三、反证法与放缩法(优秀经典公开课教案及练习解答)

反证法与放缩法

目的要求：掌握证明不等式的基本的解法之----反证法与放缩法。

重点难点： 掌握反证法和放缩法的使用情景和思考过程

教学设计：

（一）、反证法

一、引入：

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则q ”，而是先肯定命题的条件p ，并否定命题的结论q ，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步 作出与所证不等式相反的假定；

第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

二、范例分析：

():

,","3,.,6,.我们可以这样来证明那么如果对于性质例如事实直接推出本小关系的基有的可以由实数大条性质中可以发现质性本过不等式的基究研前面我们曾经c b c a b a +>+>()().,0,0c b c a b a c b c a b a b a +>+>-=+-+>->所以于是得由()那

如果但对于性质,0"6>>b a ():

."2,这时可以采用如下方法实直接推证出结论事我们很难从条件和已有么≥∈>n N n b a n n .,,n n n n n n b a b a b a <=>或那么必有不成立假设().

,.0.5,;,成立于是矛盾这些都与有那么由性质如果那么如果n n n n n n b a b a b a b a b a b a >>><<==.21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证

且已知例x y y x y x y x ++>+>211.2,2)(22,21 ,21,0,,21,21,21,1:中至少有一个小于与矛盾这与已知条件且即都不小于假设证明x y y x y x y x y x y x x y y x y x x y y x x y y x ++∴>+≤+∴+≥++∴≥+≥+∴>≥+≥+++Θ

反证法主要适用于以下两种情形：

(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;

(2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.

（二）放缩法

一、概念：

证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中

有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.

通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有较在原灵活性;另外,用

放缩法证明不等式,关键是放、缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较强的一种证法.

下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。

二、范例分析：

21,,,, 3<+++++++++++<

∈+c

a d d

b d

c c a c b b

d b a a R d c b a 求证已知例c a d d d c b a d b d c c d c b a c a c b b d c b a b d b a a d c b a a d c b a ++<+++++<+++++<+++++<+++∴>,0,,, :Θ证明.

,,于是考虑采用反证法够清晰不索论的线直接由条件推出结

的联系不明显要证的结论与条件之间分析.),(),(),,,(.,,,,,与这种情形类似例如其他两个例如只要讨论其中一个我们

件的位置不改变命题的条任意交换注意到条件的特点但

不是正数的情形这时需要逐个讨论不全是正数假设c b a c b a c b a c b a 0.

c 0,b 0,a :0,abc 0,

ca bc ab 0,c b a ,,, 2>>>>>++>++求证为实数已知例c b a .,0,0,0.0.0,0

)(,0,

0,00,0)2(.0,0,0,0)1(.

00,0,,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能

相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明>>><∴>++<++=++>-=+∴>++<><=∴>==<=≤c b a a ca bc ab bc c b a ca bc ab a c b c b a bc abc a a abc abc a a a a c b a

注：

（三）小结：

.||||1||||||1||,b a b a b a b a +++≤+++我们证明了在上述过程中

()[)()().,||||||0,,,,0,1为增函数是容易证的而得到上式成立就可以由函数为增只要证明函数那么从函数的观点看如果令x f b a b a x f x x

x x f +≤+≤+∞∈+=,|

|1||||1||||||1||||,||||1||b b a a b a b a b a b a +++≤++++++得到替代将不等式左边用分析.,||||1||||||1||,,就可以得到证明那么原不等式如果能证明所以明的这个不等式是很容易证b a b a b a b a +++≤+++||111||1|||,|||||0b a b a b a b a b a ++-=++++≤+≤所以因为证明|

|||1||||b a b a +++=||||1||||||1||b a b b a a +++++=.||1||||1||b b a a +++≤21 . <+++++++++++<+++++<+++++++++++<++++++c

a d d a

b

c c a c b b

d b a a d c d c b a b a c a d d d b c c a c b b d b a a d c b a d c b a 即得把以上四个不等式相加.,4,,,4,.,显然太大了那么和放大为母依次缩为项分如果把和式的例如上述过程中关键是放、缩适当用放缩法证明不等式cd b a .|

|1||||1||||1||,,4b b a a b a b a b a +++≤+++求证是实数已知例.

,,,,.,,择合适的方法选作具体分析应该对具体问题的特点的统一方法题没有一种适用于所有问一样证明问题学上所有其他明与数证不等式应该注意纳法等四讲中要介绍的数学归如在第还有其他一些方法常用方法除以上方法外种的几上面介绍了证明不等式)2(121,121,)1(11,)1(11;)21(43)21(.)3(;)2(;)()1(:

.,,,,2222+∈>++>-+<+>-<+>++<

一些项或加进舍掉常用的放缩技巧有后证即放大成如将寻找一个中间量一边放大或缩小放缩法就是将不等式的

（四）作业