初三数学培优竞赛精讲精练-第7讲 转化与化归
第七讲 转化与化归 可化为一元二次方程的方程及方程组
数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎?彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．” 转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．
【例题求解】
【例1】 已知关于x 的方程4322(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实数根，若所有的实数根的积为－2，则所有实数根的平方和为 。
思路点拨：将方程左边因式分解，化高次方程为低次方程。
【例2】1=的解的情形是（ ）
A 、无解
B 、恰有一个解
C 、恰有两个解
D 、有无穷多个解
思路点拨1=，即
231+=，通过讨论去掉绝对值符号。
【例3】解下列方程：
（1）222234112283912
x x x x x x x x ++-+=+-+ （河南省竞赛题） （2）33
(1999)(1998)1x x -+-=； （山东省竞赛题） （3）21313()4211
x x x x x x --+=++； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）2(1)(35)1444524
x x x y x x y ++=??++=? （西安市竞赛题） 思路点拨：
按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于（1），利用倒数关系换元；对于（2），从(1999)(1998)1x x -+-=受到启示；对于（3），设131
x y x -=+，则可导出x y +、xy 的
结果；对于（4），视2x x +，35x y +为整体，可得到2()(35)x x x y +++、2
()(35)x x x y ++的值。
【例4】解下列方程（组）：
（1）
、25x x += （克罗地亚奥林匹克试题）
（2
）520511
x y x y ?-+=??-=?? （2011年《数学周报》杯全国初数学竞赛题）
非等价转化
【例5】若关于x 的方程2211k x kx x x x x
+-=--只有一个解（相等的解也算作一个），试求k 的值与方程的解。
分析：先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k 的值。
学力训练
1、方程
542332x x x
+=--的解是 。 （威海市中考题） 2、方程2()65()11
x x x x +=--的整数解是 。 （天津市中考题） 3、用换元法解方程63521x x x x -+=-时，如果设2x x y +=，那么原方程可变形为（ ）
A 、220y y ++=
B 、220y y --=
C 、220y y -+=
D 、2
20y y +-= 5、关于x 的方程
11
a x =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ）。 A 、1a B 、1a 且0a ≠ C 、1a ≤ D 、1a ≤且0a ≠ （山西省中考题）
6、下列方程有实数解的是（ ）
A
1=- B 、120x ++= C 、111
x x x =++ D 、2230x x -+= （潍坊市中考题）
7、解方程组222230
x y x xy y -=??--=? （2011年上海市中考题）
8、解下列方程：
（1）2654111
x x x x x ++=--+ （上海市中考题） （2）222(1)160x x x x
+++-= （苏州市中考题） （3）2261x x x x
=+++ （天津市中考题） （4）(1)(2)(3)(4)120x x x x ++++=
9、（1
）求方程22552x x ++=
（日本数学奥林匹克试题）
（2
）解方程组2()2345
x y z x y z ?++-=??==??
（太原市竞赛题）
能力拓展：
10、解方程222211114325671221
x x x x x x x x +++=+++++++得 。 （“祖冲之杯”邀请赛试题）
11、方程18272938
x x x x x x x x +++++=+++++的解是 。 （第16届江苏省竞赛题） 12、若实数x 、y 满足703392xy x y x y xy
+++=??+=+?，则22x y xy +＝ 。 （第20届江苏省竞赛题）
13、若实数x 、y 、z 满足方程组1
22232xy x y yz y z zx z x ?=?+??=?+??=?+?
，则（ ） A 、230x y z ++= B 、7520x y z ++= C 、9630x y z ++= D 、
1070x y z ++=
14、如果方程32
54(4)0x x k x k -++-=的三个根可以作为一个三角形的三边长，则实数k 的值为（ ）
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
（四川省竞赛题） 15、关于x 的方程2
1
x a x =-仅有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）。 A 、0a B 、4a ≥ C 、24a D 、04a
（全国初中数学联赛）
16、解下列方程（组）：
（1）2221(1)(24)x x x x x x -+=++++
（2011年青少年数学国际城市邀请赛）
（2）22()31
x x x +=+ （3）3223221010
x xy y y x y x ?+--=??+--=?? （德国数学奥林匹克试题） （4）229410(9)(4)24x y x y x y xy ?+++=???++=?
（太原市竞赛题）
（5）2
2
2
2414414414x y
x y z y z x z
?=?+??=?+??=?+? （加拿大数学奥林匹克试题） 17、对于实数a ，只有一个实数值x 满足等式211220111
x x x a x x x +-++++=-+-，试求所有这样的实数a 的和。
（第19届江苏省竞赛题）
综合创新：
18、已知关于x 、y 的方程组2223()x y p xy p x y p
?-=??+-=??有整数解(,)x y ，求满足条件的质数p 。 （四川省竞赛题）
19、已知a 、b 、c
三数满足方程组2848
a b ab c +=???-+=??，试求方程20bx cx a +-=的根。
（全国初中数学联赛题）