苏教版数学高一 必修1试题 对数函数(二)
3.2.2 对数函数(二)
课时目标 1.进一步加深理解对数函数的性质.2.掌握对数函数的性质及其应用．
1．设g (x )＝?????
e x (x ≤0)ln x (x >0)，则g (g (12))＝________. 2．下列各组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)
①y ＝x 2和y ＝(x )2；
②|y |＝|x |和y 3＝x 3；
③y ＝log a x 2和y ＝2log a x ；
④y ＝x 和y ＝log a a x .
3．若函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，则y ＝f (12
log x )的定义域是________．
4．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为________．
5．函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f (2)＝________.
6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点________．
一、填空题
1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系为________．
2．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为________．
3．函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)＝3，则下列不等关系判断正确的为________．(填序号)
①f (2)>f (－2)；②f (1)>f (2)；③f (－3)>f (－2)；
④f (－3)>f (－4)．
4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为________．
5．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x
，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________. 6．函数y ＝3x (－1≤x <0)的反函数是________．
7．函数f (x )＝lg(2x －b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________．
8．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是________．
9．若log a 2<2，则实数a 的取值范围是______________．
二、解答题
10．已知f (x )＝log a (3－ax )在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围．
11．已知函数f (x )＝1
2log 1－ax x －1
的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；
(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12
log (x －1) 能力提升 12．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋12 )有最小值，则实数a 的取值范围是________． 13．已知log m 4 1．在对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)中，底数a 对其图象的影响 无论a 取何值，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a 的逐渐增大，y ＝log a x (a >1，且a ≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当01时函数单调递增． 2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较． 2．3.2 对数函数(二) 双基演练 1.12 解析 ∵g (12)＝ln 12 <0， ∴g (ln 12)＝1 ln 2e ＝12， ∴g (g (12))＝12 . 2．④ 解析 y ＝log a a x ＝x log a a ＝x ， 即y ＝x ，两函数的定义域、值域都相同． 3．[116，14 ] 解析 由题意得：2≤12 log x ≤4，所以(12)2≥x ≥(12)4， 即116≤x ≤14 . 4．(0，＋∞) 解析 ∵3x ＋1>1，∴log 2(3x ＋1)>0. 5．2 解析 由已知得log a (b －1)＝0且log a b ＝1， ∴a ＝b ＝2.从而f (2)＝log 2(2＋2)＝2. 6．(3,1) 解析 若x －2＝1，则不论a 为何值， 只要a >0且a ≠1，都有y ＝1. 作业设计 1．b 解析 因为0 所以b 2．[2，4] 解析 ∵－1≤x ≤1， ∴2－1≤2x ≤2，即12 ≤2x ≤2. ∴y ＝f (x )的定义域为[12 ，2] 即12 ≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4. 3．③ 解析 ∵log a 8＝3，解得a ＝2，因为函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)为偶函数，且在(0， ＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f (－3)>f (－2)． 4.12 解析 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)，令y 1＝a x ，y 2＝log a (x ＋1)，显然在[0,1]上，y 1＝a x 与y 2＝log a (x ＋1)同增或同减．因而[f (x )]max ＋[f (x )]min ＝f (1)＋f (0)＝a ＋log a 2＋1＋0＝a ，解 得a ＝12 . 5．－b 解析 f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数，故f (－a )＝－f (a )＝－b . 6．y ＝log 3x (13 ≤x <1) 解析 由y ＝3x (－1≤x <0)得反函数是y ＝log 3x (13 ≤x <1)． 7．b ≤1 解析 由题意，x ≥1时，2x －b ≥1.又2x ≥2，∴b ≤1. 8．[12 ，1)∪(1,2] 解析 ∵|y |>1，即y >1或y <－1， ∴log a x >1或log a x <－1， 变形为log a x >log a a 或log a x 当x ＝2时，令|y |＝1， 则有log a 2＝1或log a 2＝－1， ∴a ＝2或a ＝12 . 要使x >2时，|y |>1. 如图所示，a 的范围为1 ≤a <1. 9．(0,1)∪(2，＋∞) 解析 log a 2<2＝log a a 2.若01，由于y ＝log a x 是增函数，则a 2>2，得a > 2.综上得0 2. 10．解 由a >0可知u ＝3－ax 为减函数，依题意则有a >1. 又u ＝3－ax 在[0,2]上应满足u >0， 故3－2a >0，即a <32 . 综上可得，a 的取值范围是1 . 11．解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称， ∴函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即12log 1＋ax －x －1＝－12log 1－ax x －1＝12log x －11－ax ， 解得a ＝－1或a ＝1(舍)． (2)f (x )＋12log (x －1)＝12log 1＋x x －1＋12 log (x －1) ＝12 log (1＋x )， 当x >1时，12 log (1＋x )<－1， ∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12 log (x －1) ∴m ≥－1. 12．(1，2) 解析 已知函数f (x )有最小值，令y ＝x 2－ax ＋12 ，由于y 的值可以趋于＋∞，所以a >1， 否则，如果0 存在大于0的最小值，即Δ＝a 2－4×1×12 <0，∴－2 数形结合可得0 2.3对数函数 重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用． 考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； ②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点； ③知道对数函数是一类重要的函数模型； ④了解指数函数与对数函数互为反函数． 经典例题：已知f（logax）=，其中a＞0，且a≠1． （1）求f（x）；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在R上为增函数． 当堂练习： 1．若,则（） A．B．C．D． 2．设表示的小数部分，则的值是（） A．B．C．0 D． 3．函数的值域是（） A．B．[0,1] C．[0,D．{0} 4．设函数的取值范围为（） A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．D． 5．已知函数，其反函数为，则是（） A．奇函数且在（0，＋∞）上单调递减B．偶函数且在（0，＋∞）上单调递增C．奇函数且在（-∞，0）上单调递减D．偶函数且在（-∞，0）上单调递增 6．计算= ． 7．若2.5x=1000,0.25y=1000,求． 8．函数f(x)的定义域为[0,1],则函数的定义域为． 9．已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是． 10．函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点． 11．若集合{x，xy，lgxy}＝{0，|x|，y}，则log8（x2＋y2）的值为多少． 12．(1) 求函数在区间上的最值． (2)已知求函数的值域． 13．已知函数的图象关于原点对称．(1)求m的值； (2)判断f(x) 在上的单调性,并根据定义证明． 14．已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称． (1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M； (2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)－h(x2)|≤a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数．试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数． 参考答案： 幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义 对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质 对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ； 过点（1，0），即当x =1，y =0； 在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小： （1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例4、设函数f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数； （2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围． 解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ． （2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）． 3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型 如： ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 常针对根号，举例： 令 ，原式转化为： ，再利用配方法。 ⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： )0(>+ =k x k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高中函数大题专练 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。 1．函数f (x ）＝错误!的定义域为( ） A.错误! B ．(2，＋∞) C.错误!∪（2，＋∞） D.错误!∪ C ．（2,3)∪（3,4］ D ．(－1，3)∪(3,6] 解析:选C 由错误!得错误!故函数定义域为(2,3）∪（3,4］，故选C. 6．计算:lg 0.001＋ln 错误!＋2 21log 3－＋＝________。 解析：原式＝lg 10－3＋ln e 12＋2log 232＝－3＋错误!＋错误!＝－1。 答案:－1 7．已知函数f (x )＝错误!关于x 的方程f （x ）＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______． 解析： 问题等价于函数y ＝f （x ）与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1. 答案：（1，＋∞） 8．函数f (x ）＝log 2错误!·log 错误!(2x )的最小值为______． 解析：依题意得f (x ）＝错误!log 2x ·(2＋2log 2x ）＝(log 2x )2＋log 2x ＝错误!2 －错误!≥－错误!, 当且仅当log 2x ＝－错误!，即x ＝错误!时等号成立, 因此函数f （x ）的最小值为－错误!。 答案：－错误! 9．已知函数f (x ）是定义在R 上的偶函数，f （0)＝0,当x >0时，f （x ）＝log 12x 。 （1)求函数f （x )的解析式; (2)解不等式f （x 2 －1)>－2。 解:(1）当x 〈0时，－x 〉0,则f (－x ）＝log 12 （－x )． 因为函数f (x ）是偶函数，所以f （－x )＝f （x )． 所以函数f （x ）的解析式为 f (x )＝错误! (2)因为f (4)＝log 错误!4＝－2，f (x ）是偶函数， 高中数学必修基本初等 函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y ＝x 叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质 解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝ 1 2 x 图象 定义域R R R{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函 数 单调性在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0]上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0)上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递减 在[0，＋ ∞)上单调 递增 定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y＝x 3 ；②y＝12x ?? ? ?? ；③y＝4x 2；④y＝x 5 ＋1；⑤y＝(x －1)2；⑥y＝x ；⑦y＝a x (a>1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝()2 2231m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y＝()2 2231m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 指数函数、对数函数习题精讲 一、指数及对数运算 ［例1］（1）已知x 21 +x 21-=3,求3 2222323++++--x x x x 的值 （2）已知lg(x +y )+lg(2x +3y )－lg3=lg4+lg x +lg y ,求y x 值. （1）【分析】 由分数指数幂运算性质可求得x 23+x 23 -和x 2+x －2的值. 【解】 ∵x 21+x 21-=3 ∴x 23 +x 23 -=(x 21+x 21 -)3－3(x 21+x 21-)=33－3×3=18 x 2+x －2=(x +x －1)2－2=［(x 21+x 21 -)2－2］2－2 =(32－2)2－2=47 ∴原式= 347218++=5 2 （2）【分析】 注意x 、y 取值范围，去掉对数符号，找到x 、y 关系式. 【解】 由题意可得x >0,y >0,由对数运算法则得 lg(x +y )(2x +3y )=lg(12xy ) 则(x +y )(2x +3y )=12xy (2x －y )(x －3y )=0 即2x =y 或x =3y 故y x =21或y x =3 二、指数函数、对数函数的性质应用 ［例2］已知函数y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)(2≤x ≤4)的最大值为0，最小值为－81，求a 的值. 【解】 y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)=－log a (a 2x )［－21log a (ax )］ = 21(2+log a x )(1+log a x )=21(log a x +23)2－8 1 ∵2≤x ≤4且－8 1≤y ≤0 ∴log a x +23=0,即x =a 23-时，y min =－81 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式．N a log 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2 高一数学必修一对数及对数函数知识点总 结 数学是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。以下是查字典数学网为大家整理的高一数学必修一对数及 对数函数知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。 对数定义 如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。 注： 1.以10为底的对数叫做常用对数，并记为lg。 2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数，并记为ln。 3.零没有对数。 4.在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。 对数公式 0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。/p p其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定， 同样适用于对数函数。/p p对数函数性质/p p align=" center="" img="" /> 定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1} 值域：实数集R，显然对数函数无界。 定点：函数图像恒过定点(1，0)。 单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数; 奇偶性：非奇非偶函数 周期性：不是周期函数 对称性：无 最值：无 零点：x=1 注意：负数和0没有对数。 两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼 《对数函数》教学设计 一、教材分析 《对数函数》是在人教版高中数学第一册（上）第二章第2.8节。函数是高中数学的核心，对数函数是函数的重要分支，对数函数的知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用。学生已经学习了对数、反函数以及指数函数等内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。“对数函数”这节教材，指出对数函数和指数函数互为反函数,反映了两个变量的相互关系，蕴含了函数与方程的数学思想与数学方法，是以后数学学习中不可缺少的部分，也是高考的必考内容。 二、学情分析 学生在初中已经学习过二次函数及其图象，又刚刚学习了指数函数的定义、图象的画法并掌握了相关的性质，有了一定的读图能力，能够根据函数图象抽象概括出一些简单的性质。经过两个多月的教学观察，所教班级的学生数学能力及数学思想的形成还很欠缺，逻辑思维能力也有待加强训练。本节课课前布置学生带着问题预习，让学生找出指数函数与对数函数之间的关系，采用多媒体，采取“诱思探究”的教学方法进行教学，充分发挥学生的积极性和主动性，在独立思考与讨论中获取知识，实现教学目标。 三、设计理念 按照认知规律，从感性认识再到理性研究，由浅入深得出对数函数的概念。然后引导学生利用对称作图法和描点作图法比较作出函数图像。通过观察图象、分析图象特征，得出函数的基本性质。整个教学过程始终贯彻学生为主体、教师为引导的教学理念，综合培养学生动手、动眼、动脑的能力，培养学生的探究合作意识和创新能力。 四、学习三维目标 1、知识目标: ⑴、通过求指数函数的反函数，了解对数函数的概念。 ⑵、能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图像和性质。 ⑶、能应用对数函数的性质解有关问题。 2、能力目标: ⑴、培养学生数形结合的意识。 ⑵、让学生学会用比较和联系的观点分析问题，认识事物间的相互转化。 ⑶、了解对数函数在实际问题中的简单应用。 对数函数 一．教学目标： 1．知识与技能 ①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 二．教学重点、难点 重点：对数运算的性质与对数知识的应用 难点：正确使用对数的运算性质 三．学法和教学用具 学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪 四．教学过程 1．设置情境 复习：对数的定义及对数恒等式 log b a N b a N =?= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0）， 指数的运算性质. ;m n m n m n m n a a a a a a +-?=÷= (); n m n mn m a a a == 2．讲授新课 探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +?=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？ 如：,,m n m n m n a a a M a N a +?===设。于是,m n MN a += 由对数的定义得到 log ,log m n a a M a m M N a n N =?==?= log m n a MN a m n MN +=?+= log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 对数函数练习题 1、下列图像正确的是（ ） A B C D 2、若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是（ ） A B C D 3、函数y =)12(log 2 1-x 的定义域为（ ） A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞) C ．( 2 1，1] D ．(－∞，1) 4、已知函数y =log 21 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞ 1 B ．0≤a ＜ 1 C ．0＜a ＜1 D ．0≤a ≤1 5、lg(53++53-)的值为( ) A.1 B. 21 C.2 D.2 6、函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为 A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 7、若22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[23,2]- B ．)223,2?-? C ．(223,2?-? D ．()223,2- 8、若函数f （x ）=log a x （0 10、 已知函数2log ()3 x x f x ?=? ?(0)(0)x x >≤，则1[()]4f f 的值是 （ ） A ．9 B ．19 C ．－9 D ．－19 11、函数),1(,11ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ） A.),0(,11+∞∈+-=x e e y x x B. ),0(,11+∞∈-+=x e e y x x C ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y x x D. )0,(,11-∞∈-+=x e e y x x 12、计算：log 2.56.25＋lg 100 1＋ln e ＋3log 122+= 13、满足等式lg （x －1）+lg （x －2）=lg2的x 集合为______ ______ 14、若)10(15 3log ≠>--+=a a x x x f a a 且的奇偶性 17、若1)1(log )1(<-+k k ，则实数k 的取值范围是 18、函数y =(log 41x )2－log 4 1x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为 19、求函数213 2log (32)y x x =-+的单调区间。 20、若函数22log ()y x ax a =--- 在区间(,1-∞-上是增函数，a 的取值范围。 21 、判断函数2()log )f x x =的奇偶性。 22、已知函数f (x )=lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范 围. 2.2.2 对数函数及其性质 一、教材分析 本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.2.2 对数函数及其性质的内容二、三维目标 1．知识与技能 （1）掌握对数函数的概念。 （2）根据函数图象探索并理解对数函数的性质。 2．过程与方法 （1）通过对对数函数的学习，渗透数形结合的思想。 （2）能够用类比的观点看问题，体会知识间的有机联系、 3．情感、态度与价值观 （1）培养学生观察、分析能力，从特殊到一般的归纳能力。 （2）培养学生的合作交流、共同探究的良好品质。 三、教学重点 对数函数的定义、图象和性质 四、教学难点 用数形结合的办法探索并归纳对数函数的性质。 五、教学策略 回顾引入教学法 1.复习引入： （1）指对数互化关系： ? ≠ > =)1 ,0 (a a N a b且 （2） )1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质． （3）细胞分裂问题。 2.研习新课 对数函数的概念： 概念中我们要注意什么问题？ 六、教学准备 回顾交流，适时引入新课 （教师提出问题）①本章开头2.1问题1中，在2001－2020年，各年的GDP均为00年的倍数，倍数m与时间n的关系式为m=1.073n；②某种细胞分裂过程中，细胞个数a与分裂次数b的关系式为为a=2b。 师：上述关系式都是什么类型的式子？ 生：都是指数式。 师：你能把它改写成对数式吗？ 生：可以改写成：n=log1.073m a=log2b 师：请大家观察这两个式子有何共同特征？ (生合作交流，共同探究，师参与交流探究过程) 生甲：n是m的函数，a是b的函数。 生乙：这是对数式，m与b都是真数，它们应为正数。 师：同学们说的都很好，这里任意给定一个m，有唯一的n与它对应，任意给定一个b，有唯一的a与它对应，所以n是m的函数，a是b的函数。 师：通常表达一个函数，x表示自变量，y表示自变量，你能用含有x、y的解析式表示它们吗？ 生：y=log1.073x，y=log2x 师：能用一个共同的解析式表达吗？ 部分生(齐答)：y=log a x 部分生(抢答)：底数a＞0且a≠1 师：非常好，这是就是我们本节课所要研究的对数函数。 (引入新课，师板书课题：对数函数) 七、教学环节 一、复习导入： （1）知识方法准备 我们在前面学习了指数函数及其性质，那么指数函数具有哪些性质呢？下面我和同学们 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,.0.y f x a b p q y f x a b f a f b ????? ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()()12121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ? 对数和对数函数 一、 选择题 1．若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ） （A ）a-2 （B ）3a-(1+a)2 （C ）5a-2 （D ）3a-a 2 2.2log a (M-2N)=log a M+log a N,则N M 的值为（ ） （A ） 4 1 （B ）4 （C ）1 （D ）4或1 3．已知x 2+y 2=1,x>0,y>0,且log a (1+x)=m,loga y a n x log ,11则=-等于（ ） （A ）m+n （B ）m-n （C ）21(m+n) （D ）2 1 (m-n) 4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ） （A ）lg5·lg7 （B ）lg35 （C ）35 （D ） 35 1 5.已知log 7[log 3(log 2x)]=0，那么x 2 1-等于（ ） （A ） 31 （B ）321 （C ）2 21 （D ）331 6．函数y=lg （ 112 -+x ）的图像关于（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线y=x 对称 7．函数y=log 2x-123-x 的定义域是（ ） （A ）（ 32，1）?（1，+∞） （B ）（21，1）?（1，+∞） （C ）（32，+∞） （D ）（2 1 ，+∞） 8．函数y=log 2 1(x 2-6x+17)的值域是（ ） （A ）R （B ）[8，+∞] （C ）（-∞，-3） （D ）[3，+∞] 9．函数y=log 2 1(2x 2-3x+1)的递减区间为（ ） （A ）（1，+∞） （B ）（-∞，4 3 ］ （C ）（21，+∞） （D ）（-∞，2 1 ］ 10．函数y=(2 1)2 x +1+2,(x<0)的反函数为（ ） （A ）y=-)2(1log ) 2(21 >--x x （B ）)2(1log ) 2(2 1 >--x x （C ）y=-)252(1log ) 2(2 1 <<--x x （D ）y=-)252(1log ) 2(2 1<<--x x 高一数学必修一函数必背知识点整理 高一数学必修一函数必背知识点 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+ba>0,a、b属于Q a^a^b=a^aba>0,a、b属于Q ab^a=a^a*b^aa>0,a、b属于Q 指数函数对称规律： 1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称 2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称 3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称 幂函数y=x^aa属于R 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 2、幂函数性质归纳. 1所有的幂函数在0，+∞都有定义并且图象都过点1，1; 2时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; 3时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 1 代数法求方程的实数根; 2 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 二次函数. 1△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 感谢您的阅读，祝您生活愉快。 1.2函数及其表示 §1.2.1函数的概念 【教学目的】 1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域； 3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号； 4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点】 在对应的基础上理解函数的概念 【教学难点】 函数概念的理解 【教学过程】 一、复习引入 〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函 数的传统定义。 〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 〖提问〗问题1：y =1（x ∈R ）是函数吗？ 问题2：y =x 与y = x x 2 是同一函数吗？ 〖投影〗观察对应： 〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？ 二、讲授新课 函数的概念 （一）函数与映射 〖投影〗函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个 数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。 函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。 函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射. 如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解 (1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射B A f →: 函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等 函数的定义域和值域均为非空的数集 对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像 对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的值与之对应 对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像 对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应 函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 〖注意〗（1）函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f ：A →B 。这里A ，B 为非空的数集。 （2）A ：定义域，原象的集合；{)(x f |x ∈A}：值域，象的集合，其中{)(x f |x ∈A}?B ；f ：对应法则，x ∈A ，y ∈B （3）函数符号：y =)(x f ，y 是x 的函数，简记) (x f 〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域： 1、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：定义域R ，值域R 2、反比例函数)(x f = x k (k ≠0)：定义域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0} 3、二次函数)(x f =ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)：定义域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥a b a c 442 -｝；(完整word)高中数学必修一对数函数
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