第三章学习小结

第三章学习小结

1.本章学习体会：（1）通过本章的学习，懂得了怎样计算矩阵的特征值与特征向量，和在matlab 上怎样编程实现他们的计算。

（2）求特征值及其特征向量的方法有直接计算法，幂法和反幂法，jacobi 方法，QR 方法等。

迭代法常用的有雅克比迭代法，QR 方法等。

其中个人认为QR 方法是重点，需要经常练习，还有应该熟悉matlab 上的程序，以备日后使用。

2．本章知识梳理：本章为矩阵特征值与特征向量的计算，分为三节3.1幂法与反幂法3.2Jacobi 方法3.3QR 方法。

其中最重要的是第一节幂法与反幂法，

3.1幂法与反幂法：

3.1.1幂法：幂法主要用于计算矩阵的按为最大的特征值和相应的特征向量。

基本思想是任取一n 维向量0u ，递推公式1-=k k Au u （k=1,2，…）。

可得:

])(...)([ (1)

2122111021n k n n k k k k k k x x x u A Au Au u λλαλλααλ+++=====-- 当k 充分大时，有111u x k k αλ≈因为矩阵的特征向量与任何一个非零常

数相乘之后仍是该矩阵的属于同一个特征值的特征向量，所以当k 充分大时有公式产生的k u 可近似地作为矩阵A 的属于1λ的特征向量。

当矩阵A 没有n 个线性无关的特征向量，幂法仍然可以使用，但收

敛速度特别慢，应改用其他方法。

幂法和反幂法也有一定的局限性，由于幂法和反幂法的迭代是否收敛依赖于特征值的分布情况，因此实际使用时很不方便，特别是不适合于自动计算。只在矩阵阶数非常高，无法利用其他更有效的算法时，才用幂法计算按模最大的特征值和相应的特征向量，而用反幂法计算按模最小的特征值和相应的特征向量。

3.2 Jacobi方法

雅克比是一种用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法。经典的雅克比方法每次迭代都是把按模最大的主对角元素最为消元对象。这个方法具有较强的数值稳定性，结果的精度一般较高，求得的特征向量正交性较好。其缺点是不能利用矩阵的各种特殊形状以节省计算工作量。

3.3QR方法

3.3．1 矩阵的QR分解

3.3.2 矩阵的拟上三角化。

3.3.3带双步位移的QR方法

3. 本章思考题：

幂法和反幂法，雅克比方法，QR方法各自的优缺点。

答：幂法和反幂法的迭代是否收敛依赖于特征值的分布情况，实际使用不方便，只有当阶数很高无法利用其他算法时才用。雅克比方法的数值稳定性好，精度高，但是不能有效利用矩阵的各种特殊形状以节省计算工作量。绝对值较小的特征值计算时精度差一些。

4. 本章测试题：

用反射矩阵对矩阵

A=????

? ??120212020 进行QR 分解。 解：用反射矩阵对A 进行QR 分解。

记),,(A 3211a a a A ==,第一步，求反射阵1H 使1111H e a σ-=，根据1H 的计算公式得

??????????--=1000010101H ，????

??????----==120020212112A H A 第二步，令,)2,2()2(2T a ==求'2H ，使2'22)2(2'2R e a H ∈-=σ，经计算得 ??

????-=707.0707.0707.0707.0'2H 所以

??????????-=707.0707.00707.0707.000012H ，??????????---===707.000707.0828.20212223A H A R 故

????

??????---??????????--==707.000707.0828.20212707.0707.00001707.0707.0021R H H A