二次函数的图像及其三种表达式之欧阳歌谷创编
二次函数的图像及其三种表达式
欧阳歌谷(2021.02.01)
学生:时间:
学习目标
1、熟悉常见的二次函数的图像;
2、理解二次函数的三种表达式
知识点分析
1、.二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B (x2,0)的抛物线]
2、一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
例题精讲
例题1已知函数y=x2+bx+1的图象经过点(3,2).
(1)求这个函数的表达式;
(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;
(3)当x >0时,求使y ≥2的x 的取值范围.
例题2、一次函数y=2x +3,与二次函数y=ax 2+bx +c 的图象交于A (m ,5)和B (3,n )两点,且当x=3时,抛物线取得最值为9.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象;
(3)从图象上观察,x 为何值时,一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大.
(4)当x 为何值时,一次函数值大于二次函数值?
随堂练习
1.已知函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象,如图①所示,则下列关系式中成立的是()
A .0<-a b 2<1
B .0<-a b 2<2
C .1<-a b 2<2
D .-
a b
2=1 图①
图② 2.函数y =2
1
x 2+2x +1写成y =a (x -h)2+k 的形式是 A.y =2
1(x -1)2+2 B.y =21(x -1)2+2
1 C.y =2
1(x -1)2-3
D.y =21(x +2)2-1 3.抛物线y =-2x 2-x +1的顶点在第_____象限
A.一
B.二
C.三
D.四
4.不论m 取任何实数,抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都
A.在y =x 直线上
B.在直
线y =-x 上
C.在x 轴上
D.在y
轴上
5.任给一些不同的实数n ,得到不同的抛物线y =2x 2+n ,如当n =0,±2时,关于这些抛物线有以下结论:①开口方向都相同;②对称轴都相同;③形状都相同;④都有最低点,其中判断正确的个数是
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 6.二次函数y =x 2+p x +q 中,若p+q=0,则它的图象必经过下列四点中
A.(-1,1)
B.(1,-1)
C.(-1,-1)
D.(1,1)
图3
7.下列说法错误的是
A.二次函数y =-2x 2中,当x =0时,y 有最大值是0
B.二次函数y =4x 2中,当x >0时,y 随x 的增大而增大
C.在三条抛物线y =2x 2,y =-0.5x 2,y =-x 2中,y =2x 2的图象开口最大,y =-x 2的图象开口最小
D.不论a 是正数还是负数,抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点
8.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2-1的最小值是0,则k 的值是 A.43
B.-43
C.45
D.-
45 9.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上,依横坐标找到三点(-
1,y 1),(21,y 2), (-32
1,y 3),则你认为y 1,y 2,y 3的大小关系应为
A.y 1>y 2>y 3
B.y 2>y 3>y 1
C.y 3>y 1>y 2
D.y 3>y 2>y 1
10.抛物线y =2
1(x +3)2的顶点坐标是______.
11.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后,所得抛物线的顶点坐标是______.
12.函数y =34x -2-3x 2有最_____值为_____.
13.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(-2,3),且过(-1,
5),则抛物线的表达式为______.
14.二次函数y =mx 2+2x +m -4m 2的图象过原点,则此抛物线的顶点坐标是______.
15.抛物线y=ax 2+bx +c (c ≠0)如图②所示,回答:
(1)这个二次函数的表达式是;
(2)当x=时,y=3;
16.抛物线y=ax 2+bx +c (c ≠0)如图②所示,回答:
(1)这个二次函数的表达式是;
(2)当x=时,y=3;
(3)根据图象回答:当x 时,y >0.
17.已知抛物线y=-x 2+(6-2k )x +2k -1与y 轴的交点位于(0,5)上方,则k 的取值范围是.
18.一根长为100m 的铁丝围成一个矩形的框子,要想使铁丝框的面积最大,边长分别为.
19.若两个数的差为3,若其中较大的数为x ,则它们的积y 与x 的函数表达式为,它有最值,即当x=时,y=.
20.边长为12cm 的正方形铁片,中间剪去一个边长为x 的小正方形铁片,剩下的四方框铁片的面积y (cm 2)与x (cm )之间的函数表达式为.
21.等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为.
22.抛物线y=x 2+kx -2k 通过一个定点,这个定点的坐标为. 23.已知抛物线y=x 2+x +b 2经过点(a ,-4
1)和(-a ,y 1),
则y1的值是.
24.如图,图①是棱长为a的小正方体,②、③是由这样的小正方体摆放而成,按照这样的方法继续摆放,由上而下分别叫第一层、第二层……第n层,第n层的小正方体的个数记为S,解答下列问题:
(1
n 1 2 3 4 …
s 1 3 6 …
(2)写出当n=10时,S=.
(3)根据上表中的数据,把S作为纵坐标,n作为横坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点.
(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗?如果在某一函数的图象上,求出该函数的表达式.
25.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.图中二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数表达式;
(2)求截止到几月末公司累积利润可达
到30万元;
(3)求第8个月公司所获利润是多少万
元?
《求二次函数的表达式》练习题
3.求二次函数的表达式 类型一:已知顶点和另外一点用顶点式 已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数关系式. 练习: 已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过点(1,10),求其解析式 类型二:已知图像上任意三点(现一般有一点在y轴上)用一般式 已知二次函数的图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数的关系式. 练习: 已知抛物线过三点:(-1,2),(0,1),(2,-7).求解析式
类型三:已知图像与x轴两个交点坐标和另外一点坐标,用两根式 已知二次函数的图象过(-2,0)、(4,0)、(0,3)三点,求这个二次函数的关系式. 练习: 已知抛物线过三点:(-1,0)、(1,0)、(0,3). (1).求这条抛物线所对应的二次函数的关系式; (2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 巩固练习: 1.已知二次函数的图象过(3,0)、(2,-3)二点,且对称轴是x=1,求这个二次函数的关系式. 2..已知二次函数的图象过(3,-2)、(2,-3)二点,且对称轴是x=1,求这个二次函数的关系式.
3.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C。若AC=20,BC=15, ∠ACB=90°,试确定这个二次函数的解析式 4.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点(0,1),求这个二次函数的关系式. 小测: 1.二次函数y=x2-2x-k的最小值为-5,则解析式为。 2.若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8,且顶点坐标为(1, 5),则它们的解析式为。 3.已知一个二次函数的图象经过点(6,0),且抛物线的顶点是(4,-8),求它的解析式。 4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点坐标为(-2,3),且过点(1,0),求此二次函数的解析式.
二次函数的图像及其三种表达式
二次函数的图像及其三种表达式 学生: 时间: 学习目标 1、熟悉常见的二次函数的图像; 2、理解二次函数的三种表达式 知识点分析 1、.二次函数的三种表达式 一般式:y=ax^2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0) 顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P (h ,k )] 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A (x1,0)和 B (x2,0)的抛物线] 2、一般地,自变量x 和因变量y 之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0,且a 决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.) 则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 例题精讲 例题1已知函数y=x 2 +bx +1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的表达式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x >0时,求使y ≥2的x 的取值范围. 例题2、一次函数y=2x +3,与二次函数y=ax 2 +bx +c 的图象交于A (m ,5)和B (3,n )两点,且当x=3时,抛物线取得最值为9. (1)求二次函数的表达式; (2)在同一坐标系中画出两个函数的图象; (3)从图象上观察,x 为何值时,一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大. (4)当x 为何值时,一次函数值大于二次函数值? 随堂练习 1.已知函数y=ax 2 +bx +c (a ≠0)的图象,如图①所示,则下列关系式中成立的是( ) A .0<- a b 2<1 B .0<-a b 2<2 C .1<-a b 2<2 D .-a b 2=1 图① 图② 2.函数y = 21x 2 +2x +1写成y =a (x -h)2+k 的形式是 A.y =21(x -1)2+2 B.y =21(x -1)2+2 1
九年级数学:二次函数表达式的确定练习(含解析)
九年级数学:二次函数表达式的确定练习(含解析) 1.函数y =21 x 2+2x +1写成y =a (x -h)2+k 的形式是 A.y =21 (x -1)2+2 B.y =21(x -1)2+21 C.y =21 (x -1)2-3 D.y =21 (x +2)2-1 2.抛物线y =-2x 2-x +1的顶点在第_____象限 A.一 B.二 C.三 D.四 3.不论m 取任何实数,抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都 A.在y =x 直线上 B.在直线y =-x 上 C.在x 轴上 D.在y 轴上 4.任给一些不同的实数n ,得到不同的抛物线y =2x 2+n ,如当n =0,±2时,关于这些抛物线有以下结论:①开口方向都相同;②对称轴都相同;③形状都相同;④都有最低点,其中判断正确的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.二次函数y =x 2+p x +q 中,若p+q=0,则它的图象必经过下列四点中 A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,-1) D.(1,1) 图3 6.下列说法错误的是 A.二次函数y =-2x 2中,当x =0时,y 有最大值是0 B.二次函数y =4x 2中,当x >0时,y 随x 的增大而增大 C.在三条抛物线y =2x 2 ,y =-0.5x 2 ,y =-x 2 中,y =2x 2 的图象开口最大,y =-x 2 的图象开口最小 D.不论a 是正数还是负数,抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 7.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2-1的最小值是0,则k 的值是 A.43 B.-43 C.45 D.-45
二次函数表达式、图象、性质及计算(讲义)
二次函数表达式、图象、性质 及计算(讲义) 一、知识点睛 1. 一般地,形如__________________(_______________)的 函数叫做x 的二次函数. 2. 表达式、图象及性质: ①由一般式通过______________可推导出顶点式. 顶点式:________________(其中h =______,k =_________). ②二次函数的图象是_________,是________图形,对称轴是__________,顶点坐标是_____________. ③当a_______时,函数有最_____值,是____________; 当a_______时,函数有最_____值,是____________. ④当a _____时,图象以对称轴为界,当x______时,y 随x 的增大而_______,当x______时,y 随x 的增大而_______;当a_____时,图 象以对称轴为界,当x______时,y 随x 的增大而_______,当x______时,y 随x 的增大而_______. ⑤a ,b ,c 符号与图象的关系: a 的符号决定了抛物线的开口方向,当_____时,开口向____;当_____时,开口向____. c 是抛物线与_______交点的______. b 的符号:与a_____________,根据_____________可推导. 3. 二次函数图象平移: ①二次函数图象平移的本质是__________,关键在______. ②图象平移口诀:________________、________________. 平移口诀主要针对二次函数_________________. 二、精讲精练 1. 下列函数(x ,t 是自变量)是二次函数的有________.(填写序号) ①2132y x x =--;②2123y x x =-+;③21 32 y x =-+; ④2 22y x =+;⑤2y x =-;⑥231252 y x x =-+; ⑦215s t t =++;⑧2 20x y -+=. 2. 若函数7 2 )3(--a x a y =为二次函数,则a =( ) A .-3 B .3 C .±3 D .5 3. 通过配方把221213y x x =-+写成2 ()y a x h k =-+的形式( ) A .2 (3)5y x =-- B .2 (3)5y x =+- C .2 2(3)5y x =-+ D .2 2(3)5y x =--
二次函数表达式三种形式练习题
7.已知二次函数的图象经过点(﹣1,﹣5),( 0, 4)和(1,1),则这二次函数的表达式为( A .y=﹣6x 2+3x+4 B .y=﹣2x 2+3x ﹣4 C .y=x 2+2x ﹣4 D .y=2x 2+3x ﹣4 8.若二次函数 y=x 2﹣2x+c 图象的顶点在 x 轴上,则 c 等于( )A .﹣1 B .1 C . ) D .2 9.如果抛物线经过点A (2,0)和B (﹣1,0),且与y 轴交于点C ,若OC=2.则这条抛物线的解析式是( ) A . 10. A . 11. A . y=x 2﹣x ﹣2 B .y=﹣x 2﹣x ﹣2 或 y=x 2+x+2 C .y=﹣x 2+x+2 D .y=x 2﹣x ﹣2 或 y=﹣x 2+x+2 如果抛物线 y=x 2 ﹣6x+c ﹣2 的顶点到 x 轴的距离是 3,那么 c 的值等于( ) 8 B .14 C .8 或 14 D .﹣8 或﹣14 二次函数 的图象如图所示,当﹣1≤x ≤0 时,该函数的最大值是( ) 3.125 B .4 C .2 D .0 当﹣2≤x ≤1 时,二次函数 y=﹣(x ﹣m )2+m 2+1 有最大值 3,则实数 m 的值为( ) A . 或﹣ B . 或﹣ C .2 或﹣ D . 或﹣ 13.如果一条抛物线经过平移后与抛物线 y=﹣ x 2 +2 重合,且顶点坐标为(4, 的解析式为 . 14.二次函数的图象如图所示,则其解析式为 . 15.若函数 y=(m 2﹣4)x 4+(m ﹣2)x 2的图象是顶点在原点,对称轴是 y 轴的抛物线,则 m= . 16.二次函数图象的开口向上,经过(﹣3,0)和(1,0),且顶点到x 轴的距离为 2, 则该二次函数的解析式为 . 17.如图,已知抛物线 y=﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线 x=1,且与x 轴的一个交点为(3,0), 那么它对应的函数解析式是 . 18.二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象经过 A (﹣1,0)、 B (0,﹣3)、 C (4,5)三点,求出 抛物线解析式 . 19.二次函数图象过点(﹣3,0)、(1,0),且顶点的纵坐标为 4,此函数关系式为 20.如图,一个二次函数的图象经过点A ,C ,B 三点,点A 的坐标为(﹣1,0),点B 的坐标为 (4,0),点 C 在 y 轴的正半轴上,且 AB=OC .则这个二次函数的解析式是 . 21.坐标平面内向上的抛物线y=a (x+2)( x ﹣8)与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,若 1.把二次函数 y=x 2﹣4x+5 化成 y=a (x ﹣h )2+k (a ≠0)的形式,结果正确的是( ) A .y=(x ﹣2)2+5 B .y=(x ﹣2)2+1 C .y=(x ﹣2)2+9 D .y=(x ﹣1)2+1 2.将 y=(2x ﹣1)?(x+2)+1 化成 y=a (x+m )2+n 的形式为( ) D . 3.与 y=2(x ﹣1)2+3 形状相同的抛物线为( )A .y=1+ x 2 B .y=(2x+1)2 C .y=(x ﹣1)2 D .y=2x 2 4.二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,﹣4),则这个二次函数的解析式为( A .y=﹣2(x+2)2+4 B .y=﹣2(x ﹣2)2+4 C .y=2(x+2)2﹣4 D .y=2(x ﹣2)2﹣4 5.已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为( ) A .y=﹣3(x ﹣1)2+3 B .y=3(x ﹣1)2+3 C .y=﹣3(x+1)2+3 D .y=3(x+1)2+3 6.顶点为(6,0),开口向下,开口的大小与函数 y= x 2的图象相同的抛物线所对应的函数是( ) A .y= (x+6)2 B .y= (x ﹣6)2 C .y=﹣ (x+6)2 D .y=﹣ (x ﹣6)2 A . B . C . ) 2),则它