电磁场与电磁波实验报告

电磁场与电磁波

实验报告

实验名称：有限差分法解电场边值问题

实验日期：2012年12月8日

姓名：赵文强

学号：100240333

哈尔滨工业大学（威海）

问题陈述

如下图无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。

参数说明：a=b=10m,

U=100v

实验要求

1)使用分离变量法求解解析解；

2)使用简单迭代发求解，设-10

=100.1,1

x y

ε?=?=

，两种情况分别求解数值解；

3)使用超松弛迭代法求解，设-10

=100.1

x y

ε?=?=

，确定?（松弛因子）。

求解过程

一、分离变量法求解

因为矩形导体槽在z方向为无限长，所以槽内电位函数满足直

角坐标系中的二维拉普拉斯方程。

22

22

(0,)0,(,)0(0)

(,0)0,(,)(0)

x y

y a y y b

x x b U x a

??

??

??

??

+=

??

==≤≤

==≤≤

根据边界条件可以确定解的形式：

1ππ(,)sin()sinh()n

n n x n y

x y A a a

?∞

='=∑ 利用边界条件0(,)x b U ?=求解系数。

01

ππsin(

)sinh()n n n x n b A U a a

∞

='=∑ 01

πsin(

)n n n x

U f a

∞

==∑ 0

0041,3,5,2πsin()d π

2,4,6,a

n U n n x f U x n a a n ?=?

==??=?

?

011

πππsin()sinh()sin()n n

n n n x n b n x A U f a a a ∞

∞

=='==∑∑ 041,3,5,πsinh(π/)

'πsinh()02,4,6,n n U n f n n b a A n b n a

?

=?

==??=

?

01,3,5,

4ππ(,)sin()sinh()πsinh(π/)n U n x n y

x y n n b a a a

?∞

==

∑

简单迭代法求解

二、 有限差分法

有限差分法（Finite Differential Method ）是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数?的泊松方程的问题转换为求解网格节点上?的差分方程组的问题。 泊松方程的五点差分格式

)(4

1

4243210204321Fh Fh -+++=?=-+++??????????

当场域中,0=ρ得到拉普拉斯方程的五点差分格式

)(4

1

044321004321??????????+++=?=-+++

差分方程组的求解方法(1) 高斯——赛德尔迭代法

][)(,)(,)(,)(,)(,2

k 1j i k j 1i 1k 1j i 1k j 1i 1k j i Fh 4

1

-+++=+++-+-+????? (1-14)

式中：??????=??????=,2,1,0,2,1,k j i ，

? 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。 ? 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分 格式，直到所有节点电位满足ε?

?<-+)(,)

(,k j

i l k j

i 为止。

（2）超松弛迭代法

][)

(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,k j i 2k 1j i k j 1i 1k 1j i 1k j 1i k j i 1k j i 4Fh 4

?????α??--++++=+++-+-+ (1-15)

式中：α——加速收敛因子)21(<<α 可见：迭代收敛的速度与α有明显关系 (一) 简单迭代法 简单迭代法程序： 1) 步长=1

clear all;clc;close all; %设置节点数,步长1 hx=11; hy=11;

v1=ones(hy,hx); %% %%

%设置边界条件

v1(hy,:)=ones(1,hx)*100; v1(1,:)=zeros(1,hx); v1(1:hy,1)=0; v1(1:hy,hx)=0; %% %%

%初始化 v2=v1;

图1-4 高斯——赛德尔迭代法

maxt=1;

t=0;

k=0;

%%

%%

while(maxt>1e-10)

k=k+1; %计算迭代次数

maxt=0;

for i=2:hy-1

for j=2:hx-1

v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1))/4;%拉普拉斯方程差分形式t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));

if(t>maxt) maxt=t;end

end

end

v1=v2;

end

%%

%%

%可视化显示

subplot(1,2,1),mesh(v2); %画电势的三维曲面图

axis([0 ,11,0,11,0,100]);

title('步长=1，各点电位');

subplot(1,2,2),contour(v2); %画等势线

title('等位线');

实验结果：

步长=1，各点电位等位线

步长1，迭代次数 k = 246

各节点电位数据：

2) 步长=0.1 实验结果：

步长=0.1，各点电位

等位线

图2，简单迭代法步长0.1

步长0.1，迭代次数

k =

20051

部分实验结果数据截图：

图3，简单迭代法步长0.1部分数据

(二)超松驰迭代法

1.理论最佳松弛因子实验结果

实验程序：

clear all;clc;close all;

%设置节点数,步长0.1

hx=101;

hy=101;

m=100;

n=100;

v1=ones(hy,hx);

%%

%%

%设置边界条件

v1(hy,:)=ones(1,hx)*100;

v1(1,:)=zeros(1,hx);

v1(1:hy,1)=0;

v1(1:hy,hx)=0;

%%

%%

%计算松弛因子

t1=sin(pi/(100));

w=2/(1+t1);

%%

%%

%初始化

v2=v1;

maxt=1;

t=0;

k=0;

%%

%%

while(maxt>1e-10)

k=k+1; %计算迭代次数

maxt=0;

for i=2:hy-1

for j=2:hx-1

v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j))*w/4;%拉普拉斯方程差分形式

t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));

if(t>maxt) maxt=t;end

end

end

v1=v2;

end

%%

%%

%可视化显示

subplot(1,2,1),mesh(v2); %画电势的三维曲面图

axis([0 ,101,0,101,0,100]);

title('超松弛迭代法各点电位');

subplot(1,2,2),contour(v2,20); %画等势线

title('等位线');

%%

%%

disp('超松弛迭代步长0.1，迭代次数');

k

disp('松弛因子');

w

%%