初三数学《切线长定理及三角形内切圆》课时练习(附答案)

《切线长定理及三角形内切圆》课时练习（附答案）

切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心这点的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA、PB是的两条切线

∴PA=PB，

PO平分∠BPA

例题精选：

例1．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°．

（1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB的长．

例2、如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B

、C是⊙O上一点，若∠APB＝40°，求∠ACB的度数。

例3．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=5cm，C是AB上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O

的切线，分别交PA、PB于点D、E，求△PED的周长是多少？

（例3图）（例4图）

例4如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的

⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6．

（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．

习题巩固：

1．如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（）A．5 B．6 C．D．11

（第1题）（第2题）（第3题）

2．如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于P点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB的周长为（）

A．6 B．9 C．12

D．14

3．如图，圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于（）

A．15cm B．20cm C．30cm

D．60cm

4．如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为（）

A ．70°B．90°C．60°D．45°

（第4题）（第5题）（第6题）

5．如图，PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（）

A．50°B．62°C．66°

D．70°

6．已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，连接OC、BP，过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N．下列结论：①S四边形ABCD=1AB?CD；②AD=AB；③AD=ON；④AB为过O、C、2

D三点的圆的切线．其中正确的个数有（）

A 1

B 2

C 3

D 4

7．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（）

A 12

B 13

C 14

D 15

8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD=9，AC=3．则DE长为（）5

35A B 2 C D 22

（第7题）（第8题）（第

9题）

9．正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）

A．12 B．24 C．8 D．6 10．如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么

的值等于（） A BM?CNBC2111

B C D 1

842

（第10题）（第11题）（第12题）

11如图，PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA=10cm，则△PEF 的周长是cm，若∠P=35°，则∠AOB=

（度），∠EOF= （度）．

12．如图，正方形ABCD的边长为4，以AB为直径向正方形内作半圆，CE与DF是半圆的切线，M，N为切点，CE，DF交于点P．则AE= ，△PMN的面积是。

13、由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点为B，D，AB是⊙O的直径，连接AD，BD，OF交⊙O于E，交BD于C，连接DE，BE，下列四个结论：（1）BE=DE；（2）∠FDE=∠EDB；（3）

2DE∥BE；（4）BD=2AD?FC．其中正确的结论

有。

（第13题）（第14题）

14．如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．

2 求证：①DE∥OF；②AB+CD=BC；④AD=4AB?DC．

15．⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A、B两点，C是⊙O上的一点，若∠P=60°，求∠ACB的度数。

16．如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；

②AB+CD=BC；③PB=PF；④AD2=4AB?DC．其中正确的是（）A．①②③④B．只有①②C．只有①②④D．只有③④

17．如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．

（1）求证：⊙O与CB相切于点E；

（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连结EH，求△BHE的面积．

图1 图2

18．如图①所示，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB.

(1)求证：BC为⊙O的切线；

(2)连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图②所示)．若AB

＝25，AD＝2，求线段BC和EG的长．

参考答案

1—10、BDDBD CCBDB

6．详解：连接OD、AP，∵DA、DP、BC分别是圆的切线，切点分别是A、P、B，∴DA=DP，CP=CB，∠A=90°=∠B=∠DPO，∴AD+BC=DP+CP=CD，∴S四边形ABCD=（AD+BC）?AB=AB?CD，∴①正确；

∵AD=DP＜OD＜AB，∴②错误；

∵AB是圆的直径，∴∠APB=90°，∵DP=AD，AO=OP，∴D、O在AP 的垂直平分线上，

∴OD⊥AP，∵∠DPO=∠APB=90°，∴∠OPB=∠DPA=∠DOP，∵OM ∥CD，∴∠POM=∠DPO=90°，在△DPO和△NOP中，∠PON=∠DPO，OP=OP，∠DOP=∠OPN，

∴△DPO≌△NOP，∴ON=DP=AD，∴③正确；

∵AP⊥OD，OA=OP，∴∠AOD=∠POD，同理∠BOC=∠POC，∴∠DOC=×180°=90°，

∴△CDO的外接圆的直径是CD，∵∠A=∠B=90°，取CD的中点Q，连接OQ，∵OA=OB，∴AD∥OQ∥BC，∴∠AOQ=90°，∴④正确．故选C．

（6题图）（10题图）（12题图）

10．详解：连OM，ON，如图：∵MD，MF与⊙O相切，∴∠1=∠2，同理得∠3=∠4，

而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C=360°，AB=AC，∴∠2+∠3+∠B=180°；

而∠1+∠MOB+∠B=180°，∴∠3=∠MOB，即有∠4=∠MOB，∴△OMB ∽△NOC，∴

=，∴BM?CN=BC，∴2=．故选B．

11．20，1450，72．50；12、详解：（1）由切线长定理知：AE=EM；设AE=EM=x，则DE=4

222﹣x，CE=4+x；在Rt△CDE中，由勾股定理得：（4﹣x）+4=（4+x），解得x=1；故AE=1．

（2）同（1）可求得BF=FN=1，则DF=CE=5，DE=CF=3；则可证得Rt △CDE≌Rt△DCF；∴∠DCP=∠CDP，即DP=CP，∴PM=PN；故△DPC∽△NPM，且MN∥CD；设MN所在直线与AD、BC的交点为R、T，则MR⊥AD，NT⊥BC；在Rt△MRE中，ME=1，则ER=ME?cos∠DEC=，MR=ME?sin ∠DEC=；过P作PG⊥MN于G，则RG=GT=2，MG=2﹣RM=；易知RE∥PG，2则△REM∽△GPM，∴=（）=；∵S△REM=MR?RE ，故S△PMN=2S △PMG=．=××=，∴S△PMG=×=

13．详解：由切线长定理知，DF=FB，∠DFO=∠OFB，∴△EFD≌△EFB，△CFD≌△CFB

∴DE=BE（故①正确），CD=CB，∠FCD=∠FCB。∵∠FCD+∠FCB=180°，∴∠FCD=∠FCB=90°。∵FB是切线，则∠FBO=90°，∴∠CBO=∠OFB，∴△OCB∽△OBF

∴BC：CF=OC：BC，即BC=（2）=CF?CO，∴BD=4CO?FC。∵AB是直

径，∴∠ADB=90°

222∴OC∥AD。∵点O是AB的中点，∴OC是△ADB的中位线，则有AD=2CO，∴BD=2AD?FC，

（故④正确）∵DE=BE，∴∠EDC=∠EBC。∵∠FDE是弦切角，∴∠FDE=∠EBD，∴∠FDE=∠EDB，（故②正确）由于DE与BE相交，故③不正确．因此正确的结论有（1）（2）

（4）．

14．详见16题。

15．答案：60或120度

解析：连接OA、OB，∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B，∴OA⊥AP，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=60°，∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，当点C在优弧AC上时，如图：又∵∠ACB和∠AOB分别是AC所对的圆周角和圆心角，∴∠ACB=1∠AOB=60°．

（15题解答图）

当点C在劣弧AC上时，∠ACB=180°-（16解答题图）1∠

AOB=120°．16．答案：C。2

解析：∵BA，BE是圆的切线．∴AB=BE，BO是△ABE顶角的平分线．∴OB⊥AE。∵AD是圆的直径．∴DE⊥AE，∴DE∥OF，故①正确；

∵CD=CE，AB=BE，∴AB+CD=BC，故②正确；

∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD=∠BFP。若PB=PF，则有∠PBF=∠BFP=∠ODF，而△ADP与△ABO不一定相似，故PB=PF不一定成了．故③不正确；

2∴OA?OD=AB?CD，∴AD=4AB?DC，故④正确．故正确的是：①②④．故选C．

17．（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，∴∠ACH=∠BCH，∵OD ⊥CA，OE⊥CB，∴OE=OD ∴⊙O与CB相切于E点．

（2）解：∵CA=CB，CH是高，∴AH=BH=11AB=?6=3，∴CH

．22

∵点O在高CH上，⊙O过点H，∴⊙O与AB相切于H点．由（1）知⊙O与CB相切于E点，∴BE=BH=3.如图，过E作EF⊥AB于点F，则EF ∥CH，∴△BEF∽△BCH．∴BEEF3EF12111218??

，即：?，∴EF=，∴s?BHE?BH?EF??3?BCCH5452255

（17题图）（18题图）

18．（1）连接OE，OC。∵CB＝CE，OB＝OE，OC＝OC，∴△OBC≌△OEC．∴∠OBC＝∠OEC．

又∵DE与⊙O相切于点E，∴∠OEC＝90°．∴∠OBC＝90°．∴BC 为⊙O的切线

（2）过点D作DF⊥BC于点F，∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B，∴DA＝DE，CE＝CB．设BC为x，则CF＝x－2，DC＝x＋2．在Rt△DFC 中，(x＋2)－(x－2)＝

，解得：2 2 2

5x＝．∵AD∥BG，∴∠DAE＝∠EGC．∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠AED．∵∠AED＝∠CEG，2

5 ∴∠EGC＝∠CEG．∴CG＝CE＝CB＝．∴BG＝5．∴AG

1110解法一：连接BE，S?ABG＝AB?BG＝AG?BE，∴

×5＝

BE．∴BE＝．223

在Rt△BEG中，EG

解法二：∵∠DAE＝∠EGC，∠AED＝∠CEG，∴△ADE∽△GCE．∴ADAE2＝，，解得EG

．2.5

CGEG7