概率论与数理统计测试题及答案1

概率论与数理统计测试题

一、填空题(每小题3分，共15分)

1．将3个小球随机地放到3个盒子中去，每个盒子都有1个小球的概率为__________. 2．设A ，B 是两事件，()1/4,(|)1/3P A P B A ==，则()P AB =__________.

3．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和是5，则其中有一颗是1点的概率是__________.

4．设随机变量X 的分布函数为0,1()ln ,11,x F x x x e x e

=≤

，则X 的概率密度为__________.

5．设总体X~U[0，1]，123,,X X X 是其一个样本，则123{max(,,)1/2}P X X X <=__________. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设两事件A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则( )正确. （A ）A B 与互不相容; （B ）()()()P A B P A P B =; （C ）()()()P AB P A P B =; （D ）()().P A B P A -=

2．一种零件的加工由两道工序完成，第一道工序、第二道工序的废品率分别为p ，q ，设两道工序的工作是独立的，则该零件的合格品率是 ( )

（A ）1p q --；(B) 1pq -； (C) 1p q pq --+；(D) (1)(1)p q -+-. 3．设~(),X t n 则2

X 服从 ( )分布

(A) 2

()n χ； （B ）(1,)F n ； （C ）(,1)F n ； （D ）(1,1)F n -. 4．设随机变量X 与Y 的协方差(,)0,Cov X Y =则下列结论正确的是 ( ) (A) X 与Y 独立； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+; （C ）()()()D X Y D X D Y -=-； (D) ()()()D XY D X D Y =

5.设12,,

,n X X X 为来自正态总体2

(,)N μσ的一个样本，2

2

1

1,(())1n i

i X S X X n ==--∑分别为样本均值和样本方差，则下面结论中不正确的是 ( ) (A)2

~(,

);X N n

σμ(B)22();E S σ=(C)22();1

n

E S n σ=

- (D)222(1)/~(1).n S n σχ--

三、解答题（6个小题，共60分） 1．（10分）设一仓库中有10箱同样规格产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱产品中任取一箱，再从该箱中任取一件产品.(1)求取到的产品为废品的概率；(2)若已知取到的产品为废品，求该废品是由甲厂生产的概率. 2．（10分）对一批次品率为0.1的产品进行重复抽样检查，现抽取3件产品，以X 表示抽取的3件产品中次品的件数，试求（1）X 的分布律；（2）至少有一件是次品的概率.

3．（12分）设连续型随机变量X 的概率密度为sin ,0()0,a x x f x π<

，

其它求：（1）系数a ; (2) 分布函数();(3){/4/2}F x P X ππ<<. 4．（8分）设二维随机变量(,)X Y 的分布律为

求X 与Y 的协方差Cov （X ，Y ）及P{X +Y 1}. 5．（10分）设随机变量(X,Y)的概率密度为 6,01

(,)0,y y x f x y <<

?

其它 （1）试求关于X 及Y 的边缘概率密度；（2）判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由.

6．（10分）设总体X 的概率密度为(1),01

(;)0

,x x f x θθθ?+<<=??其它，其中(1)θθ>-是未知

参数，12,,

,n X X X 是X 的样本，求参数 的矩估计量与最大似然估计量.

四、证明题（2个小题，共10分）

1． （5分）设随机变量X ～N （0，1），证明随机变量(0)Y X σμσ=+>～2

(,)N μσ.

2．（5分）设4321,,,X X X X 是来自总体N(,2

σ)的样本，证明22

12342

()()2X X X X Y σ

-+-= 服从2

χ分布，并写出自由度.

Y X 0 1

0 1

0.3 0.2

0.4 0.1

一、填空题(每小题3分，共15分) 1．2/9；2．1/12；3．1/2；4． 1/,1()0,x x e

f x <

?其它

；5．1/8.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．（D ）2． (C)；3．（B ）；4．（B ）；5. (C). 三、解答题（6个小题，共60分）

1．（10分）解： 123,,A A A 分别表示取得产品是甲、乙、丙厂生产的，B 表示取出的产品为废品，

P(A 1)=0.5，P(A 2)=0.3，P(A 3)=0.2，P(B|A 1)=0.1，P(B|A 2)=0.2，P(B|A 3)=0.3 (3)

分

(1)

P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)+P(A 3)P(B|A 3) ………5分

=0.50.1+0.30.2+0.20.3=0.17

………7分

(2)111()(|)0.50.15

(|)0.29()0.1717

P A P B A P A B P B ?=

=== (1)

0分

2．（10分）解：

(1) X ～b(3，0.1)， 33{}0.10.9(0,1,2,3)k k k P X k C k -=== (3)

分

X

0 1 2 3 p 0.729 0.243 0.027

0.001

………

7分

(2)P{X 1}=1

－

P{X=0}=0.271 ………10分 3．（12分）解：

（1）0

1

sin 1;2

a xdx a π

=?=

?

………3分

（2）()()x

F x f t dt -∞

=?

(6)

分

00,01

sin ,02

x x tdt x x ππ≤???=<≤??

>???1

,0

,01cos ,02x x x x ππ≤??-?

=<≤?

?>??1, ………10分

24

12

(3){/4/2}sin .24P X xdx π

πππ<<==? (12)

分

4．（8分）解： E （X ）＝0.5，E （Y ）＝0.3，E （XY ）＝0.1 ………4分

Cov （X ，Y ）＝E （XY ）－E （X ）E （Y ）＝－0.05 ………6分 P{X +Y 1}=0.2＋0.4＋0.1=0.7 ………8分

5．（10分）解： （1）()(,)X f x f x y dy ∞

-∞

=

?

06,010

,x

ydy x ?<

0,x x ?<<=??其它 ………4分

()(,)Y f y f x y dx ∞

-∞

=?

16,010

,y ydx y ?<

=????其它6(1),01

0,y y y -<

（2）X 与Y 不相互独立，因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠ ………10分 6．（10分）解 （1）矩估计量

1

10

1

()(1)2

E X x x dx θθμθθ+==?+=

+? ………3分 1

1121μθμ-?=

-12?1

X X θ

-?=- ………5分 (2) 最大似然估计量 对于给定样本值12,,

,,n x x x 似然函数为

1

1

()(;)(1)n

n

i i i i L f x x θθθθ====+∏∏12

(1)(),01n n i x x x x θθ=+<< ………7分

1

()ln(1)ln n

i i lnL n x θθθ==++∑，1()ln 01n

i i d n

lnL x d θθθ==+=+∑ ………8分

1

1

ln ?ln n

i

i n

i

i n x x

θ

==+?=-∑∑，最大似然估计量为1

1

ln ?ln n

i

i n

i

i n X X

θ

==+=-∑∑ ………10分

四、证明题（2个小题，共10分） 1．证明 ：X

的概率密度为22

(),x X f x -

=

………1分

函数,0,(,)y x y y σμσ'=+=>∈-∞∞，1

(),(),y x h y h y μ

σσ

-'=

==

………3分

22

()22()[()]|()|~(,).y u Y X f y f h y h y Y N σμσ--

'==

? ………5分

2

．证明：2

12~(0,2)~(0,1),X X N N σ-?

~(0,1),N ………2分

两者独立 ………4分

因此 222

12342

()()~(2)2X X X X Y χσ

-+-= ………5分