第三章 学案3步步高高中物理必修二

学案3 万有引力定律的应用

[目标定位] 1.了解重力等于万有引力的条件.2.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.3.会用万有引力定律计算天体的质量.4.会应用万有引力定律结合圆周运动的知识求解天体运动的有关物理量.

一、“称量”地球质量

[问题设计]

1.卡文迪许在实验室测量出了引力常量G 的值，他称自己是可以测量地球质量的人，他“测量”的依据是什么？

答案 若忽略地球自转的影响，在地球表面上质量为m 的物体所受的重力mg 等于地球对物

体的引力，即mg ＝GM E m R 2，所以有M E ＝gR 2G

，只要测出G ，便可“称量”地球的质量. 2.设地面附近的重力加速度g ＝9.8 m /s 2，地球半径R ＝6.4×106 m ，引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，试估算地球的质量.

答案 M E ＝gR 2G ＝9.8×(6.4×106)26.67×10

－11 kg ≈6.0×1024 kg. [要点提炼]

1.地球质量的计算

在地面上，忽略地球自转的影响，由mg ＝G M E m R 2可以求得地球的质量：M E ＝gR 2G

. 2.其他星球质量的计算

若已知天体的半径R 和天体表面的重力加速度g ，与地球质量的计算方法类似，即可计算出

此天体的质量M ＝gR 2G

.

二、计算天体质量

[问题设计]

1.由天文观测知某行星绕太阳运行的周期为T ，轨道半径为r ，则太阳的质量为多大？

答案 由GMm r 2＝4π2T 2mr 知M ＝4π2r 3

GT 2，由此可知若已知某行星的公转周期T 和它与太阳的距离r ，就可求出太阳的质量.

2.已知天体的质量和半径，如何得到天体的平均密度？

答案 知道天体的质量和半径，则可由ρ＝M V 得到天体的密度ρ＝M 43

πR 3＝3M 4πR 3

. [要点提炼]

1.计算天体质量的方法

分析围绕该天体运动的行星(或卫星)，测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有引力

提供向心力即可求中心天体的质量.由GMm r 2＝m 4π2T 2r ，得M ＝4π2r 3

GT 2. 2.天体密度的计算方法

根据密度的公式ρ＝M 43

πR 3，只要先求出天体的质量就可以代入此式计算天体的密度. (1)由天体表面的重力加速度g 和半径R ，求此天体的密度.由mg ＝GMm R 2和M ＝ρ·43

πR 3，得ρ＝3g 4πGR

. (2)若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r ，运行周期为T ，中心天体的半径为R ，则由G Mm r 2＝mr 4π2T 2和M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3πr 3

GT 2R 3. 注意 R 、r 的意义不同，一般地R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径，若绕近

地轨道运行，则有R ＝r ，此时ρ＝3πGT 2.

三、天体运动的分析与计算

1.基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供.

2.常用关系：

(1)G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r (2)忽略自转时，mg ＝G Mm R 2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR 2＝GM ，该公式通常被称为“黄金代换式”.

3.四个重要结论：设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动.

(1)由G Mm r 2＝m v 2r

得v ＝ GM r ，r 越大，v 越小. (2)由G Mm r 2＝mω2r 得ω＝ GM r 3

，r 越大，ω越小. (3)由G Mm r 2＝m (2πT

)2r 得T ＝2π r 3

GM ，r 越大，T 越大. (4)由G Mm r 2＝ma 向得a 向＝GM r

2，r 越大，a 向越小.

一、天体质量和密度的计算

例1 地球表面的平均重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ，可估算地球的平均密度为( )

A.3g 4πRG

B.3g 4πR 2G

C.g RG

D.g RG

2 解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg ＝G Mm R 2，又地球质量M ＝ρV ＝43

πR 3ρ，代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝3g 4πRG

. 答案 A

例2 假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T 1，已知引力常量为G .

(1)则该天体的密度是多少？

(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h ，测得在该处做匀速圆周运动的周期为T 2，则该天体的密度又是多少？

解析 (1)设卫星的质量为m ，天体的质量为M ，卫星贴近天体表面运动时有G Mm R 2＝m 4π2T 21

R ，M ＝4π2R 3GT 21

根据数学知识可知天体的体积为V ＝43

πR 3 故该天体的密度为ρ＝M V ＝4π2R 3GT 21·43πR 3＝3πGT 21. (2)卫星距天体表面距离为h 时，忽略自转有

G Mm

(R ＋h )2＝m 4π2

T 22(R ＋h ) M ＝4π2(R ＋h )3

GT 22

ρ＝M V ＝4π2(R ＋h )3GT 22·43

πR 3＝3π(R ＋h )3

GT 22R 3 答案 (1)3πGT 21 (2)3π(R ＋h )3GT 22R 3

二、天体运动的分析与计算

例3 地球的两颗人造卫星质量之比m 1∶m 2＝1∶2，轨道半径之比r 1∶r 2＝1∶2.求：

(1)线速度大小之比；

(2)角速度之比；

(3)运行周期之比；

(4)向心力大小之比.

解析 设地球的质量为M ，两颗人造卫星的线速度分别为v 1、v 2，角速度分别为ω1、ω2，运行周期分别为T 1、T 2，向心力分别为F 1、F 2.

(1)根据万有引力和圆周运动规律G mM r 2＝m v 2r

得v ＝ GM r ，所以v 1v 2＝r 2r 1＝21＝21 故二者线速度之比为2∶1.

(2)根据圆周运动规律v ＝ωr 得ω＝v r

所以ω1ω2＝v 1v 2·r 2r 1＝221

，故二者角速度之比为22∶1. (3)根据圆周运动规律T ＝2πω，所以T 1T 2＝ω2ω1＝122 故二者运行周期之比为1∶2 2.

(4)根据万有引力充当向心力F ＝G mM r

2 所以F 1F 2＝m 1m 2·r 22r 21＝21