sin 2sin
sin 23
3222x x x x π
π
--+
=-
所以函数f(x)的最大值为
13
2
+,最小正周期π. （2）()2c f =
13sin 22C -=－41,所以3sin 2C =, 因为C 为锐角,所以3
C π=, 又因为在?ABC 中,cosB=
31,所以 2
sin 33
B =, 所以 21133
sin sin()sin cos cos sin 332322
A B C B C B C =+=+=
?+?=
. 已知函数()2cos (sin cos )1,f x x x x x =-+∈R . (I)求函数()f x 的最小正周期； (II)求函数()f x 在区间3,
84ππ??
????
上的最小值和最大值. 【分析】()2cos (sin cos )1f x x x x =-+sin2cos2x x =-2sin 24x π?
?
=- ??
?
.因此，
函数()f x 的最小正周期为π.
(II)解法一：因为()2sin 24f x x π??=-
??
?在区间3,88ππ??????上为增函数，在区间33,84ππ??
????
上为减函数，又3330,2,2sin 2cos 1,884244f f f ππππππ??
??????
===-=-=-
? ? ? ?
????????
故函数()f x 在区间
3,88ππ??
????
上的最大值为2,最小值为1-. (本小题满分12分) 设函数22()cos(2)sin 24
f x x x π
=++ （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π
+=，且当[0,]2x π∈时， 1
()()2
g x f x =-；求函数()g x 在[,0]π-上的解析式。
解：22111()cos(2)sin cos 2sin 2(1cos 2)24222f x x x x x x π=
++=-+-11
sin 222
x =-（I ）函数()f x 的最小正周期22T π
π=
= （2）当[0,]2
x π
∈时，11()()sin 222g x f x x =-=
当[,0]2x π∈-时，()[0,]22
x ππ
+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=-
当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2
x π
π+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=
得：函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1
sin 2(0)22
()1sin 2()22
x x g x x x πππ?--≤≤??=??-≤
(2013天津，理15)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝π2sin 24x ?
?
-+ ??
?
＋6sin
x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R .
(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间π0,
2??
???
?
上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝2-sin 2x ·ππ
cos 2cos 2sin 44x -?＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝π22sin 24x ?
?- ??
?.
所以，f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π.
(2)因为f (x )在区间3π0,8??????上是增函数，在区间3ππ,82??
????上是减函数．又f (0)＝－2，3π228f ??= ???，π22f ??
= ???
，故函数f (x )在区间π0,2??????上的最大值为22，最小值为
－2.
（2012天津）（15）（本小题满分13分） 已知函数.,1cos 2)3
2sin()3
2sin()(2R x x x x x f ∈-+-
++
=π
π
（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4
,4[π
π-上的最大值和最小值.
解.(1)x x x x x x f 2cos 3
sin
2cos 3
cos
2sin 3
sin
2cos 3
cos
2sin )(+-++=π
π
π
π
)4
2sin(22cos 2sin π
+
=+=x x x
所以()f x 的最小正周期为ππ
==2
2T . (2)因为()f x 在区间??
????84-ππ，上是增函数,在区间???
???48ππ，上是减函数,
又1)4(,2)8(,1)4(==-=-πππ
f f f ,故函数()f x 在区间[,]44
ππ
-上的最大值为2,最小
值为-1.
(2013·陕西理，16)已知向量a ＝????cos x ，－1
2，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在????0，π
2上的最大值和最小值． [解析] f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －1
2cos2x
＝
32sin2x －1
2
cos2x ＝sin(2x －π6
)
(1)f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π
(2)∵x ∈[0，π2]，∴2x －π6∈[－π6，5π
6]，
∴sin(2x －π6)∈[－1
2
，1]
故当2x －π6＝π2即x ＝π
3时，f (x )max ＝1
当2x －π6＝－π6即x ＝0时，f (x )min ＝－1
2
.
(2012·山东理)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A
2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m·n 的最大值为6.
(1)求A ；
(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的1
2倍，纵
坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π
24
]上的值域．
解析 (1)f (x )＝m·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos2x ＝A (32sin2x ＋12cos2x )＝A sin(2x ＋π
6)．
因为A >0，由题意知A ＝6.
(2)由(1)f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π
12
个单位后得到
y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的1
2倍，纵坐标
不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π
6]．
故g (x )在[0，5π
24
]上的值域为[－3,6]．
已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx)，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx)，设函数f(x)＝a ·b
＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈? ??
??12，1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y ＝f(x)的图象经过点? ????π4，0，求函数f(x)在区间?
?????0，3π5上的取值范围．
解析：(1)因为f(x)＝sin2ωx －cos2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ ＝2sin ?
????2ωx －π6＋λ.
由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得 sin ?
????2ωπ－π6＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π
2(k ∈Z)，
即ω＝k 2＋1
3
(k ∈Z)．
又ω∈? ??
??12，1，k ∈Z. 所以k ＝1，故ω＝5
6.
所以f(x)的最小正周期是6π
5
.
(2)由y ＝f(x)的图象过点? ????π4，0，得f ? ??
??π4＝0， 即λ＝－2sin ? ??
??56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，
即λ＝－ 2.故f(x)＝2sin ? ????53
x －π6－2，
由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π
6，
所以－12≤sin ? ????53
x －π6≤1，
得－1－2≤sin ? ????53x －π6－2≤2－2，故函数f(x)在?
?????0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．
考点 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质是高考考查的重点，其中图象的变换是重中之重，函数的各种变换，都是对自变量x 与函数值y 进行的变换．准确作出三角函数的图象，可以帮助我们迅速而又准确地求解相关问题．
研究三角函数图像与性质的常用方法
(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后再求解．
(2)对于形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2
＋b 2
sin(ωx
＋φ)?
?
cos φ＝
a
a 2
＋b
2
，
?
??
sin φ＝
b
a 2
＋b 2
的形式来求．
(2012·泰州模拟)已知函数f (x )＝23sin ????x 2＋π4·cos ????x 2＋π4－sin (x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；
(2)若将f (x )的图象向右平移π
6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值
和最小值．
解：(1)因为f (x )＝3sin ????x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2????32cos x ＋1
2sin x ＝2sin ????x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期为2π.
(2)∵将f (x )的图象向右平移π
6个单位，得到函数g (x )的图象，
∴g (x )＝f ????x －π6＝2sin ???
?????x －π6＋π3＝2sin ???
?x ＋π
6. ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈????
π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π
3时，
sin ???
?x ＋π
6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ????x ＋π6＝－1
2
，g (x )取得最小值－1.
(2013·安徽卷)已知函数f(x)＝4cosωx·sin
4x πω??+ ?
??(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间????0，π
2上的单调性． 解析：(1)f(x)＝4cosωx·sin 4x πω??
+ ??
?
＝22sinωx·cosωx ＋22cos2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx)＋2＝2sin ?
???2ωx ＋π
4＋ 2. 因f(x)的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π
2ω＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin 24
x π??
+
??
?
＋ 2.若0≤x≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π
4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x≤π
8时，f(x)单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x≤π
2
时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间????0，π8上单调递增，在区间???
?π8，π
2上单调递减． (2012·湖北文)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈(1
2
，1)．
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若y ＝f (x )的图像经过点(π
4
，0)，求函数f (x )的值域．
解析 (1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π
6
)＋λ，
由直线x ＝π是y ＝f (x )图像的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π
2(k ∈Z )，
即ω＝k 2＋1
3
(k ∈Z )．
又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝5
6.
所以f (x )的最小正周期是6π
5
.
(2)由y ＝f (x )的图像过点(π4，0)，得f (π
4
)＝0.
即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π
4＝－2，即λ＝－ 2.
故f (x )＝2sin(53x －π
6
)－2，函数f (x )的值域为
[－2－2，2－2]．
（2014济宁市一模理）已知函数()3sin cos .34
f x x x π??
=+
+ ??
? （I ）当,36x ππ??
∈-
????
时，求函数()f x 的值域； （II ）将函数()y f x =的图象向右平移
3
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1
2
倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的表达式及对称轴方程.
（安徽卷理17文17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ
-
上的值域
解：（1）()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+
13cos 2sin 2(sin cos )(sin cos )22
x x x x x x =
++-+ 2213cos 2sin 2sin cos 22x x x x =
++- 13cos 2sin 2cos 222
x x x =+- sin(2)6x π
=-
2T 2π
π=
=周期∴
由2(),()6223
k x k k Z x k Z ππππ
π-=+∈=
+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3
x k k Z π
π=+
∈
（2）5[,],2[,
]122636
x x πππππ
∈-∴-∈- 因为()sin(2)6
f x x π
=-在区间[,]123
ππ
-
上单调递增，在区间[,]32ππ
上单调递减，
所以 当3
x π
=
时，()f x 取最大值 1
又 31()()12
222f f π
π-
=-
<= ，当12x π=-时，()f x 取最小值3
2
-
所以 函数 ()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域为3
[,1]2- (2013·山东文，18)设函数f (x )＝3
2
－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.
(1)求ω的值；
(2)求f (x )在区间[π，3π
2]上的最大值和最小值．
[解析] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝3
2－3·1－cos2ωx 2－12
sin2ωx ＝
32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin(2ωx －π
3
)． 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω>0，所以2π2ω＝4×π
4，因此ω＝1.
(2)由(1)知f (x )＝－sin(2x －π3)．当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin(2x －π
3)≤1，
因此－1≤f (x )≤
32.故f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值分别为3
2
，－1. （山东卷理17）已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ω??ω?ωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为
.2
π
（Ⅰ）求f （
8
π
）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移
6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 解：（Ⅰ）()3sin()cos()f x x x ω?ω?=+-+31
2sin()cos()22x x ω?ω???=+-+?
???
π2sin 6x ω??
?=+- ??
?．
因为()f x 为偶函数，所以对x ∈R ，()()f x f x -=恒成立， 因此π
πsin()sin 6
6x x ω?ω???-+-=+-
??
?
． 即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ω?ω?ω?ω?????????--+-=-+- ? ? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
，
整理得πsin cos 06x ω???
-
= ??
?
． 因为0ω>，且x ∈R ，所以πcos 06???
-
= ??
?
． 又因为0π?<<，故ππ62?-
=．所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω?
?=+= ??
?．
由题意得
2π
π
22
ω= ，所以2ω=．故()2cos 2f x x =． 因此ππ2cos 284f ??==
?
??
． （Ⅱ）将()f x 的图象向右平移
π
6个单位后，得到π6f x ?
?- ??
?的图象，再将所得图象横坐标伸长
到原来的4倍，纵坐标不变，得到π46x f ??
-
???
的图象． 所以πππ()2cos 22cos 464623x x x g x f ????????
=-=-=- ? ? ???????????
． 当π
2π2ππ23x k k -+≤
≤（k ∈Z ）， 即2π8π
4π4π33
k x k ++≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递减，
因此()g x 的单调递减区间为2π8π4π4π33k k ??
+
+????
，（k ∈Z ）
． （2010年山东17）（本小题满分12分） 已知函数)0)(2sin(21cos cos sin 2sin 21)(2π??π??<<+-+=
x x x f ，其图象过点).2
1
,6(π （Ⅰ）求?的值；
（Ⅱ）将函数)(x f y =的图象上各点的横坐标缩短到原来的2
1
，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g 在]4
,0[π
上的最大值和最小值。
解：（Ⅰ）因为211()sin 2sin cos cos sin()(0)222
f x x x π
????π=
+-+<< 所以11cos 21
()sin 2sin 2cos cos 222
x f x x ???+=+
- 11
sin 2sin cos 2cos 22x x ??=+ 1
(sin 2sin cos 2cos )2x x ??=+ 1cos(2).2
x ?=- 又函数图象过点1(,)62π，所以11cos(2)226π?=?-，即cos()1,3
π
?-=
又0?π<<，所以.3
π
?=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()cos(2)22
f x x π
=-，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，可知
1()(2)cos(4),23g x f x x π==-因为[0,]4x π
∈，所以4[0,]x π∈ 因此24[,]333x πππ-∈-，故1cos(4)123
x π
-≤-≤
所以()[0,]4
y g x π
=在上的最大值和最小值分别为12和1.4-
《三角函数》高考真题理科大题总结及答案
《三角函数》大题总结 1.【2015高考新课标2，理17】ABC ?中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠， ABD ?面积是ADC ?面积的2倍． (Ⅰ) 求 sin sin B C ∠∠； (Ⅱ)若1AD =，DC = BD 和AC 的长． 2.【2015江苏高考，15】在ABC ?中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值. 3.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2 p 个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围； （2)证明：22cos ) 1.5 m a b -=-( 4.【2015高考浙江，理16】在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4 A π =，22b a -=12 2c . （1）求tan C 的值； （2）若ABC ?的面积为7，求b 的值.
5.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π??=-+ ?? ? . （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ?? == ??? , 求ABC ?面积的最大值. 6.【2015高考天津，理15】已知函数()22sin sin 6f x x x π??=-- ?? ? ，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34 p p -上的最大值和最小值. 7.【2015高考安徽，理16】在ABC ?中，3,6,4 A A B A C π ===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长. 8.【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 2 f x x x x π ??=- ? ? ? （1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2, 6 3ππ?? ???? 上的单调性.
最新初中数学锐角三角函数的真题汇编含答案解析(3)
最新初中数学锐角三角函数的真题汇编含答案解析(3) 一、选择题 1．如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA 等于（ ） A ．100sin35°米 B ．100sin55°米 C ．100tan35°米 D ．100tan55°米 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正切函数可求小河宽PA 的长度． 【详解】 ∵PA ⊥PB ，PC=100米，∠PCA=35°， ∴小河宽PA=PCtan ∠PCA=100tan35°米． 故选：C ． 【点睛】 此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 2．如图，AB 是O e 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若3AE EB ==，15C ∠=o ，则OE 的长为( ) A 3 B ．4 C ．6 D ．33【答案】D 【解析】 【分析】
连接OA ．证明OAB ?是等边三角形即可解决问题． 【详解】 如图，连接OA ． ∵AE EB =， ∴CD AB ⊥， ∴??AD BD =， ∴230BOD AOD ACD ∠=∠=∠=o ， ∴60AOB ∠=o ， ∵OA OB =， ∴AOB ?是等边三角形， ∵3AE =， ∴tan 6033OE AE =?=o ， 故选D ． 【点睛】 本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ） A ．1000sin α米 B ．1000tan α米 C ．1000tan α米 D ．1000sin α 米 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB α= ，即可解决问题． 【详解】
三角函数经典例题
经典例题透析 类型一：锐角三角函数 本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值，都是中考中的热点．明确直角三角形中正弦、余弦、正切的意义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小． 1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知，BC=2，那 么( ) A．B．C．D． 思路点拨：由于∠ABC在Rt△ABC和Rt△BCD中，又已知AC和BC，故只要求出AB或CD即可． 解析： 解法1：利用三角形面积公式，先用勾股定理求出 ，∴． ∴． 解法2：直接利用勾股定理求出， 在Rt△ABC中，．答案：A 总结升华：求直角三角形中某一锐角三角函数值，利用定义，求出对应两边的比即可． 2．计算：(1)________； (2)锐角A满足，则∠A=________． 答案：(1)；(2)75°. 解析：(1)把角转化为值．(2)把值转化为角即可． (1)．
(2)由，得， ∴．∴A=75°． 总结升华： 已知角的三角函数，应先求出其值，把角的关系转化为数的关系，再按要求进行运算．已知一个三角函数值求角，先看看哪一个角的三角函数值为此值，在锐角范围内一个角只对应着一个函数值，从而求出此角． 3．已知为锐角，，求． 思路点拨：作一直角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾 股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用求出 ，再利用，使可求出． 解析： 解法1：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=，由，可设，． 则， ∴． 解法2：由，得 ， ∴． 总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条件的直角三角形，根据比的性质用一不为0的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值．或 利用，来求．
三角函数高考题及练习题(含标准答案)
三角函数高考题及练习题(含答案)
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
三角函数高考题及练习题（含答案） 1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及性质． 2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)． 3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等． 1. 函数y ＝2sin 2? ???x －π 4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”) 函数． 答案：π 奇 解析：y ＝－cos ? ???2x －π 2＝－sin2x. 2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________． 答案：3 解析：在(0，＋∞)内作出函数y ＝lgx 、y ＝sinx 的图象，即可得到答案．
3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)，? ???|φ|<π 2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________． 答案：π4 解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π 2 ，所 以φ＝π4 . 4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间? ???0，π 3上的最大值是2，则ω＝________． 答案：34 解析：由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f(x)在? ???0，π 3上单调递增，且在这个区间 上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝3 4 . 题型二 三角函数定义及应用问题 例1 设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π. (1) 若点P 的坐标是??? ?12，3 2，求f(θ)的值； (2) 若点P(x ，y)为平面区域???? ?x ＋y ≥1， x ≤1， y ≤1 上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求 函数f(θ)的最小值和最大值． 解：(1) 根据三角函数定义得sin θ＝ 32，cos θ＝1 2 ，∴ f (θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝π 3 ，从而求出 f(θ)＝2)． (2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ? ???θ＋π 6， ∴ 当θ＝0，f (θ)min ＝1；当θ＝π 3 ，f (θ)max ＝2. (注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、
2019年三角函数高考真题
2015-2019三角函数高考真题 一、选择题 1、（2015全国1卷2题）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）3- （B ）3 （C ）12- （D ）1 2 2、（2015全国1卷8题）函数()f x =cos()x ω?+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13 (2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13 (2,2),44 k k k Z -+∈ $ 3、（2015全国2卷10题）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则 ()y f x =的图像大致为（ ） (D) (C) (B)(A) x y π4 π2 3π4 π π 3π4 π2 π4 y x y π4 π2 3π4 π π 3π4 π2 π4 y 4、（2016全国1卷12题）已知函数()sin()(0),2 4 f x x+x π π ω?ω?=>≤ =- ， 为()f x 的零点,4 x π = 为 D P C B O A |
()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ?? ??? ，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 5、（2016全国2卷7题）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()ππ26k x k = -∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ 212 Z k x k =+∈ 6、（2016全国2卷9题）若π3 cos 45 α??-= ???，则sin2α= （A ） 725 （B ）15 （C ）15 - （D ）725 - · 7、（2016全国3卷5题）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 8、（2016全国3卷8题）在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于1 3 BC ,则cos A （ ） （A （B （C ）10 （D ）310 9、（2017年全国1卷9题） 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C ． 10、（2017全国3卷6题）设函数π()cos()3 f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 ； C ．()f x π+的一个零点为π 6 x = D ．()f x 在π(,π)2 单调递减
三角函数经典题目(带答案)
三角函数经典题目练习 1.已知α123 1、已知角 2、P (x ,5则sin 1、已知2、函数(f 3、已知 象限1. 已知π2 2.设0≤α是 . sin αtan x 若<0___. 5 3 sin +-= m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则 =θ________. 1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的 个实根，且παπ2 7 3<<，则ααsin cos +的值 . 0)13(22=++-m x x 的两根为 ()πθθθ2,0,cos ,sin ∈，求（1）m =_______ （2）θθθθtan 1cos cot 1sin -+-=________. α )4 15 tan(325cos ππ-+= . θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)·sin ?? ? ??-θπ23= α终边上P （－4，3）， ) 2 9sin()211cos() sin()2 cos(απαπαπαπ +---+= . 已知锐角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，α= . sin163°·sin223°+sin253°·sin313°= . =-+θ θtan 1tan 1_________ tan 20tan 4020tan 40?+????= α∈(0, 2π)，若sin α=5 3 ，则2cos(α+4π)= . 3 36 cos = ?? ? ??-απ，则?? ? ??+απ6 5cos =______，)6 5απ -- =_____．.
【知二求多】 1、已知cos ??? ??-2βα= -54,sin ??? ? ? -2αβ=135,且 0<β<2π<α<π,则cos 2 βα+=____. 2已知tan α=43,cos(α+β)=-14 11 , α、β为锐角， 则cos β=______. 【方法套路】 1、设2 1sin sin =+βα，31 cos cos =+βα，则 )cos(βα-=___ . 2.已知ββαcos 5)2cos(8++=0，则 αβαtan )tan(+= . 3,41)sin(,31)sin(=-=+βαβα则___tan tan =βα 【给值求角】 1tan α=7 1 ,tan β=3 1,α,β均为锐角，则 α+2β= . 2、若sinA= 55,sinB=10 10,且A,B 均为钝角, 则A+B= . 【半角公式】 1α是第三象限，2524 sin - =α，则tan 2 α= . 2、已知01342 =+++a ax x （a >1）的两根为αtan ， βtan ，且α,∈β ??-2 π,?? ? 2π, 则2 tan βα+=______ 3若 cos 22π2sin 4αα=- ? ?- ? ? ?，则cos sin αα+= . 4、若??????∈27,25ππα，则 ααsin 1sin 1-++= 5x 是第三象限角 x x x x x x x x cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-++++ ++-+=______ 【公式链】 1=+++οοοοΛ89sin 3sin 2sin 1sin 2222_______ 2sin10o sin30o sin50o sin70o=_______ 3（1+tan1o ）（1+tan2o ）…（1+tan45o ）=_______ 六、给值求角 已知3 1 sin - =x ，写出满足下列关系x 取值集合 ] 3,5[)3()2(]2,0[)1(πππ--∈∈∈x R x x 七、函数性质 【定义域问题】 1. x x y sin 162+-=定义域为_________ 2、1)3 2tan(-- =π x y 定义域为_________ 【值域】 1、函数y ＝2sin ???? πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为__________ 2、若函数g (x )＝2a sin x ＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为________ 3、函数x x y sin 2sin 1+-= 的值域 4、函数x x y cos 1sin 21+-=的值域 5、函数x x y sin 2cos -=的值域 【解析式】 1、已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx 的图象关于直 线x ＝π 3 对称，其中ω∈????－12，52.函数f (x )的解析式为________． 2、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 ) 的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x 0， 2)，??? ?x 0＋32，－2(x 0＞0)上f (x )分别取得最大值和最小值．则所得图像的函数解析式是________ 3.将函数sin y x =的图像上所有的点右移 10 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是___________ 4、()()sin f x A x h ω?=++(0,0,)2A π ω?>>< 的图象 如图所示，求函数)(x f 的解析式；
(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)
三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ）
三角函数高考大题练习
ABC ?的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13 A =。 (Ⅰ)求A B A C ； (Ⅱ)若1c b -=，求a 的值。 设函数()sin cos 1 , 02f x x x x x π=-++<<，求函数()f x 的单调区间与极值。 已知函数2 ()2cos 2sin f x x x =+ （Ⅰ）求()3 f π 的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值 设函数()3sin 6f x x πω?? =+ ?? ? ，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以 2 π 为最小正周期． （1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知9 4125f απ??+= ?? ?，求sin α的值． 已知函数2 ()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。 (II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。
在ABC 中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且 2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若sin sin 1B C +=，是判断ABC 的形状。 (17)（本小题满分12分） 已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π， （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,16π?? ???? 上的最小值. 在?ABC 中， cos cos AC B AB C = 。 （Ⅰ）证明B=C ： （Ⅱ）若cos A =-13，求sin 4B 3π? ?+ ?? ?的值。 ABC 中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B = ，3 cos 5 ADC ∠=，求AD 。 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且222333b c a +-=.
三角函数的易错点以及典型例题与高考真题
三角函数的易错点以及典型例题与真题 1.三角公式记住了吗两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________ 万能公式 ______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。 万能公式： (1) (sinα)2 +(cosα)2 =1 (2)1+(tanα)2=(secα)2 (3)1+(cotα)2=(cscα)2 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （证明：利用A+B=π-C ） 同理可得证,当x+y+z=n π(n ∈Z)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论： (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA ）2+(cosB ）2+(cosC ）2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA ）2+（sinB ）2+（sinC ）2=2+2cosAcosBcosC (9)设tan(A/2)=t sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z） 2.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗正切函数在整个定义域内是否为单调函数你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗 3.在三角中，你知道1等于什么吗（x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+=
锐角三角函数的真题汇编及答案解析
锐角三角函数的真题汇编及答案解析 一、选择题 1．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ?与 ADM ?关于AM 所在直线对称，将ADM ?按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ?，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ） A 17 1365B 6 1365 C 7 1525 D ． 617 【答案】A 【解析】 【分析】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明 AEH EMG V :V ，则有 1 3 EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求 ,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用 cos FN EFC EF ∠= 即可求解． 【详解】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则 90AHG MGE ∠=∠=?，
∵四边形ABCD 是正方形， ∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=? ， ∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形． 由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=?====， 90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=? ， AEH EMG ∴∠=∠， AEH EMG ∴V :V ， 1 3 EH AE MG EM ∴ == ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+ 在Rt AEH V 中， 222AH EH AE +=Q ， 222(1)(3)3x x ∴++= ， 解得4 5 x = 或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴== ，65 CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 17 5 FN BF BN ∴=+= ． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EF EN FN =+=， 17 cos 1365 FN EFC EF ∴∠= =． 故选：A ． 【点睛】
三角函数部分高考题(带答案)
3 22.设/XABC的内角A B, C所对的边长分别为q, b, c , ^acosB-bcosA =-c . 5 (I )求tan A cot B 的值； (U)求tan(A-B)的最大值. 3解析：(1)在左ABC中，由正弦定理及acosB-bcosA = -c 5 3 3 3 3 可得sin 人cos B-sinB cos A = -siiiC = - sin(A + B) = $ sin 人cos B + - cos A sin B 即siii A cos B = 4 cos A siii B ,则tail A cot 8 = 4： (II)由taiiAcotB = 4得tanA = 4tanB>0 一_ x tan A - tan B 3 tan B 3 “ 3 tan( A 一B) = -------------- = ---------- -- = ----------------- W - 1+tail A tail B l + 4taii_B cot B + 4 tan B 4 当且仅当4tanB = cotB,tmiB = i,taiiA = 2时，等号成立， 2 1 3 故当tail A = 2, tan ^ =—时，tan( A - B)的最大值为—. 5 4 23. ----------------------------------在△ABC 中，cosB = ， cos C =—. 13 5 (I )求sin A的值； 33 (U)设ZVIBC的面积S AABC = —,求BC的长. 解： 512 (I )由cosB = 一一，得sinB = —, 13 13 4 3 由cos C =-,得sin C =-. 55 一33 所以sin A = sin(B + C) = sin B cos C + cos B sill C = —. (5) ................................................................................................................................... 分 33 1 33 (U)由S.ARC = 一得一xABxACxsinA = —, 2 2 2 33 由(I)知sinA =—, 65 故ABxAC = 65, (8) ................................................................................................................................... 分 又AC =竺主=史仙, sinC 13 20 13 故—AB2 =65, AB = — . 13 2 所以此=性叫11 siiiC (I)求刃的值;10分 24.己知函数/(x) = sin2a)x+j3 sin cox sin 尔+习2)(刃＞0)的最小正周期为兀.
初中三角函数知识点总结及典型习题(含答案)
初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 5、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 邻边 A
2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角 铅垂线 水平线 视线 视线 俯角 (2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即 h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5 i=等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α ==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。 例1：已知在Rt ABC △中， 3 90sin 5 C A ∠== °，，则tan B的值为（） A． 4 3 B． 4 5 C． 5 4 D． 3 4 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC中，∠C=90°，则sin a A c =，tan b B a = 和222 a b c +=；由 3 sin 5 A=知，如果设3 a x =，则5 c x =，结合222 a b c +=得4 b x =；∴ 44 tan 33 b x B a x ===，所以选A． 例2：10 4cos30sin60(2)(20092008) - ??+--=______． 【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算， 10 4cos30sin60(2)20092008) - ??+--= 3313 41 2222 ?? ??+--= ? ??， 故填 3 2． : i h l = h l α
高中数学三角函数各地历年高考真题汇编(附答案)
三角函数历年高考题汇编 一.选择题 1、（2009）函数22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π 的偶函数 2、（2008）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为 2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)4 2sin(1π + +=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ．2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3 π 中心对称， 那么φ的最小值为
A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 二.填空题 1.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则 712 f π ?? = ??? 。 2.（2009年上海卷）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ . 3.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象如图所示,则ω ＝
三角函数高考大题练习.docx
ABC 的面积是30，内角A, B, C所对边长分别为 12 a, b, c ，cos A。 uuur uuur 13 ( Ⅰ ) 求ABgAC； ( Ⅱ ) 若c b 1，求 a 的值。 设函数 f x sin x cosx x 1 , 0 x 2，求函数 f x 的单调区间与极值。 已知函数 f ( x) 2cos 2x sin 2 x （Ⅰ）求 f () 的值； 3 （Ⅱ）求 f ( x) 的最大值和最小值 设函数 f x3sin x，＞0 ， x,，且以为最小正周期． 62 （ 1）求f0；（2）求f x 的解析式；（3）已知f 129 ，求 sin的值． 45 已知函数 f ( x) sin 2x2sin 2 x （ I ）求函数 f (x) 的最小正周期。 (II)求函数 f ( x) 的最大值及 f (x) 取最大值时x 的集合。
在 VABC 中， a、b、c 分别为内角A、B、C 的对边，且 2a sin A (2b c)sin B (2c b)sin C （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）若 sin B sin C 1，是判断 VABC 的形状。 (17)（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) sin(x)cos x cos2x （0）的最小正周期为，（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）将函数 y f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 ，纵坐标不变，得到2 函数 y g ( x) 的图像，求函数y g( x) 在区间 0, 16 上的最小值 . 在 ABC中，AC cos B 。AB cosC （Ⅰ）证明 B=C： （Ⅱ）若 cosA =-1 ，求 sin 4B的值。 33 53 VABC 中， D 为边 BC 上的一点， BD 33 ， sin B，cos ADC，求AD。 135 设△ ABC的内角 A、 B、 C 的对边长分别为a、 b、 c，且3b23c23a2 4 2bc .
高中三角函数公式大全及经典习题解答
高中三角函数公式大全及经典习题解答 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
用心辅导中心 高二数学 三角函数 知识点梳理: ⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=2 1R 2 α=3602R n ?π ⒉正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿=2 1a a h ?=2 1ab C sin =2 1bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系：①θtg =x y =θ θ cos sin =θθsec sin ? ② θθθ θθcsc cos sin cos ?=== y x ctg ③θθθtg r y ?== cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ?== =tg x r ⑤θθθctg r x ?== sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ?== =ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++= +b a b a （其中辅助角?与点（a,b ） 在同一象限，且a b tg =?） ⒍函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω）
高考三角函数大题专项练习集(一)
2019 年高考三角函数大题专项练习集（一） 1. 在平面四边形ABCD 中，∠ADC =90 °，∠A=45 °，AB=2 ，BD=5． （1）求cos∠ADB ； （2）若DC = 2 2 ，求BC． 2. 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知c=2 且ccosA+bcosC=b. （1）判断△ ABC 的形状； （2）若C= ，求△ABC 的面积. 6 3. 在△ ABC 中，角A, B,C 的对边分别为a, b, c ，且2a b cosC c cosB . （1）求角C 的大小； （2）若c 2 ，△ABC 的面积为 3 ，求该三角形的周长. 4. ABC 的内角 （1）求C ； A, B,C 的对边分别为a,b, c .已知 a b sin A csin C bsin B ．（2）若ABC 的周长为 6 ，求ABC 的面积的最大值． 5. ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ,已解 a b sin( A B) （1）求角A； c b sin A sin B （2）若a 3 ，c b1，求b 和c 的值 6. 已知函数 f x sin x cos x 3 cos2 x ．2 2 2 （1）求 f x 的最小正周期； （2）求 f x 在区间,0 上的最大值和最小值． 7. 在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c，且3a cos C2b 3c cos A . （1）求角 A 的大小； （2）若a=2，求△ ABC 面积的最大值.
2 8. 在锐角 △ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ， BC 边上的中线 AD m ，且满足 a 2 2bc 4m 2 . （1） 求 BAC 的大小； （2） 若 a 2，求 ABC 的周长的取值范围 . 9. 已知a (1 cosx,2 sin x ), b 2 (1 cosx,2 cos x ) . 2 （1） 若 f ( x) 2 sin x 1 a b ,求 4 f ( x) 的表达式； （2） 若函数 f ( x) 和函数 g ( x) 的图象关于原点对称，求函数 g( x) 的解析式； （3） 若 h( x) g( x) f ( x) 1 在 , 上是增函数，求实数 的取值范围 . 2 2 10. 已知 a ( 3 sin x, m cos x) ， b (cos x, m cos x) , 且 f ( x) a b （1） 求函数 f (x) 的解析式 ; （2） 当 x x 的值 . , 时, 6 3 f ( x) 的最小值是－ 4 , 求此时函数 f ( x) 的最大值 , 并求出相应的 11. △ABC 的内角为 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 a b c ． （1） 求 sin A B sin Acos A cos A B 的最大值； cos C sin B sin B cos C （2） 若 b 2 ，当 △ABC 的面积最大时， △ ABC 的周长； 12. 如图 ,某大型景区有两条直线型观光路线 AE ， AF , EAF 120 ,点 D 位于 EAF 的 平分线上，且与顶点 A 相距 1 公里 .现准备过点 D 安装一直线型隔离网 BC ( B, C 分别在 AE 和 AF 上)，围出三角形区域 ABC ，且 AB 和 AC 都不超过 5 公里 .设 AB x ， AC y (单位：公里 ). （1） 求 x, y 的关系式； （2） 景区需要对两个三角形区域 ABD ， ACD 进行绿化 .经 测算， ABD 区城每平方公里的绿化费用是 ACD 区域的两 倍，试确定 x, y 的值 ,使得所需的总费用最少 .