《工程数学(本)》作业答案(1)
《工程数学（本）》作业答案（1）
第2章 矩阵
（一）单项选择题（每小题2分，共20分）
⒈设a a a b b b c c c 1
23
1
231
23
2=，则a a a a b a b a b c c c 123
11
22
3312
3
232323---=（D ）．
A. 4
B. －4
C. 6
D. －6
⒉若
0001000
02001001a a =，则a =（A ）． A. 12 B. －1 C. -1
2
D. 1
⒊乘积矩阵1124103521-??????-????
?
?
中元素c 23=（C ）． A. 1 B. 7 C. 10 D. 8
⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B ）． A. A B
A
B +=+---1
1
1 B. ()AB BA --=11
C. ()
A B A B +=+---1
11 D. ()AB A B ---=111
⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D ）． A. A B A B +=+ B. AB n A B =
C. kA k A =
D. -=-kA k A n
()
⒍下列结论正确的是（ A ）．
A. 若A 是正交矩阵，则A -1
也是正交矩阵
B. 若A B ,均为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵
C. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB 也是非零矩阵
D. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB ≠0
⒎矩阵1325????
??的伴随矩阵为（ C ）． A. 1325--?????? B. --?????
?
1325 C. 5321--???
??? D. --????
?
?5321
⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（B ）．
A.A ≠0
B.A ≠0
C. A *≠0
D. A *>0 ⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1
（D ）．
A. ()
'---B A C 1
11 B. '--B C A 11
C. A C B ---'111
() D. ()B C A ---'111
⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）． A. ()A B A AB B +=++2
2
2
2 B. ()A B B BA B +=+2
C. ()
221111ABC C B A ----= D. ()22ABC C B A '='''
（二）填空题（每小题2分，共20分）
⒈210
14
0001---= 7 ． ⒉---1
1
1
1
11
11
x 是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ． ⒊若A 为34?矩阵，B 为25?矩阵，切乘积AC B ''有意义，则C 为 5×4 矩阵．
⒋二阶矩阵A =?????
?=11015
??
?
???1051
． ⒌设A B =-??????
?
???=--????
?
?124034120314,，则()A B +''=
??
?
???--815360 ⒍设A B ,均为3阶矩阵，且A B ==-3，则-=2AB 72 ．
⒎设A B ,均为3阶矩阵，且A B =-=-13,，则-'=-312()A B －3 ．
⒏若A a =???
?
??101为正交矩阵，则a = 0 ． ⒐矩阵212402033--???????
???的秩为 2 ． ⒑设A A 12,是两个可逆矩阵，则A O O
A 1
21
???
??
?=-??
?
???--121
1A O O A ． （三）解答题（每小题8分，共48分）
⒈设A B C =-???
???=-??????=-????
?
?
123511435431,,，求⑴A B +；⑵A C +；⑶23A C +；⑷A B +5；⑸AB ；⑹()AB C '．
答案：??????=+8130B A ??????=+40
66
C A ???
???=+73161732C A
??????=+01222265B A ?????
?=1223
77
AB ??
?
???='801512156)(C AB
⒉设A B C =--??????=-??????=--??????
?
??
?121012103211114321002,,，求AC BC +．
解：??????--=????
?
?????--??????=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC ⒊已知A B =-??????????=-??????
?
???310121342102111211,，求满足方程32A X B -=中的X ． 解： 32A X B -=
∴ ??
?
????
?
????????--=??????????--=-=252112712511234511725223821)3(21B A X
⒋写出4阶行列式
1020143602533110
-- 中元素a a 4142,的代数余子式，并求其值．
答案：0352634020)1(1441=--=+a 453
506310
21)1(2442=---=+a
⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：
⑴ 12
2212221--???????
???； ⑵ 1234231211111026---????????
?
??
?
； ⑶
1000110011101
11
1????????
????． 解：（1）
[]???
????
?????????--???→????????
?
???????
?---
-??→???????
???????
?------???→?????
?????
?------???→???????????--=+-+--+-++-+-919292929192929291100010001919
29
2
031320323
110
02
1
201
12
2
0120323190
0630
20110201200
1
360630
2
2
110
001000112
221
2
221
|2
313323
212312
1229
13123
2
22r r r r r r r r r r r r r r I A
???????
????????
?--=∴-919
2929291929292911
A （2）????????????--------=-35141201132051717266221A (过程略) (3) ?????
?
?
?????---=-1100011000110001
1A ⒍求矩阵10110111
10110010121012
11320
1????
????
?
???的秩． 解：?????
????
???----??→??
?
????
?
?????-----??→???
?????
??
???-------???→???
??????????+-+-+-+-+-000000001110001110110110110101110000111000111011011
11
1
12211100111000111011011
11
1
102311
21012101001101111011014342413
12
12r r r r r r r r r r ∴ 3)(=A R
（四）证明题（每小题4分，共12分） ⒎对任意方阵A ，试证A A +'是对称矩阵．
证明：'')''(')''(A A A A A A A A +=+=+=+
∴ A A +'是对称矩阵
⒏若A 是n 阶方阵，且AA I '=，试证A =1或-1．
证明： A 是n 阶方阵，且AA I '=
∴ 12
==='='I A A A A A
∴
A =1或1-=A
⒐若A 是正交矩阵，试证'A 也是正交矩阵． 证明： A 是正交矩阵
∴ A A '=-1
∴ )()()(111''==='---A A A A
即'A 是正交矩阵