人教版九年级下册第28章锐角三角函数培优训练

人教版九年级第28章锐角三角函数培优训

练

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝4

5，AC＝6 cm.则BC的长度为()

A. 6 cm

B. 7 cm

C. 8 cm

D. 9 cm

2. (2019?湖南怀化)已知∠α为锐角，且sinα=1

，则∠α=

A．30°B．45°

C．60°D．90°

3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是()

A. 3

4B.

C. 3

5D.

4. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是()

A. 斜坡AB的坡度是10°

B. 斜坡AB的坡度是tan10°

C. AC＝1.2tan10°米

D. AB＝

1.2

cos10°

米

5. 如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为

3 3 m，则鱼竿转过的角度是()

A. 60°

B. 45°

C. 15°

D. 90°

6. 如图，以

O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵

上一点(不

与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( ) A . (sin α，sin α) B . (cos α，cos α) C . (cos α，sin α) D . (sin α，cos α)

7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆

PA 的高度与

拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C ＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )

A . 11－sin α

B . 11＋sin α

C . 11－cos α

D . 1

1＋cos α

8. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于

A ．asinx+bsinx

B ．acosx+bcosx

C ．asinx+bcosx

D ．acosx+bsinx

9. (2019·浙江金华)如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ．已知AB=m ，∠BAC=

∠α，则下列结论错误的是

A ．∠BDC=∠α

B ．BC=m ?tan α

C ．AO 2sin m

D ．BD cos m

10. (2019·浙江温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶

上弦杆AB 的长为

A ．9

5sin α米 B ．9

5cos α米

C ．5

9sin α

米

D ．

9cos α

米

二、填空题（本大题共7道小题）

11.

已知α，β均为锐角，且满足|sin α－1

2|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝

________．

12. 长为4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了________m .

13. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)

14. (2019?湖北随州)计算：(π–2019)0–2cos60°=__________．

15. (2019?江苏宿迁)如图，∠MAN=60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是__________．

16. (2019·浙江舟山)如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC2

AB2，则

tanC=__________．

17. 如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l 上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝________．

三、解答题（本大题共5道小题）

18. 如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B、C、E在同一水平直线上)，已知AB＝80 m，DE＝10 m，求障碍物B、C两点间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)

19. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC 于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.

(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；

(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．

20. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．

(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号

．．．．．．)

(2)求旗杆CD的高度．

21. (2019?江苏宿迁)宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图

①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD 都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD=64°，BC=60cm，坐垫E与点B 的距离BE为15cm．

(1)求坐垫E到地面的距离；

(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈

2.05)

22. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβtan(α±β)＝tanα±tanβ1?tanαtanβ

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，

例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°

1－tan45°tan30°＝

1＋

1－1×

＝2＋ 3

根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题：

(1)计算sin15°；

(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的

红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．

人教版九年级第28章锐角三角函数培优训

练-答案

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 【答案】C 【解析】∵sin A ＝

BC AB ＝4

5，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.

2. 【答案】A

【解析】∵∠α为锐角，且sin α=1

，∴∠α=30°．故选A ．

3. 【答案】D

【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝

4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝4

4. 【答案】

B 【解析】∵斜坡AB 的坡角是10°，∴选项A 是错误的；∵坡度

＝坡比＝坡角的正切，∴选项B 是正确的；∵AC ＝ 1.2

tan10°

米，∴选项C 是错

误的；∵AB＝

1.2

sin10°

米，∴选项D是错误的．

5. 【答案】C【解析】∵sin∠CAB＝BC

AC＝

6＝

2，∴∠CAB′＝45°，∵sin∠

C′AB′＝B′C′

AC′＝

6＝

2，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，

即鱼竿转过的角度是15°.

6. 【答案】C【解析】如解图，过点P作PC⊥OB于点C，则在Rt△OPC中，OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα＝cosα，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα＝sinα，即点P的坐标为(cosα，sinα)．

7. 【答案】A【解析】在Rt△PCB′中，sinα＝PC

PB′，∴PC＝PB′·sin

α，又∵B′D

＝AC＝1，则PB′·sinα＋1＝P A，而PB′＝P A，∴P A＝

1－sinα

8. 【答案】D

【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，

∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a?cosx+b?sinx，

故选D．

9. 【答案】C

【解析】A、∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，AC=BD，AO=CO，BO=DO，

∴AO=OB=CO=DO，∴∠DBC=∠ACB，

∴由三角形内角和定理得：∠BAC=∠BDC=∠α，故本选项不符合题意； B 、在Rt △ABC 中，tan αBC

=，即BC=m ?tan α，故本选项不符合题意； C 、在Rt △ABC 中，AC cos m α=

，即AO 2cos m

=，故本选项符合题意； D 、∵四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB=m ，∵∠BAC=∠BDC=α，∴在Rt △DCB 中，BD cos m

=，故本选项不符合题意；故选C ．

10. 【答案】B

【解析】如图，作AD ⊥BC 于点D ，则BD 32=

+0.395

=， ∵cos αBD AB =，∴cos α9

5AB =，解得AB 9

5cos α=米，

故选B ．

二、填空题（本大题共7道小题） 11. 【答案】75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的

和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－1

2|＝0，（tan β－1）2＝0，

则sin α ＝1

2，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°.

12. 【答案】2(3－2) 【解析】开始时梯子顶端离地面距离为4×sin 45°＝4×2

2＝

22，移动后梯子顶端离地面距离为4×sin 60°＝4×3

2＝23，故梯子顶端沿墙面升高了 23－22＝2(3－2)m .

13. 【答案】208【解析】在Rt△ABD中，BD＝AD·tan∠BAD＝90×tan30°＝303，在Rt△ACD中，CD＝AD·tan∠CAD＝90×tan60°＝903，BC＝BD＋CD＝303＋903＝1203≈208(米)．

14. 【答案】0

【解析】原式=1–2×=1–1=0，故答案为：0．

15. 【答案】3

【解析】如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2，

在Rt△ABC1中，AB=2，∠A=60°，∴∠ABC1=30°，∴AC1=1

AB=1，由勾

股定理得：BC1=3，在Rt△ABC2中，AB=2，∠A=60°，∴∠AC2B=30°，∴AC2=4，由勾股定理得：BC2=23，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时3

16. 5

【解析】如图，过B作BD⊥AC于D，

∵∠A=45°，∴∠ABD=∠A=45°，∴AD=BD．

∵∠ADB=∠CDB=90°，∴AB2=AD2+DB2=2BD2，BC2=DC2+BD2，

∴AC2–BC2=(AD+DC)2–(DC2+BD2)

=AD2+DC2+2AD?DC–DC2–BD2

=2AD?DC

=2BD?DC，

∵AC2–BC2

=，∴2BD?DC

=2BD2，

∴DC

=BD

，∴

tan5

BD BD

===

．

故答案为:5．

17. 【答案】3或3 3 或

37【解析】如解图，∵点O是AB的中点，AB＝6，∴AO＝BO＝3.①当点P为直角顶点，且P在AB上方时，∵∠1＝120°，∴∠AOP1＝60°，∴△AOP1是等边三角形，∴AP1＝OA＝3；②当点P为直角顶点，且P在AB下方时，AP2＝BP1＝62－32＝33；③当点A为直角顶点时，AP3＝AO·tan∠AOP3＝3×3＝33；④当点B为直角顶点时，AP4＝BP3＝

62＋（33）2＝37.综上，当△APB为直角三角形时，AP的值为3或3 3 或

37.

三、解答题（本大题共5道小题）

18. 【答案】

解：如解图，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，则四边形FBED为矩形，(1分)

∴FD＝BE，BF＝DE＝10，FD∥BE，(2分)

第12题解图

由题意得：∠FDC＝30°，∠ADF＝45°，∵FD∥BE，

∴∠DCE＝∠FDC＝30°，(3分)

在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，DE＝10，∠DCE＝30°，

∵tan∠DCE＝DE

CE，(4分)

∴CE＝

tan30°

＝103，(5分)

在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，∠ADF＝∠FAD＝45°，

∴FD＝AF，

又∵AB＝80，BF＝10，

∴FD＝AF＝AB－BF＝80－10＝70，(6分)

∴BC＝BE－CE＝FD－CE＝70－103≈52.7(m)．(7分)

答：障碍物B、C两点间的距离约为52.7 m．(8分)

19. 【答案】

【思维教练】求三条线段之间的关系，一般是线段的和差关系或线段平方的和差关系．由ABCD是正方形，BD是角平分线，可想到连接CG，易得CG＝AG，再由四边形CEGF是矩形可得AG2＝GE2＋GF2；(2)给出∠AGF＝105°，可得出∠AGB＝60°，再由∠ABG＝45°，可想到过点A作BG的垂线，交BG于点M，分别在两个直角三角形中得出BM和MG的长，相加即可得出BG的长．

解：(1)AG2＝GE2＋GF2；(1分)

理由：连结CG，∵ABCD是正方形，

∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，

∴△ADG≌△CDG，(2分)

∴AG＝CG，

又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠GFC＝90°，

∴四边形CEGF是矩形，(3分)

∴CF＝GE，

在直角△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，

∴AG2＝GE2＋GF2；(4分)

(2)过点A作AM⊥BD于点M，

∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，

∴∠BAM＝∠BGF＝45°，

∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，(6分)

∵AB＝1，∴AM＝BM＝

2 2，

∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，

∴tan60°＝AM

GM，∴GM＝

6，(8分)

∴BG＝BM＋GM＝

2＋

6＝

32＋6

6.(10分)

20. 【答案】

解：(1)∵在教学楼B点处观测旗杆底端D处的俯角是30°，

∴∠ADB＝30°，(1分)

在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4(米)，(2分)

∴AD＝

tan∠ADB

＝

tan30°

＝43(米)．(3分)

答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(4分)

(也可先求∠ABD＝60°，利用tan60°去计算得到结论)

(2)∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4 3 米，(5分) ∴CD＝AD·tan60°＝43×3＝12(米)．(7分)

答：旗杆CD的高度是12米．(8分)

21. 【答案】

(1)如图1，过点E作EM⊥CD于点M，

由题意知∠BCM=64°、EC=BC+BE=60+15=75cm，

∴EM=ECsin∠BCM=75sin64°≈67.5(cm)，

则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5(cm)；

(2)如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，

由题意知E′H=80×0.8=64，

则E′C=

sin E H

ECH

∠

sin64?

≈71，1，

∴EE′=CE﹣CE′=75﹣71.1=3.9(cm)．22. 【答案】

解：(1)sin15°＝sin(45°－30°)(2分)

＝sin45°cos30°－cos45°sin30°(3分)

＝

2×

2－

2×

＝6－2

4.(4分)

(2)在Rt△BDE中，

∠BDE＝75°，DE＝CA＝7，

tan∠BDE＝BE

DE，即tan75°＝

7＝2＋3，(5分)

∴BE＝14＋73，(6分)

又∵AE＝DC＝3，

∴AB＝BE＋AE＝14＋73＋3＝14＋83(米)，(7分) 答：纪念碑的高度是(14＋83)米．(8分)

人教版 九年级下册 第28章 锐角三角函数 培优训练

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