湖北省囊樊市2010年3月高三调研统一测试理科数学

湖北省囊樊市2010年3月高三调研统一测试

数 学 试 题（理）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。 1．复数i

i

--13等于 （ ）

A ．1+2i

B ．1-2i

C ．2+i

D ．2-i 2．满足条件}3,2,1,0{}2,1,0{= A 的所有集合A 的个数是 （ ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．16 3．抛物线24x y =的焦点坐标为

（ ）

A ．（1，0）

B ．)161

,

0( C ．（0，1）

D ．（0,8

1）

4．偶函数)(x f 在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且满足0)()0(

5．某班要从6名同学中选出4人参加校运动会的4×100m 接力比赛，其中甲、乙两名运动员必

须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法共有（ ） A ．24种 B ．72种 C ．144种 D ．360种 6．设m 、n 是平面α内的两条不同直线，21,l l 是平面β内两条两相交直线，则βα⊥的一个充

分不必要条件是

（ ）

A ．n l m l ⊥⊥11,

B ．21,l m l m ⊥⊥

C ．21,l n l m ⊥⊥

D ．n l n m ⊥1,//

7．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数。给出下列

函数： ①;cos sin )(x x x f +=

②);cos (sin 2)(x x x f += ③;sin )(x x f =

④2sin 2)(+=x x f

其中“互为生成”函数的是

（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．①④

D ．③④

8．若函数)(x f 的导函数,34)('2

+-=x x x f 则函数)1(+x f 的单调递减区间是 （ ）

A ．（2，4）

B ．（-3，-1）

C ．（1，3）

D ．（0，2）

9．设O 为坐标原点，点M 坐标为（2，1），若点),(y x N 满足不等式组：??

?

??≥≤-+≤+-101220

34x y x y x ，则

使ON OM ?取得最大值的点N 的个数是

（ ）

A ．无数个

B ．1

C ．2

D ．3

10．在平面直角坐标系中，定义)(*11N n x y y x y x n

n n n

n n ∈??

?+=-=++为点),(n n n y x P 到点),(111+++n n n y x P 的

一个变换，我们把它称为点变换，已知P 1（0，1），P 222(,),(,),n n n x y P x y

111(,)n n n P x y +++)(*N x ∈是经过点变换得到的一列点。设||1+=n n n P P a ，数列}{n a 的前n 项

和为n

n

n n a S S ∞→lim

,那么的值为

（ ）

A ．2

B ．22-

C ．21+

D ．22+

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题卷相应位置上。 11．已知等差数列}{n a 中，若==+7113,22a a a 则 。 12．若)1,()11(2>∈-

n N n x n 的展开式中4-x 的系数为n

a ，则)111(lim 32n

n a a a +++∞→ = 。

13．函数)0,0)(sin()(>>+=ω?ωA x A x f 的部分图像如

图所示，则+++)3()2()1(f f f )2010

(f 的值为 。

14．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且2

2

=

EF 。现有如下四个结论： ①;BE AC ⊥

②EF//平面ABCD ；

③三棱锥A —BEF 的体积为定值； ④异面直线AE 、BF 所成的角为定值。 其中正确结论的序号是 。

15．在平面向量中有如下定理：设点O 、P 、Q 、R 为同一平面内的点，则P 、Q 、R 三点共线的充

要条件是：存在实数t ，使t t +-=)1(。试利用该定理解答下列问题： 如图，在ABC ?中，点E 为AB 边的中点，点F 在AC 边上，

且CF=2FA ，BF 交CE 于点M ，设AF y AE x AM +=， 则y x += 。

三、解答题：本大题共6小题，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本大题满分12分）

已知函数)()(',cos sin )(x f x f x x x f 是+=的导函数。

（1）求函数2)]([)(')()(x f x f x f x F +=的最大值和最小正周期；

（2）若x

x x x x f x f cos sin cos sin 1),('2)(2

2-+=求的值。 17．（本大题满分12分）

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）

分成六段[)[)[)100,90,,60.50,50,40 后得到如下部分频率分布直方图。观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求分数在[)80,70内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均

分； （3）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[)60,40记0分，在[)80,60记1分，

在[)100,80记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望。

18．（本大题满分12分）

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ，且PA=AB ，

点E 是PD 的中点。 （1）证明：AC ⊥PB ；

（2）证明：PB//平面AEC ；

（3）求二面角E —AC —B 的大小。

19．（本大题共12分）

直角三角形ABC 中，?=∠90C ，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，BD=3DC ，

ABC ?的周长为12。若一双曲线E 以 B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点。 （1）求双曲线E 的方程；

（2）若一过点P （3，0）的直线l 与双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且

λ=，问在x 轴上是否存在定点G ，使)(λ-⊥？若存在，求出所

有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由。

20．（本大题满分13分）

已知函数??

???>-≤+=010

31)(2

3x e x mx x x f x

（1）讨论函数)(x f 的极值情况；

（2）设,0),1ln()(21时当>>+=x x x x g 试比较及与)()(2121x x g x x f -- )()(21x g x g -三者的大小；并说明理由。 21．（本大题满分14分）

已知数列).2(2,2}{1121≥+===-+n a a a a a a n n n n 满足 （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）当;31

11:

,221<+++≥n

a a a n 求证时 （3）若函数))(()]([)1(,)1(:)(*

2

1N n n f n f n f a f x f ∈+=+=满足，求证： ∑

=<+n

k k f 1

.2

1

1)(1

参考答案

一、选择题：CCBCB BCDAD

二、填空题：11．11 12．2 13

．2+ 14．3

8

a 15．75

三、解答题 16．（1）解：()cos sin f x x x '=-，

2分

∴()cos 2sin 21)14

F x x x x π

=++++

4分 当22()4

2

8

x k x k k Z π

π

π

ππ+

=+

?=+

∈

时，max [()]1F x

6分 最小正周期为22

T π

π=

= 8分

（2）解：由()2()f x f x '=得：1sin cos 2cos 2sin tan 3

x x x x x +--?= 10分

∴222222

1sin 2sin cos 2tan 111

1tan 6sin cos cos sin cos x x x x x cox x x x x x x

+++===---； 12分

17．（1）解：设分数在[)80,70内的频率为x ，根据频率 分

布直方图，有

（0.01 + 0.015×2 + 0.025 + 0.005）×10 + x = 1， 可得x = 0.3，所以频率分布直方图如右图所示 4分（求解频率3分，画图1分） （2）解：平均分为：

450.1550.15650.15750.3x =?+?+?+? 850.25950.7571+?+?= 7分

（3）解：学生成绩在[)60,40的有0.25×60 = 15人，在[)80,60的有0.45×60 = 27人，在

[)100.,80的有0.3×60 = 18人，

ξ的可能取值是0，1，2，3，4

8分

则2152607(0)118C P C ξ===，1115272

6027

(1)118

C C P C ξ===， 1121518272

60207

(2)590

C C C P C ξ+===， 1127182

6081(3)295C C P C ξ===，2

1826051

(4)590

C P C ξ=== 所以ξ的分布列为

11分

727207815101234 2.1118118590295590

E ξ=?

+?+?+?+?= 12分

18．（1）证：∵PA ⊥平面ABCD ，AC 在平面ABCD 内，∴AC ⊥PA

又AC ⊥AB ，PA ∩AB = A ，∴AC ⊥平面PAB 2分

又PB 在平面PAB 内，∴AC ⊥PB

4分 （2）证：连结BD ，与AC 相交于O ，连结EO

∵ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点 5分

又E 为PD 中点，∴PB ∥EO 6分

又PB 在平面AEC 外，EO 在AEC 平面内，∴PB ∥ 平面AEC 8分

（3）解：过O 作FG ∥AB ，交AD 于F ，交BC 于G ，

则F 为AD 中点 ∵AB ⊥AC ，∴OG ⊥AC

又由（1）（2）知，AC ⊥PB ，EO ∥PB ， ∴AC ⊥EO

10分

∴∠EOG 是二面角E －AC －B 的平面角 连结EF ，在△EFO 中，12EF PA =

，1

2

FO AB = 又PA = AB ，EF ⊥FO ，∴∠EOF = 45°

∴∠EOG = 135°，即二面角E －AC －B 的大小为135°． 12分

19．（1）解：设双曲线E 的方程为22

221(00)y x a b a b

-=>>，

， 则B （－c ，0），D （a ，0），C （c ，0）． 由BD = 3DC ，得3()c a c a +=-，即2c a =

∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ?-=?

+=-??-=?

2分

解之得1a =

，∴2,c b ==∴双曲线E 的方程为2

2

13

y x -=．

4分

（2）解：设在x 轴上存在定点G （t ，0），使()BC GM GN λ⊥-

．

当l ⊥x 轴时，由MP PN λ= ，得1λ=，这时GM GN GM GN MN λ-=-= ，显然BC BC ⊥

当l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2） 由MP PN λ= ，得：11112222

3(3)(3)3x y

x y x y x y λλ---=-?=

=--，， 6分

∵(40)BC = ，，1212()GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-

，， ∴()BC GM GN λ⊥- 12()x t x t λ?-=-，故11

2233x t x x t x --=-- 即12122(3)()60x x t x x t -++-= ①

8分

由2233(3)

x y y k x ?-=?=-?得：2222(3)6930k x k x k -+--= 其中230k -≠且0?>

，即2k ≠2830k +>

22121222

693

33k k x x x x k k ---+==

--， 10分

代入①，得：22226(3)1866033t k k t k k +--++=--，化简得：1

3

t =

． 因此，在x 轴上存在定点1

(0)3

G ，，使()BC GM GN λ⊥- ．

12分

20． （1）解：当x > 0时，f （x ） = e x

– 1在（0，+∞）单调递增，且f （x ） > 0；

当x ≤0时，2()2f x x mx '=+．

①若m = 0，f ′（x ） = x 2≥0, f （x ） =313

x 在（–∞，0）上单调递增，且31

()03f x x =≤．

又f （0） = 0，∴f （x ）在R 上是增函数，无极植；

②若m < 0，f ′（x ） = x （x + 2m ） >0，则f （x ） =321

3

x mx +在（–∞，0）单调递

增，同①可知f （x ）在R 上也是增函数，无极值； 4分 ③若m > 0，f （x ）在（–∞，–2m ）上单调递增，在（–2m ，0）单调递减，

又f （x ）在（0, +∞）上递增，故f （x ）有极小值f （0） = 0，f （x ）有极大值34(2)3

f m m -=．

6分 （2）解：当x > 0时，先比较e x

– 1与ln （x + 1）的大小，

设h （x ） = e x

– 1–ln （x + 1） （x >0）

h ′（x ） =1

01

x e x -

>+恒成立 ∴h （x ）在（0，+∞）是增函数，h （x ） > h （0） = 0 ∴e x

– 1–ln （x + 1） > 0即e x

– 1 > ln （x + 1） 也就是f （x ） > g （x ） ，对任意x > 0成立． 故当x 1 – x 2 > 0时，f （x 1 – x 2） > g （x 1 – x 2）

10分

再比较1212()ln(1)g x x x x -=-+与g （x 1）–g （x 2）= ln （x 1 + 1）–ln （x 2 + 1）的大小． 1212()[()()]g x x g x g x ---=1212ln(1)ln(1)ln(1)x x x x -+-+++

=12221211(1)(1)()

ln

ln(1]011

x x x x x x x x -++-=+>++

∴g （x 1 – x 2） > g （x 1） –g （x 2）

∴f （x 1 – x 2）> g （x 1 – x 2） > g （x 1） –g （x 2） ． 13分

21．（1）解：∵ 112n n n a a a +-=+，∴112()(2)n n n n a a a a n +-+=+≥

∴1{}n n a a ++是以2为公比，124a a +=为首项的等比数列 故112n n n a a +++= ①

2分 又由112n n n a a a +-=+得：112(2)(2)n n n n a a a a n +--=--≥ ∴1{2}n n a a +-是以－1为公比，2122a a -=-为首项的等比数列 故122(1)n n n a a +-=?- ②

4分

①－②得：32[2(1)]n n n a =-- （n ≥2） 又a 1 = 2也适合上式 ∴所求通项为2[2(1)]3

n

n n a =

-- 6分

（2）解：当n 为偶数时，1

111111311322()2221212221

n n n n n n n n n a a -----++=+=?+-?+- 111322311

()(2)222222

n n n n n n n ---+

∴

21211131113(1)3322222

n n n a a a +++<++++=-< 8分

当n 为奇数时，2[2(1)]03n

n n a =

-->，∴10n a +>，又n + 1为偶数 ∴由（1）知，

1212111111113n n n a a a a a a a +++<++++< 10分

（3）证：∵2(1)()[()]0f n f n f n +-=≥

∴(1)()f n f n +≥，由此得：(1)()(1)(1)20f n f n f n f +-=> ≥≥≥

又211111

(1)()[()1]()()1[()]()f n f n f n f n f n f n f n ===-++++

∴

111

()1()(1)

f n f n f n =-++

12分

故1

1111111

[][][]()1(1)(2)(2)(3)()(1)

n

k f k f f f f f n f n ==-+-++-++∑

1111(1)(1)(1)2

f f n f =

-<=+ 14分