数值分析课后答案
1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。
由于
n
i
i
i
n
n n n n
i n x x x x x x x x x x V ...
1
...1...
(1)
)(211102
00---=
，.1,...,1,0-=n i
故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高
次幂
n
x 的系数为
)
(...
1
...1...
...
(1)
),...,,(1
01
1
2
1
1
1
22221
2
01101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -=
=
∏-≤<≤-----------。
故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V
6、解：（1）设
.)(k
x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()
1(=+x f
n
对
)(x f 构造Lagrange
插值多项式，
),()(0
x l x x L j n
j k
j n ∑
==
其
0)()!
1()
()()()(1)
1(=+=
-=++x w n f
x L x F x R n n n n ξ，
ξ
介于
j x 之间，.,...,1,0n j =
故
),()(x L x f n =即
.,...,1,0,)(0
n k x x l x k
j n
j k j ==∑
=
特别地，当0=k
时，
10
)(=∑
=n
j x j l 。
（2）
0)()1(1)
()1()()(000
=-=???
? ??-???
? ??-=
--=-===∑∑∑
∑k j j i j
i k j k
i i j i
i k j n
j k
i i
j k
n
j j
x x x x i k x l x x i k x l x x
）利用（。
7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得
)()()(1b f a
b a x a f b
a b x x P --+
--=
因
0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而
))()(("2
1)()(1b x a x f x P x f --=
-ξ，b a
<<ξ。
故)("max )(8122)("max
)(max 2
2
x f a b a b x f x f b x a b
x a b
x a ≤≤≤≤≤≤-=??
? ??-≤。
14、解：设
))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=，
k
x x g =)(，记)()(1
∏
=-=
n
j j n x x x w ，则
),()(x w a x f n n =).()('
j n n j x w a x f =
由差商的性质知
[])!
1()
(1,..,,1
)
('1)
(')('1
211
1
1
-==
=
=
-===∑
∑
∑
n g
a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n
n
j j n k
j
n n
j j n n k
j
n
j j k
j
ξ，
ξ
介于
n x x ,...,1之间。
当20-≤≤n k 时，0)()
1(=-ξn g ，
当1-=n k 时，)!1()(1
-=-n g
n ξ，
故
???-=-≤≤=-=
--=∑
1
,
,20,
0)!1()
(1)
('1
1
1
n k a n k n g a x f x n n n
n
j j k
j
ξ
16、解：根据差商与微商的关系，有
[]1!7!7!7)
(2
,...,2,2)
7(7
10==
=ξf
f ，
[
]0!
80!
8)
(2
,...,2,2)
8(8
1
===
ξf
f 。
（
13)(4
7
+++=x x x x f 是7次多项式， 故
,!7)()
7(=x f
0)()
8(=x f
）。
25、解：（1） 右边=
[]
[]dx x S x f x S dx x S x f b
a
b
a ??-+-)(")(")("2)(")("2
=
[]
dx x S x f x S x S x S x f x f b
a
?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)("
2
22
=
[]
dx x S x f b
a
?-)(")("
2
2
=
[][]dx
x S dx x f b
a
b
a
2
2
)(")("??-
=左边。 （2）左边=
?
-b
a
dx x S x f x S ))(")(")(("
=a
b x S x f x S ))
(')(')(("--
dx x S x S x f b
a
)("))(')('(-?
=))(')(')(("))(')(')(("a S a f a S b S b f b S ---
=右边
例2.5求满足)()(j j x f x P =（2,1,0=j ）及)(')('11x f x P =的插值多项
式及其余项表达式。
解：由给定条件，可确定次数不超过3的插值多项式，由于此多项式通过点
（
)(,00x f x ），（)(,11x f x ）及（)(,22x f x ），故其形式为
[][])
)()(())((,,)
(,)()(210102100100x x x x x x A x x x x x x x f x x x x f x f x P ---+--+-+=其中A 为待
定常数，可由条件)(')('11x f x P =确定，通过计算可得
[])
)((,,)(),()('21021001101x x x x x x x f x x x x f x f A -----=
设)())()(()()()(2210x x x x x x x K x P x f x R ---=-=其中)(x K 为
待定函数。构造
)x -(t )x -)(t x -K(x)(t -P(t)-f(t)t)(22
10=?。 显然0)(=j x ?
（j=0,1,2),且0)'(1=x ?，0)(=x ?，故)(t ?在
),(b a 内有五个零点。反复应用Rolle 定理得，)()
4(t ?
在),(b a 内至
少有一个零点
ξ
，故0
)(!4)()()
4()
4(=-=x K f
ξξ?
，则
!
4)
()()
4(ξf
x K =
，余项表达式为
!4/)())()(()(2210)
4(x x x x x x f
x R ---=ξ ，
其中ξ位于210,,x x x 和
x 所界定的范围内
定理 2.2 设
)
(n f
在
[]b a ,上连续，
)()
1(x f
n +在),(b a 内存在，节点
b x x x a n ≤<<<≤...10，
)
(x L n 是
满
足
条
件
式
),..,1,0()(n j y x L j n ==的插值多项式，则对于任何],[b a x ∈，插
值余项)()!
1()()()()()1()
1(x w n f x L x f x R n n n
+++=-=ξ。 其中
)
,(b a ∈ξ且依赖于
x
，
))...()(()(10)1(n n x x x x x x x w ---=+
三、例3.5 已知一组实验数据如表所示，求拟合曲线
i x
1 2 3 4 5
i f
4 4.
5
6 8 8.5 i w
2
1
3
1
1
解：在坐标纸上标出所给数据，如图所示，从图中可看到，各点分布在一条直
线附近，故可选择线性函数作拟合曲线。令
x a a x S 101)(+=，这里m=4,n=1,1)(0=x ?,x x =)(1?,故
8
),(4
00==
∑
=i i w ??，
22
),(),(4
1001==
=∑
=i i i x w ????，
74
),(2
4
11==
∑
=i i i x w ??，
47
),(4
0==
∑
=i i i f w f ?，
5.145),(4
1==
∑
=i i i i f x w f ?
由式
),...,1,0(),(0
n k d a k j n
j j k
==∑=??
得方程组
??
?=+=+5
.1457422472281010a a a a ，解得13.1,77.210
==a a
于是所求拟合曲线为x x S 33.177.2)(*
1+=
四、1、（1）求积公式中含有三个待定参数，即
,,,101A A A -将1)(=x f ，
x,
2
x 分别代入求积公式，并令其左右相等，得
?
???
???
=+=--=++---31121110132)(0)(2h A A h A A h h
A A A 解得h A A
3
111
==-，h A 3
40=
。所求公式至少具有2次代数精度。又由于
3
3
3
)(3)(3h h h h dx x h
h
+
-=
?
-
44
4
)(3
)(3
h h h h dx x h
h
+
-≠
?
-
故
)(3
)0(3
4)(3
)(h f h f h f h dx x f h
h
+
+
-≈?
-具有三次代数精度。
（2）、求积公式中含有三个待定系数，,,,101A A A -故令公式对
1)(=x f ，
x,
2
x 准确成立，得
????
???
=+=--=++---3
11211101316)(0)(4h A A h A A h h
A A A 解
得
h
h h A h A 3431642410-
=-=-=，故
[])0(3
4)()(3
8)(22hf h f h f h dx x f h
h
-+-≈
?
-
因
223
=?
-h
h
dx x ，
而
[
]0
)
()(3
83
3=+-h h h ，又
[
]4
45
5
6
224
3
83
165
2h
h h h h dx x h
h
+=
≠
=?
-，
所以求积公式只具三次代数精度。 6、证明：由于
)(x f 在[]b a ,上可积，故由定积分的定义可知，对[]b a ,的
任一分划?所作黎曼和的极限
?
∑
=
?=→?b
a
i n
i i x dx x f x f i )()(lim
1
max ξ存在。
该积分对于零距分划和特殊i ξ当然成立。 复化梯形公式为 []?
?
?
???+
=+=
∑∑
∑
-=-=+-=+1
1
11
1)()(21)()(2
n i n i i i n i i i n h x f h x f x f x f h T ，
n
a b h -=
。 则
?
??
∑=
??
??
??+=
??
????++++=
-=∞→∞→∞
→b
a
b
a b
a
n i n n n n dx
x f dx x f dx x f h h i a f h ih a f T )()()(21))1((lim )(lim 21lim 1
0复化
Simpson
公式为
??
????++=
++-=∑
)()(4)(61211
i i i n i n x f x f x f h S
则
?
???
∑∑∑=
??
??
??++=??
????
++=
-=-=+∞→-=+∞→∞→∞
→b
a
b
a b a b
a
n i n i i n n i i n i n n n dx
x f dx x f dx x f dx x f h x f h x f h x f S )()()(4)(61)(lim )(lim 4)(lim 61lim 101
011021
课本85页复化求积法及其收敛性 复化梯形公式为 [])]
()(2)([2
)()(2
1
1
1
1b f x f a f h x f x f h T n k k n k k k n ++=
+
=
∑∑-=-=+，依式
(4.2.5),其积分余项为
)("12
)]("12
[2
1
3
k k n k n f h a b f h
T I ηη--
=-=
-∑-=
则
?
??
∑=
??
??
??+=
??????++++=
-=∞→∞→∞
→b
a
b
a b
a
n i n n n n dx
x f dx x f dx x f h h i a f h ih a f T )()()(21))1((lim )(lim 21lim 1
复化Simpson
公式为
??
????++=
++-=∑
)()(4)(61211
i i i n i n x f x f x f h S =)]()(2)(4)([61
11
021b f x f x f a f h n k k n k k +++∑∑-=-=+ 则
?
???
∑∑∑=
??
??
??++=??
????
++=-=-=+∞→-=+∞→∞→∞→b
a
b
a b a b
a
n i n i i n n i i n i n n n dx
x f dx x f dx x f dx x f h x f h x f h x f S )()()(4)(61)(lim )(lim 4)(lim 61lim 101
011021
五、7、证明如下Kutta Runge -公式
?
??????
-+-+=++==++
=+)
)1(,)1((),(),()(2
13121321
hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h
y y n n n n n n n n 对任意参数t 是二阶公式
证
明
：设
)
(n n x y y =，
)
,()('y x f x y =，则
),(),('),(')("y x f y x f y x f x y y x ?+=，
所以
)(1+n x y 在x 处的Taylor
展开式可写为
)
())](,())(,('))(,('[2
)(')()
()("2
)(')()(3
2
3
2
1h O x y x f x y x f x y x f h
h x y x y h O x y h
h x y x y x y n n n n y n n x n n n n n n +?++
+=++
+=+
又
)
())(,())(,('))(,('))(,(2
2h O x y x thf x y x f th x y x f x y x f K n n n n y n n x n n +++=
)())(,()1))((,(')1))((,('))(,(2
3h O x y x hf t x y x f h t x y x f x y x f K n n n n y n n x n n +-+-+=
)
(2))(,())(,('))(,('))(,(22
32h O x y x f x y x hf x y x hf x y x f K K n n n n y n n x n n +++=+
则
1+n y 在n x 处的Taylor
展开式为
)
())](,())(,('))(,('[2
))(,()()
(2
3
2
321h O x y x f x y x f x y x f h
x y x hf x y K K h y y n n n n y n n x n n n n n +++
+=++=+
得局部截断误差
)()(3
111h O y x y R n n n =-=+++
故所给的Kutta Runge
-公式对任意参数t 是二阶公式。
二阶Kutta Runge -方法：计算格式具有如下形式：
?????+==++=++),(),()
()1(12
1211phK y x f K y x f K K K h y y n p n n n n n λλ 式中含有三个待定系数p ,
,21λλ，其中
n y x n n n n n n n f f f h
hf x y y y h
hy y y )(2
)("2
'2
12
1?++
+=+
+=++或
n f K =1，...)(),(12
+?++=+=+n y x n n p n f f f ph f phK y x f K
所以。
因此只要成立??
??
?==+211
221p λλλ式子（1）就具有二阶精度
第八章
定理4（迭代法收敛的充分条件） 如果方程组
f Bx x +=的迭代公式为
f Bx
x
k k +=+)
()
1(（)
0(x
为任意初始向量），且迭代矩阵的某一种范数
v
B
=q <1,则
1.迭代法收敛；
2.v
k k v
k x
x
q
q x x )
1()
()
(*1---≤
-；
3.v
k
v
k x
x
q
q
x x )
0()
1()
(*1--≤
-；
8-8 解：方程组的系数矩阵：
A=?
?
?
??
??
??
--------1025.025.00125.025.025.025.01025.025.001=??????
? ??----00
25
.025
.00025.025.00000
0000
+??????? ??100
0010000100001+???
??
??
??----0000000025.025.00025.025.000=L+D+U (a)解
此
方
程
组
的
雅
可
比
迭
代
阵
J
B =???
??
?
?
??
--
-------1025
.025.00125.025.025.025.01025.025.001 J
B I -λ=???
???
?
??--
------λλ
λ
λ
25
.025
.0025.025.025.025
.0025.025.00
=2
4
25.0λλ-=0
得 2,1λ=0，5.03=λ，4λ=5.0-，则)(J B ρ=0.5
（
b
）
解
此
方
程
组
的
G-S
迭
代
矩
阵
为
-
=G B ?
??
??
?
?
??---------125.0125
.00
125.0125.00025.025.00025.025.000
G
B I -λ=
??
?
??
??
??---------125.0125
.00
125.0125
.00025.025
.0025
.025.00
λλλ
λ
=
125
.0125
.0125
.0125.02
----λλλ
=
()λ
λλ25.02
-=0
得
03,2,1=λ，25.04=λ 则)(G B ρ
=0.5<1
(c)由（a ），（b ）计算可知，)(J B ρ<1,)(G B ρ<1,故解此方程组的Jacobi
迭代和G-S 迭代都收敛。 8-14
解 A 是对称的，若A 正定，则其各阶顺序主子式应大于0，即
1
1a
a =1-2
a
>0 所以-1 1 11 a a a a a a =(1-a)(1+a-2 2a )>0 所 以-0.5 1- AX=b 的Jacobi 迭代阵)(1U L D B J +-=-=???? ? ??------000 a a a a a a det （ J B I -λ） =????? ??λλ λa a a a a a =???? ? ??--a a a a a a λλ λ λ0 = a a a --λλλλ -a a a a a --λλ =)2)((2 2 a a a -+-λλλ =)2()(2 a a +-λλ 得J B 的特征值 2,1λ=a ，a 23 -=λ 所以)(J B ρ =a 2 由)(J B ρ=a 2<1得，a < 2 1 即当2 1- 2 1时，Jacobi 迭代收敛。 第七章 例 2 ：对于例1，系数矩阵A=?? ?? ? ? ?--12 2140111 ，由高斯消去法，21m =0， 31m =2，32m =-1，故 ???? ? ? ?-11 2010001 ???? ? ? ?--20 0140111 =LU 例5 用直接三角分解法解????? ??513252321 ????? ??321 x x x =???? ? ??201814 用分解公式计算得A=????? ? ?-15 3012001 ???? ? ? ?--240 0410321 =LU 求解 Ly=()T 20, 18,14,得y=()T 7210, 14--, Ux=()T 7210 , 14--,得x=()T 32 1 . 7-22 证：因p x ∞ =p i x n i 1max ≤≤≤ p n i i x ∑ =1 ≤n p i x n i 1max ≤≤=n p x ∞ 两边开p 次方有： ∞ x ≤p p n i i x 1 1 ) (∑=≤∞ x n p 1 而 lim ∞ →p p n 1 =1，故 lim ∞ →p p p n i i x 1 1 ) (∑ == ∞ x 7-27 证：由于???? ??-I A I T μ0???? ??I A A I T μμ=? ?? ? ??-A A I A I T 20 μμ （ 7.26） 及???? ??-I A I 0μ???? ??I A A I T μμ=??? ? ??-I A A A I T T μμ02 （ 7.27） 记B=??? ? ??I A A I T μμ，对（ 7.26）， （ 7.27）两边取行列式得： n μdet(B)=n μdet )(2 A A I T -μ n μ det(B)=n μ det )(2 T A A I -μ 记λ=n μ ≠0故 det(A A I T -λ)=det(T AA I -λ) 7-34 证：由条件数的定义及矩阵范数的相容性，有 Cond(AB)=AB 1 ) (-AB ≤A B 1 -B 1 -A =A 1 -A B 1 -B =co nd(A)cond(B) 6-9 （ 研究求 a 的Netwon 公式。。。。。。。是单调递减的） 解 因a>0, 0x >0,故k x >0,k=1,2---.对任意k ≥0， 1+k x = 2 1（ k x + k x a ）= 2 1（ k x - k x a 2 )+ a ≥a ， 因此对一切k ≥1，均有 k x ≥ a 。利用这一结果， 得 k k x x 1+= 2 1k k k x x a x /+=2 1+ 2 2k x a ≤ 2 1+ a a 2=1 即 1+k x ≤k x ，{}k x 单调递减。根据单调有界原理知，{}k x 收敛。 6-14 解 当f(x)= n x -a=0时，因/f （x)=n 1 -n x ,故Newton 迭代公式为 1+k x =k x - 1 --n k n k nx a x = k x n n 1-+ 1 -n k nx a ，k=0,1,--- 当f （x)=1-n x a 时，因 / f （x ）= 1 +n x an ，故Newton 迭代公式为 1+k x =k x - 1 1+- n k n k x an x a = k x -an x n k 1++n x k =n 1? ? ????-++a x x n n k k 1 )1(，k=0,1--- 对f(x)= n x -a=0 2 1)/( )(lim k n k n k x a x a --+∞ →=[] 2 1) ()1(1lim k n n k k n k x a ax x n n a -+-- -∞ → = [] ) (2)1()1()1(1lim k n n k k x a x n a n n ---+---∞ →= 2 )(1lim ) 1(---+-∞ →n k k x n a n n = n n n a n a a n 21) (12 11 -= -+ 对 f （x ）=1- n x a =0，同样可得 n k n k n k a n x a x a 2 1) (lim 2 1 += --+∞ → 数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q (1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= -- 1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。 （2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ， 当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ， 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 （ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1） 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 （2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")((" 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)! .f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 习 题 二 解 答 1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31 102-?。 分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。 解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。 由 3 4311*10 2 2 2 2 2 n n n n n n b a b a x x -----≤ == = < ? 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。 x *≈x 11=3.632。 指出： （1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3 是不同的。 （2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。 （3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。 1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。 解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+- 当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有122 23,x x =-=。 因为2 14902150327(),()y y -=- <=-<，所以方程在区间223 (,)-上无根； 因为214903 27 ()y - =-<，而函数在23 (,)-∞- 上单调增，函数值不可能变号，所以 方程在该区间上无根； 因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根， 而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。 所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。 2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于4 1 102-?的根，需要迭代多少次？ 分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。 解：令()1sin f x x x =--， 因为(0)10sin 010,(1)11sin 1sin 10f f =--=>=--=-<， 习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1 ＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差： 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、 0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不 超过10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812 ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用 二分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根. 由二分法的误差估计式211*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k . 两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分 0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-?= <=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171.205 .0||222=<-= x x e r ε； %0184.0718 .20005 .0||333=<-= x x e r ε。 评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字； （2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2．（p.12，题9）设72.21=x ， 71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限) 与相对误差(限)。 【解】 005.01=ε，31 1 11084.172.2005 .0-?≈< = x r εε； 000005.02=ε，622 21084.171828 .2000005 .0-?≈< =x r εε； 00005.03=ε，43 3 31096.60718 .000005 .0-?≈< = x r εε； 评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4 310184-?=x 的绝对误差限均为 2105.0-?，问它们各有几位有效数字？ 第一章 题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1） （1） 3 ()432f x x x =-+ （2） （2） 4 3 ()2f x x x =- 解 （1）(4) ()0f x =， 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=； （2）(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --，其中01x x ξ≤≤， 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x ： （1） （1） 用待定系数法； （2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 （1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2 123()23p x a a x a x '=++， 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之，得01230 021 a a a a =??=?? =??=-? 第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ； 1第一章 习题解答 1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。 解：设 x 的准确值为x *，则有 ( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 所以 e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ 另解： e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) | = | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。 解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以 ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字 x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086 解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。 4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。 解：| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？ 解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈78327.982所引起。记 x = 27.982，783?=x δ。则利用理论准确成立的递推式 y n = y n-1 – 783/ 100 和实际计算中递推式 Y n = Y n-1 – x / 100 (Y 0 = y 0) 两式相减，得 e ( Y n ) = Y n – y n = Y n-1 – y n-1 – ( x – 783)/ 100 所以，有 e ( Y n ) = e ( Y n-1) – δ / 100 利用上式求和 δ?=∑∑=?=100111001)()(n n n n Y e Y e 化简，得 e ( Y 100) = e ( Y 0) – δ = δ 所以，计算y 100 的误差界为 4100105001.05.0)(?×=×=≤δεY 6 求方程 x 2 – 56x + 1 = 0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D=ac b 42 ?至少要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D 又应该取几位有效数字？ 解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故D=4562?≈55.96427，取七位有效数字。 数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4; ()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--= =-+-----= =------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 1 4(1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1）0 ()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） 0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n k n j j j L x x l x ==∑。 插值余项为(1)1()()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤Q (1)()0()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0 ()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 000(2)()() (())()()(())n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 0()n k i j j j x l x x ==∑ 0()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10101010()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0 ()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2 f x f x x x x x ''∴=-- 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试 指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的 绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数 字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度, 02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 20000112111 2 1 ()(,,,,)11 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x ----== 证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- . 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值. 习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14 r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15 r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211 101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137 e x π=-=-=-≈-L L 相对误差： 数值分析复习题 一、填空 Chapter1 绪论 近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时，其有效数字有 4 位， 已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值12 10.10(0)s n x a a a a =?≠的绝对误差为 1 x*-x 102s t -≤ ?。 设 2.40315x * =是真值 2.40194x =的近似值，则x * 有 3 位有效数字。 设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44 11 1010224--?=?? ，其绝对误差限是4 1 102-?。 当x 很大时，为防止损失有效数字，应该使 = 。 Chapter2 插值方法 设642 ()3651f x x x x =+-+，则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。 若 42 f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。 对 32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。 设 643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。 已知y=f(x)的均差 021[,,]5f x x x =, 402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14， f[x0, x3, x2]=8 ,.那么 均差f[x4, x2, x0]= 9 。（交换不变性） 设有数据112 032 x y -则其 2 次 Larange 插值多项式为 32 (1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-，2次拟合多项式为 （最佳平方逼近可求）。？？？ 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为 ()k l x ( k =0,1,2,…,n)，则 n k k=0 kl (x)= ∑ x 。？？（注： k y k =，则有拉格朗日插值公式：数值分析课后题答案
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