离散数学形成性考核作业三_百度文库
★形成性考核作业★
离散数学作业5
离散数学图论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次,内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习,基本上是按照考试的题型(除单项选择题外)安排练习题目,目的是通过综合性书面作业,使同学自己检验学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业,大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。
要求:将此作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,要求本学期第15周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮,以便教师评分。
一、填空题
1.已知图G中有1个1度结点,2个2度结点,3个3度结点,4个4度结点,则G的边数是 15 .
2.设给定图G(如右由图所示),则图G的点割集是
.
3.设G是一个图,结点集合为V,边集合为E,则
G的结点等于边数的两倍.
4.无向图G存在欧拉回路,当且仅当G连通且.
5.设G=
6.若图G=
9.设图G是有6个结点的连通图,结点的总度数为18,则可从G中删去 10.设正则5叉树的树叶数为17,则分支数为i
二、判断说明题(判断下列各题,并说明理由.)
1.如果图G是无向图,且其结点度数均为偶数,则图G存在一条欧拉回路..
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解错误.
只有当G是连通图且其结点度数均为偶数时,图G才存在一条欧拉回路.2.如下图所示的图G存在一条欧拉回路.
解错误.
因为图G是有两个结点b、c的度数均为奇数3,不是偶数,所以不存在欧拉回路.
3.如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图.
解正确. G
图G有4个3度结点a,b,d,f,所以图G不是欧拉图.图G有汉密尔顿回路abefgdca,所以图G是汉密尔顿图.
4.设G是一个有7个结点16条边的连通图,则G为平面图.
解错误.
因为图G中 v=7, 3v-6=15, e=16>15,不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图,若v≥3,则e≤3v-6.”这个定理,所以不是平面图.
5.设G是一个连通平面图,且有6个结点11条边,则G有7个面.
解正确.
因为连通平面图G有v=6个结点,e=11条边,那么由欧拉公式:v-e+r
=2计算得:r =2+ 11- 6 = 7个面.
三、计算题 2
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1.设G=
(1) 给出G的图形表示; (2) 写出其邻接矩阵;
(3) 求出每个结点的度数; (4) 画出其补图的图形.
解(1)G的图形为:
(2)图G的邻接矩阵为:
?0 0
A= 1 0
0?0100??0110?1011??1101?0110??
(3)图G的每个结点的度数为:
deg(v1)=1,deg(v2)=2,deg(v3)=4,deg(v4)=3,deg(v5)=2.
(4)图G的补图为:
2.图G=
(1)画出G的图形;(2)写出G的邻接矩阵;
(3)求出G权最小的生成树及其权值.
解:(1)G的图形表示如图3:
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图3
(2)邻接矩阵:
?0?1?A(G)=?1??0
??11101?0011??0011??1101?1110??
(3)粗线表示最小的生成树,如图4
图4
最小的生成树的权为:1+1+2+3=7.
3.已知带权图G如右图所示.
(1) 求图G的最小生成树; (2)计算该生成树的权值.
解(1)图G有6个结点,其生成树有5条边,用Kruskal 算法求其权最小的生成树T,做法如下:
①选边1;②选边2;③选边3;
④选边5;⑤选边7
最小生成树为{1,2,3,5,7}.
所求最小生成树T如右图.
(2)该最小生成树的权为W(T)=1+2+3+5+7=18.
4.设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31
,试画出相应的最优二叉树,计算该最优 4
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二叉树的权.
解方法(Huffman算法):
(1){2,3,5,7,17,31}
(2){5,5,7,17,31}
(3){7,10,17,31}
(4){17,17,31}
(5){}
得最优二叉树,如图6所示.
该最优二叉树的权为:
(2+3)×5+5×4+7×3+17×2+31×1=131.
四、证明题
1.设G是一个n阶无向简单图,n是大于等于3的奇数.证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等.
证明设G=
E所得到的.所以对于任意结点u∈V,u在G和G中的度数之和等于u在Kn中的度数.由于n是大于等于3的奇数,从而Kn的每个结点都是偶数度的(n-1 (≥2)度),于是若u∈V在G中是奇数度结点,则它在G中也是奇数度结点.故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等.
2.设连通图G有k个奇数度的结点,证明在图G中至少要添加
使其成为欧拉图.
证明由定理3.1.2,任何图中度数为奇数的结点必是偶数,可知k是偶数.又根据定理4.1.1的推论,图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点.因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边,使图G的所有结点的度数变为偶数,成为欧拉图. k故最少要加条边到图G才能使其成为欧拉图. 2
k条边才能2