四边形的证明和计算
四边形的证明和计算
1使学生牢固掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯
形的定义、性质定理和判定定理，掌握它们之间的内在联系， 并能应用这些知识去分析和解决问题。
2、通过复习提高学生逻辑推理论证的能力，发展学生数学思维 的技能，进
一步激励学生自我提高的动机。关注中考中不断出 现的以特殊四边形为背景设计与三角形、相似形、圆、方程、 函数等相结合的综合题
3、如何挖掘隐含条件，合理添加辅助线，转化矛盾解决问题。
平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质定理、 判定定
理的综合应用和综合思维、分析思维以及逻辑表达能力的 培养。 要善于多角度寻求解决问题的途经，
筛选简捷的解法、积累解决
问题的策略.
教学过程:
学生整理有关平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性
质定理和判定定理，掌握它们之间的内在联系，初步形成这些知识的网络结 构。为下面的复习做好准备。
几何证明题:
ABCD 中, AD / BC AB= DC 过点 D 作 DEI BC 垂 使
EF = DE 联结 BF CD AC
(2) 如果D E = BE- CE 求证四边形 ABFC 是矩形.
(3)只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形.请你至少写出两种不同
C
图形改为:
C
教学目标： 教学重点： 教学难点: 例1 :如图，在梯形 足为
E,并延长DE 至F , (1) 求证：四边形
ABF (是平行四边形;
的添加方法.
展示2011年中考23题，体现四边形在中考中的重要作用，
学生独立完
成，教师巡视指导，学生交流方法，师生共同归纳考点，教师给予方法点析
例2.如图，在△ ABC 中，AB=AC D 是BC 的中点，DEI AB DF 丄AC 垂足分 别为E 、F. ⑴求证：DE=DF
(2)只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形.请你至少写出两种不同 的添加方
法.(不另外添加辅助线，无需证明
)
本题较为简单，意在顾及绝大多数学生， 减 少对几何的畏惧心理， 口答完成，提高积极 性，复习判定方法
巩固训练：1.如图，平行四边形 ABCD 勺对角线AC 的垂直平分线与 AD
BC 分别交于E 、F ,
求证：四边形AFCE 是菱形
分析：由于四边形AFCE 的对角线互相垂直，那么只需证明对角线互相平 分即可，故只需证 OE=OF 而这可由证明△ AOE^A COF 得到。 证：(略)
说明：解决此题的关键是要准确理解题意，
一种方法证完后还可问学生， 思维。
分层提高题：2.已知：如图，在菱形 ABCD^，点E 在对角线 AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB EF 与CD 相交于点 G
(1)证：EG GF CG GD ;
EF 是线段AC 的垂直平分线。另
还有其他方法吗？注重一题多解，
激活学生的
学生独立完成，学生板书
(2):联结DF 如果EF 丄CD 那么/ FDC 与/ ADC 之间有怎样的数量 关系？证明你
所得到的结论.
二、计算综合题
1如图,已知 =ABCD 的周长为 题,
并进行解答.
40,高AE=6,高AF=9,试根据条件设计一个问
分析： 答案不唯一，女口：已知G ABCD 勺周 长和
边上的高，会想到平行四边形的面积， 而平行四边形的面积要涉及底和高，所以可 以设计求平行四边形的边长。
解：设计的问题可以是：求
AB BC 的长。
S=BC*AE=CD*AF
BC=3
CD
2
分层提高 2 如图 27-4，在？ABCDK AB= 3 , AD= 4 , / 的中点E 作EF 丄AB 垂足为点F ,与DC 的延长线相交于点 积是 .
因为G ABCD 的面积 所以6BC=9CD 因此
ABC= 60°,过 BC H,则^ DEF 的面
n
考中点基本图形，特殊 直
角三角形的边长计算，三角形面积计算，可作为课外练习用。
3、动手操作：在一张长 12 cm ,宽8 cm 的矩形纸片内，要折出一个菱 形.小颖同
学按照取两组对边中点的方法折出菱形
EFGH 见方案一），小明
同学沿矩形的对角线 AC 折出/ CAE=/ CAD / ACF=/ ACB 勺方法得到菱形 AECF 见方案二）.
（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？
口答判定方法，第二问涉及菱形的两个面积公式，
提问梯形的两个面积公式
⑵ 请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大?
压轴提高题
3.如图，正方形 ABCDK AB =1,点
足为E,
EF 丄BE 与射线DC 交于点F.
11
D A
G
' * * \ F ■
*
C
B
■
f \
_____________ h ___________________________________ 3
T7
B （方案一）
（方案二）
P 是射线DA 上的一动点， DE 丄CP 垂
C
（1） 若点P 在边DA 上（与点D 点A 不重合）.
① 求证：△ DEF^A CEB
② 设AP=x , DF =y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数定义域;
（2） 当 S BEC 4S EFC 时，求 AP 的长.
3.下列命题正确的是（ ）
两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形。
两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形。 两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形。
两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形。
4. 在平行四边形 ABCD 中,对角线ACBD 相交于点0,若BD 与 AC 的和为18cm,
关注中考中不断出现的以特殊四边形为背景设计与三角形、相似形、圆、
方程、函数等相结合的综合题， 通过解题要善于总结反思， 一般的关系，注意方程思想、对称思想以及转化思想的渗透。 强调规范性和准确性。 正确认识特殊与 综合题的书写
作业设计： 一、选择题：
1?如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 角形的对数是（
）
1对 B 、2对 C 、3对 D
AC BD 相交于点
A 、 2. A 、 下列能判定四边形为平行四边形的是（ 两组角相等的四边形。
B 一组对边相等一组
对角线相等的四边形。 边形。
、对角线平分的四边形。 、两组对边分别相等的四
A
、
B C
、 D
0,则图中全等三
CD DA=2 3, △ AOB的周长为13cm,那么BC的长为（
）
C
A、6cm B 、9cm 、3cm 、12cm
5.如图，在菱形
A、73 : 2 B
ABCD中，若/ ADC=120度, 、
73 : 3 C、1 : 2 D、
则BD
“:
AC等于（）
6.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在度，
则/ DAE等于（）
A、15 度B
A
BC边上的F点，如果/ BAF=60
二填空题：
7.平行四边形的各内角平分线围成一个四边形，则这个四边形的形状是
O
8.对角线相等且互相垂直平分的四边形为_ ______ ，对角线互相垂直的矩形是___________ O
9.__________________________________________________ 菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为____________________________ o
10.已知平行四边形ABCD中，E是AB的中点，AB=10 , AC=9 , DE=12 ,
则平行四边形ABCD的面积= ____________ O
11.已知菱形ABCD中，AE丄BC, AF丄CD，垂足E、F分别为BC、CD的
中点，那么/ EAF的度数为__________
12.在矩形ABCD中，对角线AC、
1
如果/ CDE= —/ ADE , DE=3cm ,
3
13.若平行四边形的一边长为8cm,
，对角线相等的菱形是
O
BD相交于点0, ED丄AC,垂足为E,
那么AC=
一条对角线长6cm，则另一条对角线长x
的取值范围是 _________ 。
14.以正方形ABCD边AB为边作等边△ ABE , (1)当点E在正方形内部时,
则/ DEC= _____ ; (2)当点E在正方形外时，则/ DEC= ___________ 。
三、简答题：
15.如图，过平行四边形ABCD的四个顶点，分别向两条对角线引垂线，垂足为E、H、
G、F。求证：四边形EFGH是平行四边形。
16.如图，正方形ABCD中，AB=2，点E、F分别在BC、CD上，且CE=CF,
△ AEF的面积等于1,求EF的长。
17. (2008上海)如图11，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，于点0，
E是BD延长线上的点，且△ ACE是等边三角形.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AED 2 EAD，求证：四边形ABCD是正方形.