高二数学数系的扩充与复数的概念测试题

选修2-23.1第1课时数系的扩充与复数的概念

一、选择题

1．下列命题中：

①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；

②若a，b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；

③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；

④两个虚数不能比较大小．

其中，正确命题的序号是()

A．①

B．②

C．③

D．④

[答案] D

[分析]由复数的有关概念逐个判定．

[解析]对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.

2．(2018·四川理，1)i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝()

A．－1

B．1

C．－i

D．i

[解析] i ＋i 2＋i 3＝i －1－i ＝－1. 3．下列命题中假命题是( ) A.i

2不是分数 B.3i 不是无理数 C ．－i 2是实数

D ．若a ∈R ，则a i 是虚数 [答案] D

[解析] 当a ＝0时，a i 是实数，所以D 是假命题，故应选D. 4．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，下列结论正确的是( ) A ．a ＝0?a ＋b i 为纯虚数 B ．b ＝0?a ＋b i 为实数

C ．a ＋(b －1)i ＝3＋2i ?a ＝3，b ＝－3

D ．－1的平方等于i [答案] B

[解析] a ＝0且b ≠0时，a ＋b i 为纯虚数，A 错误，B 正确．a ＋(b －1)i ＝3＋2i ?a ＝3，b ＝3，C 错误．(－1)2＝1，D 错误．故应选B.

5．若z 的实部为lg x 2，虚部为lg 2x ，x 是正实数，那么( ) A ．使z 的实部、虚部都是正数的x 的集合是(1，＋∞) B ．使z 的虚部为负数的x 的集合是(0,1)

C ．使z 的实部和虚部互为相反数的x 的集合是{1}

D ．使z 的实部和虚部互为倒数的x 的集合是??????

???

?342

[解析] 由???

lg x 2

>0

lg 2x >0

解得x >1，A 正确．故应选A.

6．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R )为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a ≤0 [答案] D

[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，而|a |＝－a ，∴a ≤0，故应选D.

7．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A ．2k π－π4 B ．2k π＋π

4 C ．2k π±π

4

D.k π2＋π

4(以上k ∈Z ) [答案] B

[解析]

由??

?

sin2θ－1＝02cos θ＋1≠0

得?????

2θ＝2k π＋π2

θ≠2k π＋π±π4

(k ∈Z )

∴θ＝2k π＋π

4.选B.

8．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( )

A．a＝－1

B．a≠－1且a≠2

C．a≠－1

D．a≠2

[答案] C

[解析]若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a －2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.

9．下列命题中哪个是真命题()

A．－1的平方根只有一个

B．i是1的四次方程

C．i是－1的立方根

D．i是方程x6－1＝0的根

[答案] B

[解析]∵(±i)2＝－1，∴－1的平方根有两个，故A错；∵i3＝－i≠－1.∴i不是－1的立方根；∴C错；

∵i6＝i2＝－1，∴i6－1≠0故i不是方程x6－1＝0的根，故D错；

∵i4＝1，∴i是1的四次方根，故选B.

10．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋n i，则复数z等于()

A．3＋i

B．3－i

C．－3－i

D．－3＋i

[答案] B

[解析] 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0

即??

?

n 2＋mn ＋2＝02n ＋2＝0

，解得??

?

m ＝3n ＝－1

.

∴z ＝3－i ，故应选B. 二、填空题

11．方程(2x 2－3x －2)＋(x 2－5x ＋6)i ＝0的实数解x ＝________. [答案] 2 [解析]

方程可化为???

2x 2－3x －2＝0

x 2

－5x ＋6＝0

解得x ＝2.

12．如果z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数，那么实数a 的值为________．

[答案] －2 [解析]

如果z 为纯虚数，需???

a 2＋a －2＝0

a 2

－3a ＋2≠0

，解之得a ＝－2.

13．已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，则实数x ＝________.

[答案] 1

[解析] 复数z 能与0比较大小，则复数一定是实数，由题意知

???

3x －1－x >0

x 2

－4x ＋3＝0

，解得x ＝1.

14．已知复数z 1＝m ＋(4＋m )i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ＋3cos θ)i(λ∈R )，若z 1＝z 2，则λ的取值范围是______．

[答案] [3,5] [解析]

∵z 1＝z 2，∴??

?

m ＝2cos θ

4＋m ＝λ＋3cos θ

∴λ＝4－cos θ.

又∵－1≤cos θ≤1，∴3≤4－cos θ≤5，∴λ∈[3,5]． 三、解答题

15．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值． [解析] ∵log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，

∴??

?

log 2(m 2－3m －3)＝0log 2(m －2)≠0

∴m ＝4，故当m ＝4时，log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)是纯虚数． 16．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．实数a 取什么

值时，z 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

[解析]

(1)当z 为实数时，则有???

a 2－5a －6＝0，

a 2

－1≠0，

所以?????

a ＝－1或a ＝6，

a ≠±

1.

所以当a ＝6时，z 为实数．

(2)当z 为虚数时，则有???

a 2－5a －6≠0，

a 2

－1≠0，

所以?????

a ≠－1或a ≠6，

a ≠±

1.

即a ≠±1且a ≠6.

所以当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．

(3)当z 为纯虚数时，则有????

?

a 2－5a －6≠0，

a 2

－7a ＋6

a 2

－1

＝0.

所以??

?

a ≠－1且a ≠6，

a ＝6.

所以不存在实数a 使得z 为纯虚数．

17．若x ∈R ，试确定a 是什么实数时，等式3x 2

－a

2x －1＝(10－

x －2x 2)i 成立．

[解析] 由复数相等的充要条件，得 ?????

3x 2－a 2x －1＝0，①10－x －2x 2＝0.②

由②得x ＝2或x ＝－52， 代入①，得a ＝11或a ＝－71

5.

18．已知z 1＝? ?

???cos α－45＋i ? ????sin α－35，z 2＝cos β＋isin β，且z 1＝z 2，求cos(α－β)的值．

[解析] 由复数相等的充要条件，知 ?????

cos α－45＝cos β，

sin α－35＝sin β.

即?????

cos α－cos β＝45，①

sin α－sin β＝35.②

①2＋②2得2－2(cos α·cos β＋sin α·sin β)＝1， 即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝1

2.