《角平分线模型》
角平分线模型的构造
角平分线
(l)定义：如图2-1，如果∠AOB＝∠BOC，那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC，像OB这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线．
(2)角平分线的性质定理
①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角，
②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
(3)角平分线的判定定理
①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线，
②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上，
与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型，
已知P 是∠MON 平分线上一点，
(l)若PA ⊥OM 于点A ，如图2-2(a)，可以过P 点作PB ⊥ON 于点B ，则PB=PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”．
(a)
O
(b)
O
(2)若点A 是射线OM 上任意一点，如图2-2(b)，可以在ON 上截取OB=OA ，连接PB ，构造△OPB ∽△OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”．
(3)若AP ⊥OP 于点P ，如图2-2(c)，可以延长AP 交ON 于点B ，构造△AOB 是等腰三角形，P 是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”．
(c)
O
(d)O
(4)若过P 点作PQ ∥ON 交OM 于点Q ，如图2-2(d)，可以构造△POQ 是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”．
(1)如图2-3(a)，在△ABC中，∠C=90。，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D
到直线AB的距离是（）cm.
图2-3（a）
(2)如图2-3(b)，已知：∠1=∠2，∠3=∠4，
求证：AP平分∠BAC．
图2-3（b）
如图2-4(a)，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D. AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F
⑴求证：CE= CF.
图2-4（a）
⑵将图2-4(a)中的△ADE沿AB向右平移到△A，D，E，的位置，使点E，落在BC边上，其它条件不变，如图2-4(b)所示．试猜想：BE'与CF 有怎样的数量关系请证明你的结论．
图2-4（b）
例3
阅读下列学习材料：
如图2-5(a)所示，OP 平分∠MON ，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点，连接AC ，在射线ON 上截取OB =OA ，连接BC(如图2-5(b))，易证△AOC ≌△BOC.
图2-5（a ）
图2-5（b ）
请根据上面的学习材料，解答下列各题：
(l)如图2-5(c)所示，在△ABC 中，AD 是△BAC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由．
图2-5
（c ）B
(2)如图2-5(d)所示，AD 是△ABC 的内角平分线，其它条件不变，试比较PC － PB 与AC －AB 的大小，并说明理由．
图2-5（d ）
例4
如图2-6(a)，已知等腰直角三角形ABC 中，∠
A=90°，AB=AC ，BD 平
分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为点E ，
求证：BD=2CE.
图2-6（a ）
B
(1)如图2-7(a)，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD 上BD 、AE ⊥CE ，垂足分别为D 、E ，连接DE.
求证：DE ∥BC ，DE=2
1(AB+BC+AC)；
图2-7（a ）
(2)如图2-7(b)，BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，其它条件不变；
图2-7（b ）
B
(3)如图2-7(c)，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其它条件不变，则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下，DE与BC 还平行吗它与△ABC三边又有怎样的数量关系请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。
图2-7（c）
变式
如图2-8，在△ABC中，AB=3AC, ∠BAC的平分线交BC于点D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD=DE
B
例6
如图2-9(a)，AB=AC ，BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB.问：
(l)图2-9(a)中有几个等腰三角形
图2-9（a ）
B 图2-9（b ）
B
(2)过D 点作EF ∥BC ，如图2-9(b)，交AB 于点E ，交AC 于点F ，图中又增加了几个等腰三角形
(3)如图2-9(c)，若将题中的△ABC 改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么关系
(4)如图2-9(d)，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACG. DE∥BC交AB于点E，交AC于点F线段EF与BE、CF有什么关系并说明理由．
(5)如图2-9(e)，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF 有什么关系
图2-9（e）
例7如图2-10(a)所示，已知△ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，
求证：AB=ACD
图2-10（a ）
A
变式1
如图2-11所示，已知△ABC 中，AB=AC ，
∠A=108°，BD 平分∠ABC.
求证：BC=AB ＋CD.
变式2
如图2-12，已知△ABC中，AB=AC，∠A=IOO°，BD平分∠ABC，
求证：BC=BD＋AD.
B
例8
如图2-13(a)，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形，
O
图2-13(a)
请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图2-13(b)，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F.请你判断写出FE 与FD 之间的数量关系；
图2-13(b)
(2)如图2-13(c)，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(l)中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否依然成立若成立请证明；若不成立，请说明理由．
图2-13（c ）
A
牛刀小试
(l)如图2-14 (a)，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE之长为（）
(2)如图2-14(b)，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，DE ∥AB，FD∥AC.，BC=6，求△DEF的周长，
图2-14(b)
2.已知：如图2-15，∠BAD=∠CAD，AB>AC，CD⊥AD于点是BC中点．
1(AB－AC).
求证：DH＝
2
图2-15
3、已知如图2-16，四边形ABCD中，∠B+＝D=180°，BC=CD.
求证：AC平分∠BAD.
4.如图2-17，△ABC的外角/ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若∠BPC=40。，求∠CAP的度数．
5.已知：如图2-18，在四边形中，BC>AB，AD=CD，BD平分∠ABC.
求证：∠A+∠C=180°
B
6.在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.
(1)在图2-19(a)中证明CE＝CF；
(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图2-19(b），直接写出∠BDG的度数；
(3)若∠ABC= 120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG(如图2-19（c），求∠BDG的度数．
图2-19(c)
7.已知：如图2-20，在△ODC 中，∠D 一90°，EC 是∠DCO 的角平分线，且OE ＝ CE ，过点E 作EF ⊥OC 交OC 于点F.猜想：线段EF 与OD 之间的关系，并证明．
图2-20
C
8.已知：如图2-21，在四边形ABCD 中，AB+BC ＝CD ＋DA ，∠
ABC 的外角角平分线与∠CDA 的外角平分线交于点P ，
求证：∠APB=∠CPD.
图2-21