【精选】八年级全等三角形单元测试卷附答案

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使

△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②V7.5

Q

（厘米/秒）；（2）点P、Q

在AB边上相遇，即经过了80

3

秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．

【解析】

【分析】

（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得

△BPD≌△CQP；

②根据V P≠V Q，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；

（2）根据V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x

秒，即可列出方程15

6220

2

x x，解方程即可得到结果.

【详解】

（1）①因为t＝1（秒），

所以BP＝CQ＝6（厘米）

∵AB＝20，D为AB中点，

∴BD＝10（厘米）

又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米）∴PC＝BD

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△BPD与△CQP中，

BP CQ B C PC BD =??

∠=∠??=?

, ∴△BPD ≌△CQP （SAS ）， ②因为V P ≠V Q ， 所以BP ≠CQ ， 又因为∠B ＝∠C ，

要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ， 故CQ ＝BD ＝10． 所以点P 、Q 的运动时间84

663

BP t

（秒）， 此时

107.5

43

Q

CQ V t

（厘米/秒）．

（2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程 设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得15

62202

x x ， 解得x=

803

(秒) 此时P 运动了

80

61603

（厘米） 又因为△ABC 的周长为56厘米，160＝56×2+48， 所以点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了80

3

秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【点睛】

此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.

2．如图1，在△ACB 和△AED 中，AC ＝BC ，AE ＝DE ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，点E 在AB 上，F 是线段BD 的中点，连接CE 、FE ．

（1）请你探究线段CE 与FE 之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）； （2）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转，使△AED 的一边AE 恰好与△ACB 的边AC 在同

一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析

【解析】

【分析】

（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角

三角形，EF；

（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此

CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；

（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出

EM=PN=1

2

AD，EC=MF=

1

2

AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结

论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．

【详解】

（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE；

解法1：

∵∠AED＝∠ACB＝90°

∴B、C、D、E四点共圆

且BD是该圆的直径，

∵点F是BD的中点，

∴点F是圆心，

∴EF＝CF＝FD＝FB，

∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，

由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，

∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°

∴∠ECF＝45°＝∠CEF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴CE＝2EF．

解法2：

易证∠BED＝∠ACB＝90°，

∵点F是BD的中点，

∴CF＝EF＝FB＝FD，

∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，

∴∠DFE＝2∠ABD，

同理∠CFD＝2∠CBD，

∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，

即∠CFE＝90°，

∴CE＝2EF．

（2）（1）中的结论仍然成立．

解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，∵∠ACB＝∠AED＝90°，

∴DE∥BC，

∴∠EDF＝∠GBF，

又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，

∴△EDF≌△GBF，

∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，

∵AC＝BC，

∴CE＝CG，

∴∠EFC＝90°，CF＝EF，

∴△CEF为等腰直角三角形，

∴∠CEF＝45°，

∴CE2；

解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，

∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，

又点F是BD的中点，∴FA＝FB＝FD，

而AC＝BC，CF＝CF，∴△ACF≌△BCF，

∴∠ACF＝∠BCF＝1

2

∠ACB＝45°，

∵FA＝FB，CA＝CB，

∴CF所在的直线垂直平分线段AB，

同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，

又DA⊥BA，

∴EF⊥CF，

∴△CEF为等腰直角三角形，

∴CE＝2EF．

（3）（1）中的结论仍然成立．

解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，

∵DF＝BF，

∴FM∥AB，且FM＝1

2 AB，

∵AE＝DE，∠AED＝90°，∴AM＝EM，∠AME＝90°，∵CA＝CB，∠ACB＝90°

∴CN=AN=1

2

AB，∠ANC＝90°，

∴MF∥AN，FM＝AN＝CN，

∴四边形MFNA为平行四边形，

∴FN＝AM＝EM，∠AMF＝∠FNA，∴∠EMF＝∠FNC，

∴△EMF≌△FNC，

∴FE＝CF，∠EFM＝∠FCN，

由MF∥AN，∠ANC＝90°，可得∠CPF＝90°，

∴∠FCN+∠PFC＝90°，

∴∠EFM+∠PFC＝90°，

∴∠EFC＝90°，

∴△CEF为等腰直角三角形，

∴∠CEF＝45°，

∴CE＝2FE．

【点睛】

本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．

3．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．

（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；

（2）如图2，若∠AOB=120o，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析

【解析】

【分析】

(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．

(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．

【详解】

解：（1）结论：CF=CG；

证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，

∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；

（2）CF=CG.理由如下：如图，

过点C 作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，

∵OP 平分∠AOB ，CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∠AOB=120o， ∴CM=CN （角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∴∠AOC=∠BOC=60o（角平分线的性质）， ∵∠DCE=∠AOC ，

∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60o，

∴∠MCO=90o-60o =30o，∠NCO=90o-60o =30o， ∴∠MCN=30o+30o=60o， ∴∠MCN=∠DCE ，

∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ，∠NCG=∠DCE-∠DCN ， ∴∠MCF=∠NCG ， 在△MCF 和△NCG 中，

CMF CNG CM CN

MCF NCG ∠=∠??

=??∠=∠?

∴△MCF ≌△NCG （ASA ），

∴CF=CG （全等三角形对应边相等）； 【点睛】

本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ．

4．如图1，在ABC ?中，ACB ∠是直角，60B ∠=?，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点

F ．

（1）求出AFC ∠的度数；

（2）判断FE与FD之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC上截取CG CD

=，连接FG．）

（3）如图2，在△ABC

?中，如果ACB

∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．

【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;

（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；

（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出

∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．

【详解】

（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°

（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．

理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，

∵CE是∠BCA的平分线，

∴∠DCF＝∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

CG CD

DCF GCF

CF CF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG

由（1）∠AFC＝120°得，

∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，

∴∠AFG＝60°，

又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，

∴∠AFE＝∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

AFE AFG

AF AF

EAF GAF

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

，

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF＝GF，

∴DF＝EF；

（3）结论：AC＝AE+CD．

理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，

同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），

∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE

∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°

∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-

1

2

(∠BAC+∠BCA)=180°-

1

2

×120°=120°，

∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，

∴∠CFG＝∠CFD＝60°，

同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），

∴CD＝CG，

∴AC＝AG+CG＝AE+CD．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．

5．已知4

AB cm

=，3

AC BD cm

==.点P在AB上以1/

cm s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为()

t s．

（1）如图①，AC AB

⊥，BD AB

⊥，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1

t=时，ACP

△与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位

置关系；

（2）如图②，将图①中的“AC AB

⊥，BD AB

⊥”为改“60

CAB DBA

∠=∠=?”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/

xcm s，是否存在实数x，使得ACP

△与BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，

1

1

t

x

=

?

?

=

?

或

2

3

2

t

x

=

?

?

?

=

??

【解析】

【分析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出

∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；

（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．

【详解】

解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，

又∠A=∠B=90°，

在△ACP和△BPQ中，

AP BQ

A B

AC BP

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．

∴∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．

∴∠CPQ=90°，

即线段PC与线段PQ垂直．

（2）①若△ACP≌△BPQ，

则AC=BP，AP=BQ，

34t

t xt

=-

?

?

=

?

，

解得

1

1

t

x

=

?

?

=

?

，

②若△

ACP ≌△BQP ， 则AC=BQ ，AP=BP ，

34xt

t t =??

=-?

， 解得232t x =???=??

，

综上所述，存在11t x =??=?或2

32t x =??

?=??

使得△ACP 与△BPQ 全等．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．

6．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 坐标为()6,0、()0,6，P 为线段AB 上的一点．

（1）如图1，若P 为AB 的中点，点M 、N 分别是OA 、OB 边上的动点，且保持

AM ON =，则在点M 、N 运动的过程中，探究线段PM 、PN 之间的位置关系与数量

关系，并说明理由．

（2）如图2，若P 为线段AB 上异于A 、B 的任意一点，过B 点作BD OP ⊥，交OP 、OA 分别于F 、D 两点，E 为OA 上一点，且PEA BDO =∠∠，试判断线段OD 与AE 的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）PM=PN ，PM ⊥PN ，理由见解析；（2）OD=AE ，理由见解析 【解析】 【分析】

（1）连接OP ．只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题；

（2）作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．由△DBO ≌△GOA ，推出OD=AG ，∠BDO=∠G ，再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题； 【详解】

（1）结论：PM=PN ，PM ⊥PN ．理由如下： 如图1中，连接OP ．

∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6），

∴OB=OA=6，∠AOB=90°， ∵P 为AB 的中点，

∴OP=

1

2

AB=PB=PA ，OP ⊥AB ，∠PON=∠PAM=45°， ∴∠OPA=90°，

在△PON 和△PAM 中，

ON AM PON PAM OP AP =??

∠=∠??=?

， ∴△PON ≌△PAM （SAS ）， ∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ， ∴∠NPM=∠OPA=90°， ∴PM ⊥PN ，PM=PN ．

（2）结论：OD=AE ．理由如下：

如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ． ∵BD ⊥OP ，

∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，

∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°， ∴∠AOG=∠DBO ， ∵OB=OA ， ∴△DBO ≌△GOA ， ∴OD=AG ，∠BDO=∠G ， ∵∠BDO=∠PEA ， ∴∠G=∠AEP ， 在△PAE 和△PAG 中，

AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△PAE ≌△PAG （AAS ）， ∴AE=AG ， ∴OD=AE ．

【点睛】

考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

7．如图，在ABC ?中，903, 7C AC BC ∠=?==，，点D 是BC 边上的动点，连接

AD ，以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE ． （1）填空：ABC ?的面积等于 ；

（2）连接CE ，求证：CE 是ACB ∠的平分线；

（3）点O 在BC 边上，且1CO =， 当D 从点O 出发运动至点B 停止时，求点E 相应的运动路程．

【答案】（1）21

2

；（2）证明见解析；（3）32【解析】 【分析】

（1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；

（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM ≌△DEN （AAS ），得到ME=NE ，即可利用角平分线的判定证明；

（3）由（2）可知点E 在∠ACB 的平分线上，当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=1

()2

AC CD +，根据CD 的长度计算出CE 的长度即可． 【详解】

解：（1）903, 7C AC BC ∠=?==， ∴112137222

ABC

S

AC BC =

?=??=，

故答案为：21 2

（2）连接CE，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，∴∠EMA=∠END=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠MEN=90°，

∴∠MED+∠DEN=90°，

∵△ADE是等腰直角三角形

∴∠AED=90°，AE=DE

∴∠AEM+∠MED=90°，

∴∠AEM=∠DEN

∴在△AEM与△DEN中，

∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN，AE=DE

∴△AEM≌△DEN（AAS）

∴ME=NE

∴点E在∠ACB的平分线上，

即CE是ACB

∠的平分线

（3）由（2）可知，点E在∠ACB的平分线上，

∴当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，

∵△AEM≌△DEN

∴AM=DN，

即AC-CM=CN-CD

在Rt△CME与Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，

∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）

∴CM=CN

∴CN=1

() 2

AC CD

+，

又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，

∴

2

2) CN AC CD

=+，

当AC=3，CD=CO=1时，

CE=

2

(31)22 2

+=

当AC=3，CD=CB=7时， CE=

2

(37)52+= ∴点E 的运动路程为：522232-=，

【点睛】

本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．

8．如图1，在ABC ?中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．

（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；

（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时

DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．

【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE ，理由见解析；(2) DE=BE-AD 【解析】 【分析】

(1)DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE ，证得△ACD ≌△CBE ，得到AD=CE ，CD=BE ，即有DE=AD-BE ； (2)DE 、AD 、BE 之间的关系是DE=BE-AD ．证明的方法与(1)一样． 【详解】 (1)不成立．

DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ， 理由如下：如图，

∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =， ∴∠ACD+∠CAD=90°， 又∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE ， 在△ACD 和△CBE 中，

90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=???

∠=∠??=?

， ∴△ACD ≌△CBE(AAS)， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CE-CD=AD-BE ； (2)结论：

DE=BE-AD ．

∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =， ∴∠ACD+∠CAD=90°， 又∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE ， 在△ACD 和△CBE 中，

90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=???

∠=∠??=?

， ∴△ADC ≌△CEB(AAS)， ∴AD=CE ，DC=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD ．

本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．

9．（1）在等边三角形ABC 中，

①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点，且AE CD =，BD 与EC 交于点F ，则

BFE ∠的度数是___________度；

②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点，且AE CD =，BD 与EC 的延长线

交于点F ，此时BFE ∠的度数是____________度；

（2）如图③，在ABC ?中，AC BC =，ACB ∠是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与

BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，若ACB α∠=，求BFE ∠的大小（用含法α的代数式表示）． 【答案】（1）60；（2）60；（3）BFE α∠= 【解析】 【分析】

（1）①只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD ，推出∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°；

②只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°； （2）只要证明△AEC ≌△CDB ，可得∠E=∠D ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α. 【详解】

解：（1）①如图①中，

∵△ABC 是等边三角形， ∴AC=CB ，∠A=∠BCD=60°，

∴△ACE≌△CBD，

∴∠ACE=∠CBD，

∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．

故答案为60；

②如图②，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，

∴∠CAE=∠BCD=′120°

∵AE=CD，

∴△ACE≌△CBD，

∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，

∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．

故答案为60；

（2）如图③中，

图③

点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，

∴=，

OC OA

OAC ACOα

∴∠=∠=

=-，

∴∠=∠?

180

EAC DCBα

=，AE CD

AC BC

=，

∴???，

AEC CDB

∴∠=∠，

E D

BFE D DCF E ECA OACα∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=．【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

10．如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．

（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；

（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．

（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45 ，理由见解析；（3）点M的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）

【解析】

【分析】

（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP为等腰直角三角形，从而求得答案；

（2）根据对称的性质得：PA＝PA'＝PB，由∠PAB+∠PBA＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B＝45°；

（3）分类讨论：分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时，点M的坐标的情况；过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.

【详解】

（1）∵AB∥x轴，△APB为等腰直角三角形，

∴∠PAB＝∠PBA＝∠APO＝45°，

∴△AOP为等腰直角三角形，

∴OA＝OP＝4．

∴t＝4÷1＝4（秒），

故t的值为4．

（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，

∵点A 关于x 轴的对称点为A ′， ∴PA ＝PA '， 又AP ＝PB ， ∴PA ＝PA '＝PB ，

∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ， 又∵∠PAB +∠PBA ＝90°， ∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA ' ＝180()PAB PBA ∠∠?-+

180=?-90° =90°，

∴∠AA 'B ＝45°， 即∠OA 'B ＝45°；

（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等， ①如图3，若△ABP ≌△MBP ，

则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ， ∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ， ∴△AOP ≌△MDP （AAS ）， ∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3， ∴M 的坐标为：（6，-4）．

②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，

过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点

F ，

∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，