高考数学向量与三角不等式等

高考数学向量与三角不

等式等

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第19讲：向量与三角、不等式等知识综合应用

一、高考要求

平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透．

二、考点解读

考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力．

考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．

三、课前训练

1．把曲线y cos x +2y -1=0先沿x 轴向右平移2

π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ C ）

(A)（1－y ）sin x +2y －3=0

(B)（y －1）sin x +2y －3=0

(C)（y +1）sin x +2y +1=0

(D) －

(y +1)sin x +2y +1=0

2．函数y =sin x 的图象按向量=（32π-，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是（ D ）

（A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +2

3．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | b a - | 的最大值为2

4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ

≤2

π)的图象与y 轴交于点（0，1）．设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交

点，则PM PN 与的夹角余弦值为

1517 四、典型例题

例1 已知a =（3sin ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）

（ω>0），记函数

f (x )=b a ?，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ A ）

(A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21=ω ( D) 3

2=ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(π

θθθ∈B A ，则△OAB 的面积达到最大值时，=θ （ D ） (A)

6π (B) 4π (C) 3π (D) 2

π 解：1111sin cos (1cos )(1sin )222

ABC S θθθθ?=----- 11sin cos 22θθ=-11sin 224

θ=-

当2θπ=即2πθ=时,面积最大. 例3 设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a ·(a ＋b )．

60 使不等式f (x )≥2

3成立的x 的取值集合为解：3,88x k x k k Z ππππ??-≤≤+∈????

例4 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则()OA OB OC ?+的最小值是

解：如图

,≥-=??=+?OM OA OC OB OA 2)(

.222-=?- 即)(+?的最小值为 -2