数学活动——探究四点共圆的条件
数学活动——探究四点共圆的条件
一内容和内容解析
1.内容：探究四点共圆的条件
2.内容解析：四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过不在同一直线上的三个
点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共
圆的条件的探究。
在四点共圆的条件的探究过程中，首先学生在已学的圆相关知识基础上，对四点共圆的条件进行合理猜想：圆内接四边形对角互补，相应的，对角互补的四边形的四个顶点共圆；
再利用计算机工具，对特殊的四边形（平行四边形、矩形、等腰梯形）、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形以及任意四边形等，在几何画板上进行测量检验，
用实验的方法验证猜想的正确性；然后对正方形、矩形、一组对角同时等于九十度的四边形、
任意对角互补的四边形四个顶点共圆进行理论推理验证，最终得出结论。学生全程感受并经历了发现并提出问题——猜想——实验验证——理论推理验证——得出结论的活动过程，在“做”的过程和“思考”的过程中，积累数学活动的经验；在验证的过程中体现了特殊到一
般的思想，同时，在研究中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点
共圆的条件，体现了转化的思想。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：四点共圆的条件的探究。
二目标和目标分析
1.目标
（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验。
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证
法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否
可以做一个圆。
达成目标（2）的标志是：通过猜想，实验验证、理论推理验证得出结论，体会数学活
动的完整过程，在过程中积累经验；通过几何画板画图，测量，比较，分析平行四边形、矩
形、菱形、等腰梯形、直角梯形、一组对角等于九十度的四边形、一般的对角互补的四边形
的四个顶点能否共圆，得到：对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论。体会由特殊到一般的研究规律；将证明四点共圆的问题转化为不共线的三点可以确定的圆，与第四个顶点之间的关系，并应用圆内接四边形对角互补的性质获得证明；在解决问题的过程中，积极思考、勇于质疑，体会发现问题、解决问题、有效的呈现活动结果等过程是数学活动的基本
过程。
三教学问题诊断分析
学生从一开始发现问题，到后来的猜想，都是在已有知识的基础上，从已学定理：圆内接四边形对角互补出发，研究它的逆命题：对角互补的四边形四个顶点共圆。在探究过程中鼓励学生在已学知识基础上进行合理大胆的猜想。
在验证的过程中，学生可能会联想到任意一个三角形的三个顶点作一个圆的影响，去判断第四个顶点时候在这个圆上，解决这一问题的关键是引导学生从特殊的四边形出发，从特殊到一般的探究问题，通过画图、测量、比较，分析各种四边形的顶点是否共圆。
另外，在进行理论验证的过程中，要用到反证法，学生可能不知如何下手，而且猜想的证明对学生来说是难点。关键是从过任意一个三角形的顶点能作一个圆入手，把四点共圆问
题转化成点与圆的关系，再由圆内接四边形对角互补得到证明方法。
基于以上分析，本节课的教学难点是：对角互补的四边形四个顶点共圆的理论证明。
四教学过程设计
1、自主活动，发现问题
引言：
师：经过了这一章圆相关知识的学习后，大家以小组为单位，利用课余时间对章末的几个数
学活动进行了探究。现在请个别小组与大家进行简单的交流分享。
生：第一小组交流第一个数学活动《车轮做成圆形的数学道理》以及活动3《设计图案》课后探究成果与心得，同时提出问题：在第二个数学活动《探究四点共圆的条件》时遇到困难，感觉无从下手。
师：其他小组有哪些要分享的？
生：第二小组分享与《探究四点共圆的条件》相联系的相关知识点。其中主要包括：（1）圆的定义；（2）点与圆的位置关系；（3）经过一个点、两个点以及不在同一直线上的三个点，
分别可以做几个圆
设计意图：本节属于数学活动课，主要需要学生主体经历数学活动的完整过程。所以，首先让学生利用课余时间自主探究较为简单的活动1《车轮做成圆形的数学道理》以及活动3《设计图案》，然后在探究的过程中发现问题，带着问题接着进行探究活动，这是问题化教学的
开端；同时，也帮助学生整理课上所需的相关知识点，以顺利完成课堂探究内容。
2、对比已知命题，获得初步猜想
师：还有其他发现吗？
生：回忆曾经学过的定理：圆内接四边形对角互补。猜想：对角互补的四边形四个顶点共圆。设计意图：学生在相关知识的基础上，对探究结论进行合理大胆猜想，是数学探究过程中不可缺少的部分，有了合理的猜想，接下来的探究才有明确的方向。
3、利用信息技术手段，实验验证猜想
师：同学的猜想与我们今天要研究的内容是命题与逆命题的关系，这也是数学中常用的研究方法。从命题入手，研究它的逆命题是否成立！大家在数学活动的探究过程中发现了问题并
提出，然后在已有知识基础上进行了大胆合理的猜想。那么接下来我们需要对猜想进行验证。
请思考，如何验证：四边形的四点顶点是否共圆？
生：将研究四点共圆的问题转化为先研究不在同一直线上的三个点确定一个圆，再验证第四个点是否在同一个圆上。
师：又如何验证第四个点D是否在已知圆上？
生：利用点与圆的位置关系。点在圆上，点到圆心的距离等于半径。
师：老师按照同学们的方法，利用几何画板，进行测量验证。
师：这个四边形
是不是所有对角互补的四边形一定共圆，而对角不互补的四边形四个顶点不共圆？需要我们
一起来验证。我们从特殊图形入手，先回忆一下学过的四边形都有哪些？
生：正方形、菱形、平行四边形、梯形。。。。
师：补充。
师：在屏幕上给出部分特殊四边形，同学们以小组为单位，按照屏幕上的任务分配分组进行
验证。并把结果展示在白板上。
生：分组进行验证。
师：观察验证过的可以共圆的四边形，他们有哪些共同特征
生：从边，角等不同方面总结。确定：对角互补的四边形四个顶点共圆。
设计意图：将研究四点共圆的问题转化为先研究不在同一直线上的三个点确定一个圆，再验
证第四个点是否在同一个圆上，这是转化的数学思想的应用；在四边形的验证过程中，渗透了由特殊到一般的探究规律；学生利用现代化信息手段对猜想进行验证，既保证了实验结果的准确性，也提高了学生的探究兴趣，增强小组合作意识，丰富了数学活动探究的感受。
4、理论证明猜想，获得最终结论
师：大家通过实验，验证了猜想是正确的。但这不足以说明问题。我们还必须对猜想进行理论推理验证。
请看学案卷。我们还是从特殊图形入手，
例1
（一）已知：正方形ABCD，
求证：过正方形ABCD的四个顶点A,B,C,D可以做一个圆.
生：独立动笔完成。
一名同学到前面，利用几何画板现场做辅助线讲解。
例2
（二）已知：矩形ABCD，
求证：过矩形ABCD的四个顶点A,B,C,D可以做一个圆.
生：独立完成。
一名同学讲解。
例题3
（三）已知：四边形ABCD中，
（1）若已知∠A=∠C=90°. 求证：过四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D可以做一个圆. （2）若∠A+∠C=180°. 求证：过四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D可以做一个圆.
生：独立解决，小组讨论
第一问：一名同学板书；两名同学分别用不同的方法给同学讲解。
第二问：小组讨论后，询问解决情况。
师：既然原有的方法解决不了，如果假设这个点不在圆上，那会出现什么结论？
生：点在圆外和点在圆内
师：这种从假设出发，分析问题的方法在数学中叫反证法。反证法怎么用呢？我们一起通过
视频回忆一下反证法的相关知识。
请看微视频。（微视频播放反证法定义、用法、以及注意事项）
根据反证法的注意事项，这道题原结论的反面有几种情况？
那么我们需要将这两种情况一一驳倒！
生：动笔解决
两名同学现场利用几何画板做辅助线，讲解不同两种情况的解决方法，点拨关键点；大屏幕展示准确的书写步骤
师：经过推理验证，最终我们可以推导出对角互补的四边形四个顶点共圆。
设计意图：有了前面几何画板实验验证的过程做铺垫，这几道图形的证明对学生来说有有了
证明的方向。前两道题，基本可以轻松完成；第三题的第一问学生可以尝试多种方法验证；
三题第二问是本课难点，需要引导学生使用反证法。题型由易到难，让学生在解决时感受到有台阶可以攀登；微视频以诙谐幽默的口吻重温反证法的相关内容，同时强调注意事项，加深印象，让学生对不熟悉的内容产生亲切感。
5、学以致用，利用结论实践应用
用我们的活动成果来解决几个小问题
1.如图，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=∠A，那么同时过点A，B，C,D_________作一个圆.
2.如图，经过四边形ABCD的四个顶点可以做一个圆，若∠A=120°，则∠C的度数为______.
3.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=16°，则∠ABD的度数为___________.
生：独立解决。小组合作
1.2题学生直接回答，点拨问题关键点即可
3题一名同学到前面利用几何画板现场讲解
设计意图：以上几道小题，主要考察学生对： 1.能否由四边形的对角互补判定四边形四个顶
点共圆；2.对圆内接四边形对角互补的掌握情况； 3.利用对角互补的四边形四个顶点共圆将
四边形问题转化为圆的问题，借助于圆的相关知识解决问题。
6、归纳反思，总结提升
通过今天的学习，你有哪些收获？
生：
师：我们一起通过一段视频来回忆一下今天的内容。
播放微视频，师生共同观看
设计意图：学生从自我总结中体会在知识、技能、方法等方面的收获；再通过视频总结对本
节内容进行梳理，提升学生对数学思想、数学方法的认识与运用，增强学生的数学能力和对
数学的积极情感。