18. 随机变量X 的所有可能取值为0和x ,且P{X=0}=0.3,E (X )=1,则x=10
7
.
19. 设随机变量X 的分布律为
则D (X )= 1
20. 设二维随机变量(X ,Y )~N (μ1,μ2;2
221,σσ;ρ),且X 与Y
相互独立,则ρ= 0 . 三、 判断题
1. 连续型随机变量的分布函数是连续函数。( 对 )
2. 任何随机事件的概率都是小于1的实数。( 错 )
3. 随机变量的分布函数是一个不减函数。( 对 )
4. 任何随机变量的分布函数都是连续的。( 错 )
5. 设样本空间{}4321,,,ωωωω=Ω,事件{}431,,ωωω=A ,则75.0)(=A P
( 错 )
6. 设n 次独立重复试验中,事件A 出现的次数为X ,则 5n 次独立重复试验中,事件A 出现的次数未必为5X 。( 错 )
7. 设a , b 为常数,F (x )是随机变量X 的分布函数. 若F (a ) < F (b ), 则 a
8. 若随机变量)5.0;1,0;1,0(~),(-N Y X ,则)1,0(~N Y X +。( 对 ) 9. )()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的必要而非充分的条件。 ( 对 )
10. 若随机变量),(~m m F X ,则概率)1(≤X P 的值与自然数m 无关。 ( 对 )
11. 置信度α-1确定以后,参数的置信区间是唯一的。 ( 错 )
12. 若事件A,B 相互独立,则AB=? ( 错 )。 13. 若(X,Y)的联合分布密度为f(x,y), 则Y 的边缘分布密度为
()(,)Y f y f x y dx +∞
-∞
=
?
.( 对 ).
14. 若X,Y 相互独立, 都服从正态分布, 则(X,Y)服从二维正态分布. ( 对 )
15. 其概率为1的事件,必定是必然事件. (错)
16. 若随机变量A,B 相互独立,则,A B 也相互独立. (对) 17. 若随机变量X,Y 都服从正态分布,则(X,Y)也服从正态分布. (错) 18. 连续型随机变量X,Y 相互独立的充要条件f(x,y)=()()X Y f x f y ?.(对) 19. 设12,,,n X X X ???是来自正态总体X 的样本,且E(X)=μ,则
(1)
X
t n -. (对)
20.随机变量X与Y不相关,X与Y一定相互独立。(错)
四、计算题
1.设(X,Y)服从在区域D上的均匀分布,其中D为x轴、y轴及
x+y=1所围成,求X与Y的协方差Cov(X,Y).
解:设(X,Y)服从在区域D上的均匀分布,可得联合密度为:
2,
(,)
0,
x y D
f x y
x y D
()∈
??
= ??
()?
??
1112
000
1112
000
1111
223
0000
21
()2(22)1
33
21
()2(22)1
33
1 ()2(1)(2)
12
1111
(,)()()()
123336
x
y
x
E X xdydx x x dx
E Y ydydx y y dy
E XY xydydx x x dx x x x dx Cov X Y E XY E X E Y
-
-
-
==-=-=
==-=-=
==-=--= =-=-?=-
???
???
????
2.已知随机变量X与Z相互独立,且)1,0(
~U
X,)2.0,0(
~U
Z,Z
X
Y+
=,
试求:(),(),cov(,)
E Y D Y X Y. (注:)1,0(
~U
X是表示服从区间[0,1]的均匀分布。)
11
(),()
210
113
()()()
2105
E X E Z
E Y E X E Z
==
=+=+=
1113()()()()12300150
D Y D X Z D X D Z =+=+=
+= 22222cov(,)(())()()
()()[()()]()()[()]()()()[()]()112
X Y E X X Z E X E X Z E X XZ E X E X E Z E X E XZ E X E X E Z E X E X D X =+-+=+-+=+--=--==
3. 设X,Y 的联合分布函数为
()1,0,0,(,)0,x y x y e e e x y F x y ---+??
--+ >>=?? ??
其他.
问X 和Y 是否相互独立?
解:1,0()(,)0,1,0()(,)0,()()
X Y x x y y x y e x F x F x e y F y F y F x F y --??->=+∞=??
????
->=+∞=????
其他其他因为F(x,y)=所以,与相互独立
4. 设随机变量X 的概率密度为?
??<-=.,0,
1|||,|1)(其他x x x f
试求(1) X 的分布函数)(x F ; (2)概率1
(0)4
P X <<. 解:函数f(x)可转换成:
1,10
01()10,x x x f x x +-<?
≤<=-???
其他
分区间求X 的分布函数F (X ):
()x 1()00
x
x
f t dt
dt
-∞-∞
<-= =
=?
?F x 当时,
()1
11
1
21
2210()0(1)01121
122122x
x
x
x
x
x f t dt
dt t dt
dt tdt
t x x x x x -∞--∞
-----<<= =
++ =++ =++ =++-
=++
?
????F x 当时,
()1
1
020
2
20x 1,()0(1)(1)1
0121221221
22
x
x
x
x
x
f t dt
dt t dt t dt
dt tdt
t x x x x x -∞--∞
-≤<= =
+++- =++- =+- =+-
=-++
?
?????F x 当时
()1
1
x 1()()0(1)0
11
122
1
x
x
f t dt
f t dt dt F -∞-∞
>=
=
+ =+ =-++
=?
?
?F x 当时,
∴
220,1/21/2,10()/21/2,011,x x x x F x x x x x ≤- ????++ -<?=??-++ ≤??? ≥ 1 ??
(2)
211
(0)()(0)
44
11111
)244227
32
P X F F <<=- =-?(++- =
五、 证明题
1. 设12,,,,n X X X 是相互独立且都服从区间],0[θ上的均匀分布的随
机变量序列,令1max{
}n i i n Y X ≤≤=,证明 1)(lim =<-∞
→εθn n Y P . 证: ????∈=],0[,0]
,0[,/1)(~θθθx x x f X i 0,0
(),0
1,1x x F x x x θθ
??=≤?≥?? 1max{}n i i n
Y X ≤≤=的密度为 1
,[0,]()0,[0,]
n n n Y ny y f x y θθθ-?∈?
=????
0ε?>
1
1
||0
0(||)()
(1)0,
n n n n
n
y n
n n
ny ny P Y dy dy
as n θε
θε
θεθθθεεθ
θ
----≥
<-≥==
-==-→→∞
??
即0)(lim =≥-∞→εθn n Y P , 所以 1)(lim =<-∞
→εθn n Y P . 2. 设A ,B 是两个随机事件,0
)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=
[]
)
()
()|()|()()(A P AB P A B P A B P A P A P =
=+=, 所以 )()()(B P A P AB P =.
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故
《概率论与数理统计》复习题1答案
《概率论与数理统计》复习题一答案 一、是非题 1、对事件A 与B , 一定成立等式()A B B A -=. (错) 2、对事件A 和B , 若()()1P A P B +>, 则这两个事件一定不是互不相容的. (对) 3、设1, ,n X X 是来自总体2 ~(,)X N μσ的简单样本, 则统计量1 1n i i X X n ==∑和 21 ()n i i X X =-∑不独立. (错) 4、若事件A 的概率()0P A =, 则该事件一定不发生. (错) 5、设总体X 的期望()E X μ=存在, 但未知, 那么1 1n i i X n =∑为参数μ的相合估计量. (对) 二、填空题 6、已知随机事件A 和B 的概率分别为()0.7P A =和()0.5P B =, 且()0.15P B A -=,那么, (|)P B A = ()()()0.50.15 0.5()()0.7 P AB P B P B A P A P A ---===. 7、设随机变量X 服从区间[1,1]-上的均匀分布, 随机变量2 Y X =, 则它们的协方差系数cov(,)X Y = ()()()0 E X E Y E XY -=; 事件12Y ? ? ≤ ???? 的概率12P Y ? ?≤= ??? ?12dx =?. 8、甲乙两人独立抛掷一枚均匀硬币各两次, 则甲抛出的正面次数不少于乙的概率为 11 16 . 9、如果1,,n X X 是来自总体~(1,)X b p (服从01-分布)的简单样本, 而1,,n x x 是 其样本观测值. 那么最大似然函数为1 1 (1) n n i i i i x n x p p ==- ∑ ∑-. 三、选择题 10、随机变量X 以概率1取值为零, Y 服从(1,)b p (01-分布), 则正确的是
概率论与数理统计复习题带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P(A)=, P(B) = , 则 P(A-B)=()。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为,乙击中敌机的概率为.求敌 机被击中的概率为()。 3.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不少于二个发生可表示为 ++)。 (AB AC BC 4.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为,,,则这 三台机器中至少有一台发生故障的概率为()。 5.某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立射击4次,则击中二次的概率为 ()。 6.设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都不发生可表示为(ABC)。 7.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不多于一个发生可表示为 (AB AC BC); 8.若事件A与事件B相互独立,且P(A)=, P(B) = , 则 P(A|B)=(); 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为,乙击中敌机的概率为.求敌机 被击中的概率为(); A-)=()10.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=, P(B) = , 则 P(B 11.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为,,,则这三 台机器中最多有一台发生故障的概率为()。 A)=(); 12.若事件A?B且P(A)=, P(B) = , 则 P(B A)=() 13.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=, P(B) = , 则 P(B 14.A、B为两互斥事件,则A B=( S ) 15.A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰有一个发生可表示为 ++) (ABC ABC ABC
概率统计练习册习题解答(定)
苏州科技学院 《概率论与数理统计》活页练习册习题解答 信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组 2013年8月
习题1-1 样本空间与随机事件 1.选择题 (1)设,,A B C 为三个事件,则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为( D ) (A )AB AC BC (B )A B C (C )ABC ABC ABC (D )A B C (2)设三个元件的寿命分别为123,,T T T ,并联成一个系统,则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作,事件“系统的寿命超过t ”可表示为( D ) A {}123T T T t ++> B {}123TT T t > C {}{}123min ,,T T T t > D {}{} 123max ,,T T T t > 2.用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A : (1)同时掷三枚骰子,记录三枚骰子的点数之和,事件A 表示“点数之和大于10”。 解:{},18543 ,,,=Ω ;{} 18,,12,11 =A 。 (2)对目标进行射击,击中后便停止射击,观察射击的次数;事件A 表示“射击次数不超过5次”。 解:{ } ,,,=321Ω;{}54321A ,,,,=。 (3)车工生产精密轴干,其长度的规格限是15±0.3。现抽查一轴干测量其长度,事件A 表示测量 长度与规格的误差不超过0.1。 。 3.设A ,B ,C 为三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件: (1) A , B , C 都发生:解: ABC ; (2) A , B ,C (3) A 发生, B 与 C (4) A , B , C 中至少有一个发生:解:C B A ?? (5) A ,B ,C 4.设某工人连续生产了4个零件,i A 表示他生产的第i 个零件是正品(4,3,2,1=i ),试用i A 表示 下列各事件: (1)只有一个是次品;
概率论与数理统计-学习指导与练习册习题答案
一.填空题 1.ABC 2、50? 3、20? 4、60? 二.单项选择题 1、B 2、C 3、C 4、A 5、B 三.计算题 1.(1)略 (2)A 、321A A A B 、321A A A ?? C 、321321321A A A A A A A A A ?? D 、321321321321A A A A A A A A A A A A ??? 2.解 )()()()(AB P B P A P B A P -+=?= 8 5 812141=-+ 8 3 )()()()(=-=-=AB P B P AB B P B A P 8 7 )(1)(=-=AB P AB P 2 1 )()()])([(=-?=?AB P B A P AB B A P 3.解:最多只有一位陈姓候选人当选的概率为53 14 6 2422=-C C C 4.)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? = 85 5.解:(1)n N n A P ! )(= (2)n n N N n C B P ! )(=、 (3)n m n m n N N C C P --=)1()(
一.填空题 1.0.8 2、50? 3、 32 4、73 5、4 3 二.单项选择题 1、D 2、B 3、D 4、B 三.计算题 1. 解:设i A :分别表示甲、乙、丙厂的产品(i =1,2,3) B :顾客买到正品 )/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P + = 83.065.05 1 85.0529.052=?+?+? 83 34 )()/()()/(222== B P A B P A P B A P 2.解:设i A :表示第i 箱产品(i =1,2) i B :第i 次取到一等品(i =1,2) (1) )/()()(1111A B P A P B P =)/()(212A B P A P +=4.030 18 21501021=?+? (2)同理4.0)(2=B P (3))/()()(121121A B B P A P B B P =)/()(2212A B B P A P + = 19423.029 17301821499501021=??+?? 4856.04 .019423 .0)()()/(12112=== B P B B P B B P (4)4856.04 .019423 .0)()()/(212121=== B P B B P B B P 3. 解:设i A :表示第i 次电话接通(i =1,2,3) 101)(1= A P 10191109)(21=?= A A P 10 1 8198109)(321=??=A A A P
概率论与数理统计期末考试题及答案
创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ;
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)?
概率统计复习题答案
概率统计复习题 (同济大学浙江学院) 一、知识要点 1.古典概率计算公式 设Ω为样本空间,A 为事件,则事件A 发生的概率为 ().A A n P A n ?? = ? ?Ω?? 概率公式 ⑴和的概率公式 ()( )() ().P A B P A P B P A B =+- 当,A B 互不相容时()A B ?=? ()()().P A B P A P B =+ 当,A B 独立时()()()()P AB P A P B ?= ()()() ()().P A B P A P B P A P B =+- ⑵条件概率公式 ()() () |.P AB P A B P B = ⑶乘法公式 ()()()|.P AB P A B P A = ⑷全概率公式及逆概率公式 设12,,,n A A A 为完备事件组,B 为任意一事件,则 ()()()1|;n i i i P B P A P B A ==∑ ()() () (|)|.i i i P B A P A P A B P B = 2.6个常用分布和数字特征 名称 分布形式 期望 方差 ()2E X 01- p ()1p p - p 二项分布 ()() 1n k k k n P X k C p p -==- np ()1np p - np
泊松分布 ()e ! k P X k k λλ-== λ λ 2λλ+ 均匀分布 ()1 , ,0, else. a x b f x b a ?< =-??? 2a b + ()2 12 b a - 指数分布 ()e , 0,0, else.x x f x λλ-?>=?? 1 λ 2 1λ 2 2λ 正态分布 ()()2 2 21 e 2πx f x μσσ -- = μ 2σ 22σμ+ 3.正态分布概率计算 ⑴若()2,X N μσ ,则().b a P a X b μμσσ--???? <<=Φ-Φ ? ????? ⑵若()2,,,X N Y aX b μσ=+ 则()22,.Y N a b a μσ+ 4.二维连续型随机变量的边缘密度函数 设(),X Y 为二维连续型随机变量,(),f x y 为其联合密度函数,则边缘密度函数分别为 ()()()(),d ,,d .X Y f x f x y y f y f x y x ∞∞ -∞ -∞ ==?? 随机变量(),X Y 是独立的()()(),.X Y f x y f x f y ?= 5.数字特征 ⑴数学期望 ①离散型 ()1.n i i i E X x p ==∑ ②连续型 ()()d .E X xf x x ∞ -∞ =? ③函数的期望 离散型,设X 是离散型随机变量,()Y g X =为随机变量的函数,则 ()()1.n i i i E Y g x p ==∑
概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题 一.事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件,试写出下列事件的表达式: (1) ,,A B C 都不发生;(2),,A B C 不都发生;(3),,A B C 至少有一个发生;(4),,A B C 至多有一个发生。 解:(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解:()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=; ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥,()0.5P A =,()0.9P A B ?=,求(),()P B P A B -。 解:()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===,求(),()P A B P AB ?。 解:()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解:()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球,6个白球,在袋中任取两球,求 (1) 取到两个黄球的概率; (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解:(1) 24210215C P C ==;(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字,求三个数字中最大数为5的概率。 解:12153 101 12 C C P C ==。
概率统计试题和答案
题目答案的红色部分为更正部分,请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1,理2)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( B ) A .14 B . π8 C .12 D . π 4 2.(2017课标3,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是( A ) A .月接待游客量逐月增加 B .年接待游客量逐年增加 C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D .各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 3.(2017课标2,理13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则D X = 。 4.(2016年全国I 理14)5(2)x x + 的展开式中,x 3的系数是 10 .(用数字填写答案) 5.(2016年全国I 理14)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) (A )13 (B )12 (C )23 (D )3 4 5.(2016年全国2理10)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对()11,x y , ()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )(A ) 4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n 6.(2016年全国3理4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ,B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.(15年新课标1理10)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投
概率论期末复习试题二
概率论与数理统计试题 11级计算机大队二区队 一、选择题: 1、假设事件A与事件B互为对立,则事件AB( )。 (A) 是不可能事件(B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答案:A。这是因为对立事件的积事件是不可能事件。 2、某人睡午觉醒来,发现表停了,他打开收音机想听电台整点报时,则他等待的时间小于10分钟的概率是()。 A、1 6 B、 1 12 C、 1 60 D、 1 72 答案:A。以分钟为单位,记上一次报时时刻为0,则下一次报时时刻为60,于是,这个人打开收音机的时间必在(0,60),记“等待时间短于分 钟”为事件A。则有S=(0,60),A=(50,60)所以P(A)=A S = 10 60 = 1 6 。 3、设连续型随机变量(X,Y)的两个分量X和Y相互独立,且服从同一分布,问P{X≤Y}=()。 A、0 B、1 2 C、 1 4 D、1 答案:B。利用对称性,因为X,Y独立同分布,所以有P{X≤Y}=P{Y≤X}, 而P{X≤Y}+ P{Y≤X}=1,所以P{X≤Y}=1 2 4、设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),分布律如下:
则F (2,3)=()。 A 、0 B 、14 C 、716 D 、916 答案:D 。 F (2,3)=P {X ≤2,Y ≤3} =P {X=1,Y=1}+P {X=1,Y=2}+ P {X=1,Y=3}+ P {X=2,Y=1}+ P {X=2.Y=2} + P {X=2,Y=3} =14+0+0+116+1 4+0 =9 16 5、下列命题中错误的是( )。 (A)若X p (λ),则()()λ==X D X E ; (B)若X 服从参数为λ的指数分布,则()()λ 1 ==X D X E ; (C)若X b (θ,1),则()()()θθθ-==1,X D X E ; (D)若X 服从区间[b a ,]上的均匀分布,则() 3 222 b ab a X E ++=. 答案:B 。 ()()2,λλ==X D X E 6、设()Y X ,服从二维正态分布,则下列条件中不是Y X ,相互独立的充分必要条 件是( )。 (A) Y X ,不相关 (B) ()()()Y E X E XY E = (C) ()0,cov =Y X (D) ()()0==Y E XY E
概率论基础复习题及答案
《概率论基础》本科 填空题(含答案) 1. 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= 1 ;Eξ=?∞ ∞ -dx x xp )(。 考查第三章 2. 设A,B,C 为三个事件,则A,B,C 至少有一个发生可表示为:C B A ;A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ;A,B,C 恰有一个发生可表示为:C B A C B A C B A ++。 考查第一章 3. 设随机变量)1,0(~N ξ,其概率密度函数为)(0x ?,分布函数为)(0x Φ,则)0(0?等于π 21,)0(0Φ等 于 0.5 。 考查第三章 4. 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ,k=1,2,3,4,5,则Eξ= 3 ,Dξ= 2 。 考查第五章 5. 已知随机变量X ,Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ,V 的相关系数等于 XY r 。 考查第五章 6. 设),(~2 σμN X ,用车贝晓夫不等式估计:≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章 7. 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ;∑∞ =1 i i p = 1 ;Eξ= ∑∞ =1 i i i p x 。 考查第一章 8. 设A,B,C 为三个事件,则A,B,C 都发生可表示为:ABC ;A 发生而B,C 不发生可表示为:C B A ;A,B,C 恰有一个发生可表示为:C B A C B A C B A ++。 考查第一章 9. )4,5(~N X ,)()(c X P c X P <=>,则=c 5 。 考查第三章
概率统计试题库及答案
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件:①三个事件都发生 ____________ ;__②_ A 、B 发生,C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件,则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.) 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件,则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ,事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 , 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件,则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ;_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_(_ABC ,A B C ;A B C ) 6、 A B ___________ ;__ A B ___________ ;__A B ___________ 。_(_ B A , A B , A B ) 7、 设事件 A 、B 、C ,将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示:(1)三个事件都发生表示为: _______ ;_(_ 2)三 个 事件不都发生表示为: ________ ;_(_ 3)三个事件中至少有一个事件发生表示为: _____ 。_(_ ABC , A B C , A B C ) 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件: A 、B 出现、C 不出现 ;至少有一 个 事 件 出 现 ; 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 ( ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ) 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时,事件 ________ 发_生_ 。( A B ) 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 , 乙 种 产 品 滞 销 ”, 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。(甲种产品滞销或乙种产品畅销) 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件,用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”(i 1,2,3) ,试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件: 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称事件 B _____ 事_件 A 。(包含) 13、 若 A 为不可能事件,则 P (A )= ;其逆命题成立否 。(0,不成立) 14、 设A、B为两个事件, P (A )=0 .5, P (A -B )=0.2,则 P (A B ) 。(0.7) 15、 设P A 0.4,P A B 0.7,若 A, B 互不相容,则P B ______________ ;_若 A, B 相互独立,则P B _______ 。_(_0.3, 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ;__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件,则这三个事件都发生为 _______________ 。_(__A_BC , ABC , A B C ) ;三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC )。 ;三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。( A B C , ABC , AB BC AC ) 三个元件都正常工作 ;恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。( A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3)
大学概率统计复习题(答案)
第一章 1.设P (A )=31,P (A ∪B )=21 ,且A 与B 互不相容,则P (B )=____6 1_______. 2. 设P (A )=31,P (A ∪B )=21 ,且A 与B 相互独立,则P (B )=______4 1_____. 3.设事件A 与B 互不相容,P (A )=0.2,P (B )=0.3,则P (B A )=___0.5_____. 4.已知P (A )=1/2,P (B )=1/3,且A ,B 相互独立,则P (A B )=________1/3________. 5.设P (A )=0.5,P (A B )=0.4,则P (B|A )=___0.2________. 6.设A ,B 为随机事件,且P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,则P(A|B)=____ 0.5______. 7.一口袋装有3只红球,2只黑球,今从中任意取出2只球,则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________. 8.设袋中装有6只红球、4只白球,每次从袋中取一球观其颜色后放回,并再放入1只同 颜色的球,若连取两次,则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____. 9.一袋中有7个红球和3个白球,从袋中有放回地取两次球,每次取一个,则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____. 10.设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,产量依次占全厂产量的45%,35%,20%,且各车间的次品率分别为4%,2%,5%.求:(1)从该厂生产的产品中任取1件,它是次品的概率; 3.5% (2)该件次品是由甲车间生产的概率. 35 18
概率论复习题及答案
复习提纲 (一)随机事件和概率 (1)理解随机事件、基本事件和样本空间的概念,掌握事件之间的关系与运算。 (2)了解概率的定义,掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 (3)理解条件概率的概念,掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式, 以及应用这些公式进行概率计算。 (4)理解事件的独立性概念,掌握应用事件独立性进行概率计算。 (5)掌握Bernoulli 概型及其计算。 (二)随机变量及其概率分布 (1)理解随机变量的概念。 (2)理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质,理解离散型随机变量的分布律及其性质,理解连续型随机变量的概率密度及其性质,会应用概率分布计算有关事件的概率。 (3)掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 (4)会求简单随机变量函数的概率分布。 (三)二维随机变量及其概率分布 (1)了解二维随机变量的概念。 (2)了解二维随机变量的联合分布函数及其性质,了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质,并会用它们计算有关事件的概率。 (3)了解二维随机变量分边缘分布和条件分布,并会计算边缘分布。 (4)理解随机变量独立性的概念,掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 (5)会求两个随机变量之和的分布,计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 (6)理解二维均匀分布和二维正态分布。 (四)随机变量的数字特征 (1)理解数学期望和方差的概念,掌握它们的性质与计算。 (2)掌握6种常用分布的数学期望和方差。 (3)会计算随机变量函数的数学期望。 (4)了解矩、协方差和相关系数的概念和性质,并会计算。 (五)大数定律和中心极限定理 (1)了解Chebyshev 不等式。 (2)了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 (3)了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论,并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。
概率统计习题含答案
作业2(修改2008-10) 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ .
概率统计练习题8答案
《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间:120分钟 题目部分,(卷面共有22题,100分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(10小题,共30分) 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票,则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案:D 2、如果,A B 为任意事件,下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容,则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立,则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容,则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案:B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?,则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案:A 4、设,ξη相互独立,并服从区间[0,1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0,2]上的均匀分布, B 、ζξη=-服从[- 1,1]上的均匀分布, C 、{,}Max ζξη=服从[0,1]上的均匀分布,
D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案:D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案:B 6、设1ξ,2ξ都服从区间[0,2]上的均匀分布,则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案:B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=,则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案:D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本,其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ,则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案:A 9、在参数的区间估计中,给定了置信度,则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定; B 、将由有关随机变量的分布唯一确定; C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取; D 、可以任意规定。 答案:C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β,则必有( )。
应用概率统计期末复习题及答案
第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N {1}1{1}1P X P X P μμ?->=--≤=-≤ 112(11(20.86861)0.262822P ??=-≤=-Φ-=-?-=?????? 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本,求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解:由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 ( )~(10)0.3 i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值,2 S 为样 本方差,问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布? 解: 2 2 2 X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ, ~(0,1)N ,故2 2 ~(1)X U χ??=。
7.6 设总体2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立,从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本,它们的样本方差分别为22 12,S S ,求2212(40)P S S ->。 解: 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立 所以2 122 ~(101,151)S F S --,又由于0.01(9,14) 4.03F = 即()40.01P F >=
概率论复习题答案
一、单项选择题 1 已知随机变量X 在(1,5)之间服从均匀分布,则其在此区间的概率密度为( C ) A. B. C. D 4 2 已知二维随机变量(X ,Y )在(X>0,Y>0,X+Y<1)之间服从均匀分布,则其在此区间的概率密度为( B ) A. 0 B. 2 C. D 1 3 已知二维随机变量(X ,Y )在(X>0,Y>0,X+Y<2)之间服从均匀分布,则其不在此区间的概率密度为( A ) A. 0 B. 2 C. 1 D 4 4 已知P(A)= ,则)(A A P ? 的值为( D ) (A) (B) (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)= ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) (C) 0 (D) Φ 6.,,A B C 是任意事件,在下列各式中,成立的是( C ) A. A B =A ?B B. A ?B =AB C. A ?BC=(A ?B)(A ?C) D. (A ?B)(A ? B )=AB 7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(4 ) D. Φ(-4) 8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ,且X 、Y 相互独立,则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(0 ) D. Φ(1) 9. 已知随机变量X 在区间(0,2)的密度函数为, 则其在此区间的分布函数为( C ) A. 2x B. C. 2x D. x 10 已知随机变量X 在区间(1,3)的密度函数为, 则x>3区间的分布函数为( B ) A. 2x B. 1 C. 2x D. 0 11. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=! n e n λλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从( B ) A. 参数为λ的指数分布 B. 参数为λ的泊松分布 C. 参数为λ的二项式分布 D. 其它分布 12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数,则f (x )值的范围必须( B )。 (A) 0≤ f (x ) ≤1; (B) 0≤ f (x ); (C )f (x ) ≤1; (D) 没有限制
概率统计试卷及答案
概率统计试卷 A 一、填空题(共5 小题,每题 3 分,共计15分) 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ,若事件A与B互不相容,则 = . 2、设在一次试验中,事件A发生的概率为,现进行n次重复试验,则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ,则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~,则P{}= . 二、选择题(共5 小题,每题3 分,共计15分) 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立,且. (B) A与B独立,且. (C) A与B不独立,且. (D) A与B不独立,且. 2、下列函数中,()可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量,若D(10) =10,则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布,是来自的样本, 为样本均值,已知,则有(). (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中,显著性水平的意义是(). (A)原假设成立,经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立,经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立,经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立,经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂, (1)从中任取5片,求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片,作不放回抽样,求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间(以分计),的分布函数是 求下述概率: (1){至多3分钟}. (2){3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度.