第21届希望杯初二 试题及答案

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第2试

一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面圆括号内． 1．计算12925?，得数是（

）

A ．9位数

B ．10位数

C ．11位数

D ．12位数

2．若123

x y

-=，则代数式918918x y x y +---的值（

）

A ．等于7

5

B ．等于5

7

C ．等于57或不存在

D ．等于7

5

或不存在

3．The integer solutions of the inequalities about x ：3()22(12)3

2x a x a x b b x -+--??

+-?

then the number of integer pairs （a b ，）is （ ） A ．32

B ．35

C ．40

D ．48

（英汉词典：integer 整数）

4．已知三角形三个内角的度数之比为::x y z ，且x y z +<，则这个三角形是（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形

5．如图1，三个凸六边形的六个内角都是120?，六条边的长分别为a b c d e f ，

，，，，，则下列等式中成立的是（

）

图1

e d

f

c

b

a

A ．a b c d e f ++=++

B ．a c e b d f ++=++

B ．a b d e +=+

C ．a c b d +=+

6．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为a ，最长的中线的长为m ，最长的高线的长为h ，则（

）

A ．a m h >>

B ．a h m >>

C ．m a h >>

D ．h m a >>

7．某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（ ）

A ．15种

B ．11种

C ．5种

D ．3种 8．若1100xy x y x

y

≠+≠+，，与x y +成反比，则()2

x y +与22x y +（ ）

A ．成正比

B ．成反比

C ．既不成正比，也不成反比

D ．关系不确定

9．如图2，已知函数2(0)(0)k

y x y x x x

=>=<，，点A 在正y 轴上，过点A 作BC ∥x 轴，交两个函

数的图象于点B 和C ，若:1:3AB AC =，则k 的值是（

）

图2

y

x

O C

B

A

A ．6

B ．3

C ．3-

D ．6-

10．10个人围成一圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图3所示，则报出来的数是3的人心里想的数是（ ） A ．2

B ．2-

C ．4

D ．4-

图3

10987

65

4321

二、填空题（每小题4分，共40分）

11．若22720x x -+=，则4224x x -=_____________．

12．如图4，已知点()A a b ，，O 是原点，11OA OA OA OA =⊥，，则点1A 的坐标是_______________．

图4

y

x

A （a ，b ）

A 1

O

13．已知0ab ≠，并且0a b +>，则

22a b b a +____________11

a b

+．

（填“>”、“<”、“≥”或“≤”） 14．若22220a b a b +--+=，则代数式a b a b a b +-?的值是______________．

15．将代数式()()()322221211x a x a a x a ++++-+-分解因式，得__________________．

16．A B C 、、三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，A 在前，C 在后，B 在A C 、正中间，10分钟后，C 追上B ；又过了5分钟，C 追上A ．则再过__________分钟，B 追上A ． 17．边长是整数，周长等于20的等腰三角形有___________种，其中面积最大的三角形底边的长是_________．

18．如图5，在ABC △中，AC BD =，图中的数据说明ABC ∠=_____________．

40°30°

图5

D

C

B

A

19．如图6，直线3

13

y x =-

+与x 轴、y 轴分别交于A B 、，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角90ABC BAC ∠=?△，．在第二象限内有一点12P a ?

? ??

?，，且ABP △的面积与ABC △的面积

相等，则ABC △的面积是________________；a =___________________

图6

y

x

O P

C

B

A

20．Given the area of ABC △ is 1S ，and the length of its three sides are 113

391313

，，10 respectively ． And the perimeter of A B C '''△ is 18，its area is 2S ．

Then the relationship between 1S and 2S is 1S 2S ．（fill in the blank with “>”，“=”or “<”）

（英汉词典：area 面积；length 长度；perimeter 周长）

三、解答题每题都要写出推算过程． 21．（本题满分10分）解方程：

23443

42334x x x x

+-+=+

+-． 【解析】 令

23443

x x

a b +-==，， 则 11

a b a b

+++，

整理得 ()10a b a ab ?

?

--= ???

， 所以 a b =或1ab =，

即

33

443x x

+

-=

， ① 或

23414

3x x

+-?=，

② 由①得 7

10x =，

由②得0x =或5

2

x =

经检验，知

750102

，，都是原方程的解． 22．（本题满分15分）如图7，等腰直角ABC △的斜边AB 上有两点M N 、，且满足

222MN BN AM =+，将ABC △绕着C 点顺时针旋转90?后，点M 、N 的对应点分别为T S 、．

⑴请画出旋转后的图形，并证明MCN MCS ?△△ ⑵求MCN ∠的度数．

图7

N

M

C

B

A

r

N

M

S

C

B

A

【解析】 ⑴将ABC △绕着C 点顺时针旋转90?，如图．

根据旋转前后的对应关系，可知

45BN AS CN CS NBC SAC ==∠=∠=?，，

所以 90MAS MAC SAC ∠=∠+∠=?． 由色股定理，得

222222MS AM AS AM BN MN =+=+=，

所以 M N M S =．

又因为 CN CS CM =，

是公共边， 所以 MCN MCS ?△△． ⑵因为CN 顺时针旋转90?后得到CS ， 所以 90NCS ∠=?， 上面已证得 MCN MCS ?△△，

故1

452

MCN MCS NCS ∠=∠=∠=?．

23．（本题满分15分）已知长方形的边长都是整数，将边长为2的正方形纸片放入长方形，要求正方形的边与长方形的边平行或重合，且任意两个正方形重叠部分的面积为0，放入的正方形越多越好．

⑴如果长方形的长是4，宽是3，那么最多可以放入多少个边长为2的正方形？长方形被覆盖的面

积占整个长方形面积的百分比是多少？

⑵如果长方形的长是(4)n n ≥，宽是2n -，那么最多可以放入多少个边长为2的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？

⑶对于任意满足条件的长方形，使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55%求长方形边长的所有可能值．（已知0.550.74≈）

【解析】 ⑴最多可以放入2个正方形，长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是

2222

66.7%433

?=≈?． ⑵当n 是偶数时，2n -也是偶数，最多可以放入1

(2)4

n n -个正方形，长方形被覆盖的面

积占整个长方形面积的百分比是100%．

当n 是奇数时，2n -也是奇数，最多可以放入1

(1)(3)4

n n --个正方形，长方形被覆盖的

面积占整个长方形面积的百分比是

()()

()

13100%2n n n n --?-．

⑶设长方形的宽与长分别是x y ，．

若x y ，都是偶数，则长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的100%，不符合题意． 若x y ，中一个是偶数2a ，一个是奇数21b +（a b ，是正整数），则

4420.552(21)21

ab ab b

xy a b b ==<++． 解得0.61b <．

没有满足此结果的正整数b ，这种情况也不符合题意． 因此，x y ，都是奇数． 令2121x a y b =+??

=+?

，

，a a b ≤b ，，是正整数，

则有

()()

40.55212ab

a b a <++．

因为

()()

()()2

44421121221212212ab

a a a a

b a a a a b a ??

=>= ?+++??????

++++ ? ?

???

?， 所以 2

20.55

21a a ??

< ?+??

． 得

20.74 1.421

a

a a <<+，，

由于 a 是正整数，

所以 1a = 代入①式，得

40.553(21)

b

b <+，

解得 2.4b <， 由于 b 是正整数， 所以 1b =或2 故有 33x y ==，或5．

即长方形长为5，宽为3，或长与宽都是3．

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛

参考答案及评分标准 初二 第2试

一、选择题（每小题4分．） 题号 1 21 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B

D

B

C

C

A

D

A

D

B

二、填空题（每小题4分，第17、19题，每空2分．） 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20

答案 -4

()b a -，

≥ 1

()()()111x x a x a ++++- 15 4；6 40? 2；

3

42

- >

1. 12939925210810?=?=?，∴得数是10位数．

2. ∵123

x y -=，∴3

32y x =-

将其代入代数式，得()()

3

9318

7291821422391815305293182

x x x x y x x y x x x x +

---+--===

-----+- 当2x ≠时，原式7

5

=

；当2x =时，原式的值不存在． 3. 原不等式3324222233x a x a x b b x -+-+-???+<-?≥1715x a x b

??????

≥1175a x b ?<≤

于是1017a <≤，1

345

b <≤ 所以a 有7个不同的取值，b 有5个不同的取值，

于是整数对(),a b 共有7535?=个．

4. ∵x y z +<，∴2x y z z ++<，即1802z ?<，∴90z >?，三角形为钝角三角形．

5. 如图，补三个等边三角形，则e a b c c d e a f ++=++=++，于是a b d e +=+．

a c

e

f

e d c b

a

6. 利用直角三角形中斜边大于直角边易得结论a m h >>．

7. 设该球队胜、平、负的场数分别为x 、y 、15x y --，则333x y +=．

015333

x y x y x y ???

?

+??+=?≥≥0≤，于是06y ≤≤，又y 能整除3，于是0,3,6y =． 对应的11,10,9x =，共3种情况．

8. ∵11

x y +与x y +成反比，∴()11x y m x y ??++= ???

，其中m 为非零常数．

于是

2y x m x y +=-，因此y

x

为定值． 而()

22

21y y x y x x x ????+=?++?? ???????

，2222

1y x y x x ????+=?+?? ???????，结合y x 为定值

所以()2

x y +与22x y +成正比．

9. B 与C 的纵坐标相等，即

2k AC AB =-，∴26AC

k AB

=-?=-

10. 假设报出来的数是3的人心里想的数是x ，则

报出来的数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

心里想的数

4x -

x

8x -

4x +

12x

-

于是()()41220x x -+-=，解得2x =-．

11. ()

()

2

42224272242722887448748x x x x x x x -=---=-+-+22856752x x =-+

()

28272567524

x

x =--+=-． 12. 过A 、1A 作x 轴的垂线，利用弦图容易得到()1,A b a -．

13. ∵()222222a b a b a b a b b a b a b a ??++=+++ ???，()1111a b a b a b b a ??

++=+++ ???

而2222

222222a b a b b a b a

+?=≥ ∴()()2211a b a b a b b a a b ????++++

? ?????

≥，即2211a b b a a b ++≥． 14. ∵()(

)

2

2

2

222110a b a b a b +--+=-+

-=，∴1a =，1b =

于是20111a b a b a b +-?=?=．

15. ()()()322221211x a x a a x a ++++-+-

()()322222121x ax a x x ax a =++-+++-

()()()21211x x ax a a ??=++++-??

()()()111x x a x a =++++-

16. 设当B 在A 、C 正中间是1AB BC ==，则C 相对B 的速度为

110，C 相对A 的速度为2

15

， 因此B 相对A 的速度为

1

30

，故B 追上A 需要时间为30分钟． 于是再过15分钟，B 追上A ．

17. 设等腰三角形的腰长为x ，则底边长为202x -，于是0202x x x <-<+，有510x <<，

∴x 的可能取值有6,7,8,9，共4种．

其面积为()()2

1010210x x ?--，∴当7x =时三角形面积最大，此时底边长为6．

18. 在BC 上取一点E ，使得CE CA =，容易证明AEB ADC △≌△，于是40ABC ∠=?． 19. ∵(

)

3,0A

，()0,1B ，∴2AB = 于是21

22

ABC S AB =

=△ ∵()(

)

1111

1

13132222

2

ABP S a a ??=+?-+??-

-?

??

?

△2=，解得342a =-． 20. ABC △的面积不小于三边长分别为3,9,10的三角形面积，于是 ()()()111131*********ABC S ?-?-?-=△≥；

而A B C '''△的面积不大于周长为18的正三角形面积，于是

2

231893

43S ???= ???

≤243．

∴12S S >．