08闵行2016届高三一模数学卷(理、附答案)

闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷（理科）

（满分150分，时间120分钟）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．

2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有23道试题．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足i 3i z =

-（i 为虚数单位），则||z = .2

2．若全集U =R ，函数2

1x y =的值域为集合A ，则U A =e .)0,(-∞ 3．方程4260x x --=的解为 .2log 3x = 4．函数()cos()sin sin()cos x x f x x x

π-=π+的最小正周期T = .π

5．不等式

x x

>4

的解集为 .)2,0( 6．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .15π

7．已知ABC △中，43AB i j =+，34AC i j =-+，其中i j 、是基本单位向量，则ABC △的面积为 .

25

2

8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有

种.10

9．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且861086S S =+，则2lim n n S n

→∞= . 5 10．若函数()2x a

f x -=()a ∈R 满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等

于 . 1

11．若点P 、Q 均在椭圆22

22

:11

x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-的最大值为 .2a

12．已知函数14

cos 042()log (3)1 4x x f x x x π

?≤≤?=?-+>??，

，

，若实数a b c 、、互不相等，且满足)()()(c f b f a f ==，则a b c

++的取值范围是 .(8 23)，

13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x

的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c

（*

,,,a b c d ∈N ）,则b d a c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.

我们知道 3.14159π=???，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得16

5

是π的更为精确的过剩近似值，即

3116

105

<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为 .227 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈*N ，1(1)32

n

n n n S a n =-++-且1()()0n n a p a p +--<恒成立，

…………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………

则实数p 的取值范围是 .311,44??

-

??

?

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表

答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若,a b ∈R ，且0ab >，则“a b =”是“

2b a

a b

+≥等号成立”的（ A ）. (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件 16．设2345

()2510105f x x x x x x =+++++，则其反函数的解析式为（ C ）.

(A) 5

11y x =+

- (B) 511y x =--

(C) 5

11y x =-+- (D) 511y x =---

17．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，满足

a b c c

b a b c

-+≤

+-，则角A 的范围是（ B ）. (A)0,

π?

?

?6?? (B) 0,π?? ?3?? (C) ,π??π??6?? (D) ,π??

π??3??

18．函数()f x 的定义域为[]1,1-，图像如图1所示；函数()g x 的定义域为[]1,2-，图像如图2所示.{}

(())0A x f g x ==,{}

(())0B x g f x ==,则A

B 中元素的个数为（

C ）.

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的

步骤．

19.（本题满分12分）

如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，

12AA AB ==，1BC =,BAC π

∠=

6

，D 为棱1AA 中点，证明异面直线11B C 与CD 所成角为

π

2

，并求三棱柱111ABC A B C -的体积． [证明]

在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，

11

//BC B C ，

BCD ∴∠或它的补角即为异面直线11B C 与CD 所成

角，…………………………2分 由2AB =，1BC =,BAC π∠=

6以及正弦定理得sin ACB ∠=1，ACB π

∴∠=2

即BC AC ⊥，…………4分 又1BC AA ∴⊥，11BC ACC A ∴⊥面，…………6分

BC CD ∴⊥………………8分

所以异面直线11B C 与CD 所成角的为2

π

．…………………… 10分 三棱柱111ABC A B C -的体积为11

31232

ABC V S AA =?=???=△． …………12分

C

A

B

D

A 1

B 1

C 1

x y -1 O

1 2 1

图2 x y -1 O 1 1 -1 图1

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．

如图，点A 、B 分别是角α、β的终边与单位圆的交点，02

βαπ

<<

<<π． （1）若3

=4απ，()2cos 3

αβ-=，求sin 2β的值；

（2）证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．

[解]（1）方法一: ()2

cos 3

αβ-=，

1)(cos 2)22cos(2--=-∴βαβα=9

1

- …3分

3

=4απ，即9

1)223cos(-=-βπ， ………………………………6分

9

1

2sin =∴β． ………………………………8分

方法二: ()2cos 3

αβ-=

，3

=4απ，即32sin 22cos 22=+-ββ， …………3分 322cos sin =

-∴ββ，两边平方得，9

8

2sin 1=-β ……………………………6分 9

1

2sin =∴β． …………………………………8分

（2）[证明]由题意得，)sin ,(cos αα=OA ，)sin ,(cos ββ=OB OB OA ?∴=βαβαsin sin cos cos + ………………10分

又因为OA 与OB 夹角为βα-，1==OB OA

OB OA ?∴=)cos()cos(βαβα-=-?OB OA ………………………12分 综上cos()cos cos sin sin

αβαβαβ-=+成立． ……………………………14分

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．

某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路1l 、2l ，海岸边界MPN 近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN 是函数a

y x

=

图像的一段，点M 到1l 、2l 的距离分别为8千米和1千米，点N 到2l 的距离为10千米，以1l 、2l 分别为x y 、轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P 的横坐标为p . （1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域； （2）若某人从点O 沿公路至点P 观景，要使得沿折线OAP 比沿折线OBP

的路程更近，求p 的取值范围.

[解]（1）由题意得(1,8)M ，则8a =，故曲线段MPN 的

函数关系式为

8

y x

=，4分

O

x

y

A

B

x

y A

B M

N

P

O

大海

1l

2l

又得4(10,)5

N ，所以定义域为[]1,10. ……………………………6分

（2）8(,)P p p ，设8:()AB y k x p p -=-由8()8

y k x p p y x ?-=-??

??=??

得

22(8)80kpx kp x p +--=，22222(8)32(8)0kp kp kp ?=-+=+=, …………8分

22880,kp k p ∴+=∴=-

，得直线AB

方程为2

88()y x p p p -=--， ………10分 得16

(0,

)(2,0)A B p p

、，故点P 为AB 线段的中点， 由2168220p p p p

--=?>即280p -> …………………………12分 得22p >时，OA OB <，所以，当2210p <≤时，经点A 至P 路程最近. 14分

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分．

已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点3

(1,)2

，它的一个焦点与抛物线2

:4y x E =的焦点重合． （1）求椭圆Γ的方程；

（2）斜率为k 的直线l 过点()1,0F ，且与抛物线E 交于A B 、两点，设点(1,)P k -，PAB △的面积为43，求k 的值；

（3）若直线l 过点()0,M m （0m ≠），且与椭圆Γ交于C D 、两点，点C 关于y 轴的对称点为Q ，直线QD 的纵截距为n ，证明：mn 为定值.

[解]（1）设椭圆的方程为()2

2

2210x y a b a b +=>>，由题设得22

2219141

a b

a b ?+=???=+?

，…2分 2243

a b ?=∴?=?，∴椭圆Γ的方程是22

143x y += …………………………4分 （2）设直线:(1)l y k x =-，由2

(1),4,

y k x y x =-??=?得2222

2(2)0k x k x k -++= l 与抛物线E 有两个交点，0k ≠，216(1)0k ?=+>，

则42422

22

4(44)44(1)1k k k k AB k k k ++-+=?+=

…………………………6分 (1,)P k -到l 的距离2

31

k d k =

+，又43PAB

S =△,222314(1)4321

k

k k k +∴??=+ 22433k k =+，故3k =±． ………………………10分

（3）

()()1122,,,C x y D x y ，点C 关于y 轴的对称点为11(,)Q x y -，

则直线211121:()y y CD y y x x x x --=

--，设0x =得121211212121

()x y y x y x y

m y x x x x --=-=--

直线211121:()y y QD y y x x x x --=

++，设0x =得121211212121

()x y y x y x y

n y x x x x -+=+=++14分

2222

211222

21

x y x y mn x x -∴=-，又2211143x y +=，2222143x y +=22113(4)4y x ∴=-，22

223(4)4y x =- 22222222211221

12

2222

2

1

21

33(4)(4)

443x x x x x y x y mn x x x x ?--?--∴===--．………………………16分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．

已知数列{}n a 的各项均为整数，其前n 项和为n S ．规定：若数列{}n a 满足前r 项依次成公差为1的等差数列，从第1r -项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{}n a 为“r 关联数列”． （1）若数列{}n a 为“6关联数列”，求数列{}n a 的通项公式；

（2）在（1）的条件下，求出n S ，并证明：对任意n ∈*

N ，66n n a S a S ≥；

（3）已知数列{}n a 为“r 关联数列”，且110a =-，是否存在正整数,()k m m k >，使得

121121?k k m m a a a a a a a a --++++=++++若存在，求出所有的,k m 值；若不存在，请说明理由．

[解]（1） {}n a 为“6关联数列”，∴{}n a 前6项为等差数列，从第5项起为等比数列

,4,51516+=+=∴a a a a 且

256=a a ， 即24

511=++a a ，解得31-=a …………2分 5

4,4

2,5n n n n a n --≤?∴=?≥?（或554,54,62,62,7

n n n n n n n a n n --?-≤-≤?==??≥≥??）． ……………………4分 （2）由（1）得2417,42227,5n n n n n S n -?-≤?=??-≥?（或22441717

,5,6

2222

27,627,7n n n n n n n n n S n n --??-≤-≤??==????-≥-≥??

） …………………………………6分

{}2345:3,2,1,0,1,2,2,2,2,2,n a ---，{}:3,5,6,6,5,3,1,9,25,

n S -----

-

{}:9,10,6,0,5,6,4,72,400,

n n a S --，可见数列{}n n a S 的最小项为666a S =-，

证明：541

(4)(7),5

22(27),6

n n n n n n n n a S n --?--≤?=??-≥?，

列举法知当5n ≤时，min 55()5n n a S a S ==-； ………………………………………8分 当

6

n ≥时，

)

6(27)2(2525≥?-?=--n S a n n n n ，设

52n t

-=，则

{}

22,2

,

,2,

m

t ∈，222749

272()2272648

n n a S t t t =-=--≥?-?=-． ……………………10分

（3）

{}n a 为“r 关联数列”，且110,1,2a d q =-==

11(2)12,11r r a a r d r a r -∴=+-=-=-，

1

213r

r a r a -=∴= 2121112111,12,12

,22

2,13256,13n n n n n n n n n a S n n --??-≤-≤??∴==??≥??-≥??

…………………………12分 ①当12k m <≤时，由

22121121

2222

k k m m -=-得(k )(k )21(k )m m m +-=- 21,,12,k m k m m k +=≤>，129m k =?∴?

=?或11

10

m k =??=?． ②当12m k >>时，由11

112

56256k m ---=-得m k =，不存在 ………………14分

③当12,12k m ≤>时，由211121

25622

m k k --=-，102221112m k k -=-+ 当1k =时，10

*2

92,m m N -=?；当2k =时，10*274,m m N -=?； 当3k =时，10

*2

58,m m N -=?；当4k =时，10*244,m m N -=?； 当5k =时，10

5*22,15m m N -==∈；当6k =时，10*222,m m N -=?； 当7k =时，10

*214,m m N -=?；当8k =时，103*22,13m m N -==∈； 当9k =时，10

22

2,12m m -==舍去；当10k =时，1022,11m m -==舍去

当11k =时，10

2

2,11m m -==舍去；当12k =时，10222,12m m -==舍去……16分

综上所述，∴存在155m k =??=?或138m k =??=?或129m k =??=?或11

10m k =??=?． …………………18分