动态灰色预测模型及其在变形监测中的应用

XX大学

课程名称《变形监测数据处理》2015年5月11日

评语

动态灰色预测模型及其在变形监测中的应用

1. 引言：

在现代测量工程的实践和科学研究活动中，变形监测占有十分重要的地位。科学、实时、准确地分析和预报建筑物、构筑物的变形有着很重要的意义[5]。

灰色系统理论是20世纪80年代，由中国华中理工大学邓聚龙教授首先提出并创立的一门新兴学科，它是基于数学理论的系统工程学科。主要解决一些包含未知因素的特殊领域的问题，它广泛应用于农业、地质、气象等学科[1]。灰色模型是一种研究所需原始信息量少、计算简单以及预测精度较高的方法,主要通过对部分已知信息的生成,开发,提取有价值的信息,实现对系统运行行为,演化规律的正确描述和有效监控[6]。现常用的是灰色预测模型GM(1, 1),但是该模型只是从静态的角度考虑未来时刻的状态,并未把未来可能影响系统状态的因素加入进去,可称之为静态模型。对于一个系统而言,随着时间的推移,系统受干扰的因素不断变化,系统状态也在不断变化。这时若直接套用GM(1,1)模型进行长期预测,一方面预测精度不断降低,另一方面模型未能反映出系统的变化,其预测可信度很小。因此,必须充分引入已知信息来反映系统的变化和状态,或在无已知信息的情况下,用灰色信息来淡化灰平面的灰度,这种模型由于及时地引入了新的已知信息或灰色信息,能够比较准确地反映系统的变化状况,故称之为动态灰色预测模型[8]。因此,较普通的静态灰色模型来说,动态的新息模型和灰数模型在作长期预测时具有更高的优越性[6]。本文对原有的GM(1, 1)模型进行了改进,在选择求解时采用最新的数据,再采用动态GM(1, 1)模型来进行求解,这样预测所得到的数据与真实数据之间产生了更大的联系。

2. 灰色预测模型的建立 2.1 灰色GM （1，1）模型 设非负离散数列为：

()()()()()()(){}

00001,2,x x x x n =

N 为数列长度。对()0

x 进行一次累加生成，即可得到一个生成序列

()()()()()()(){}

11111,2,x x x x n = ，对此生成序列进行一阶微分方程

()

()1

1dx ax u dt

+?=? （2-1） 记为GM （1，1）.式中，a ? 和u ? 是灰参数，其白化值（灰区间中的一个可能

值）为[]?T

a

a u = 。用最小二乘法求解，得： []()1

?=T

T T N a

a u B B B y -= （2-2） 式中，()()()

()()()()()()

()

()()()()()

1111111211213212

1112

x x x x B x n x n ??-+??

?

???-+??=???

???-+-????

()()()()()()00023N x x y x n ??????

=??

?????? 求出?a

后代入（1-1）式，解出微分方程得 ()()()()10?11ak u u x

k x e a a -?

?+=-+ ??

? （2-3） 对()()1?1x k + 作累减生成（IAGO ），可得还原数据：

()()()()()()011???1=1-x

k x k x k ++ 或

()()()()

()00??1=1-1a ak u x

k e x e a -??+- ??

? （2-4） 式（1-3）、（1-4）两式即为灰色预测的两个基本模型。当kn 时；称()()0?x k 为模型预测值。

2.2 灰色GM （1，1）模型的精度

灰色GM(1, 1)模型的精度一般用后验差方法来检验。它由后验差比值C 和小误差概率P 共同描述。 设由GM （1，1）模型得到：

()()()()()()(){}

0000????1,2,,x

x x x n = 计算残差()()()()()00?e k x k x

k =-1,2,3,,k n =

记原始数列()0

x 及残差数列e 的方差分别为2212,S S ，则

()()()

()2

00

21

1

1n k S x k x n ==-∑ （2-5）

()()22

211n

k S e k e n ==-∑ （2-6）

式中，()

()()0011n k x

x k n ==∑ ；()1

1n

k e e k n ==∑ 然后计算验差比值2

1S C S =

和小误差概率(){}1|e e |0.6745p P k S =-<

一个好的预测模型,要求C 越小越好,一般要求C<0.35,最大不超过0.65。预测模型好坏的另一个指标是小误差概率,一般要求P>0.95,不得小于0.7。

3. 动态灰色预测模型的建立

设原始数列为()()()()()()(){}

0000

1,2,,x x x x n = ，进行一次AGO 生成()1

x 后建

立GM(1,1)模型(2-3)和(2-4),由(2-4)式得到n+1时刻预测值()()0?1x n +。然后去掉()()01x ,加入灰数()()0?1x

n +,重新构成等维动态序列： ()()()()()()()()(){}

000001?2,3,,,1x x x x n x

n =+ (3-1) 建立新的GM （1，1）模型，预测n+2时刻()()0?2x n + ，，依次递补，逐个预测，称为等维灰数递补动态预测。等维灰数递补动态预测由于加入的信息不是实测值,而是预测值,它可以淡化灰平面的灰度,但仍然是灰色的。科学的建模过程应该是,一旦获得n+1时刻的实际观测数据(称为新息),便对原来的GM(1,1)模型

进行一次改进，其方法是在序列中()()()()()()(){}

0000

1,2,,x x x x n = 中去掉()()01x ，

加入()()0?1x

n +,构成新的动态序列：()()()()()()()()(){}

000001?2,3,,,1x x x x n x n =+ ，由于等维新息模型实时引入的是新的观测值,因此真实反映了系统状态的变化,可以有效地提高预报精度。

GM(1,1)模型长期预测的有效性明显受系统时间序列长短及数据变化的影响。如果系统建模选用的数据序列太短,则难以建立长期的预测模型;数据序列过长,系统受干扰的成分多,不稳定因素大,易使模型精度降低。为此,在进行动态预测

的同时,加入等维的约束条件,采用等维动态预测模型来弥补现有灰色模型的不足。

4. 动态灰色预测模型在变形监测中的应用

为了验证实时动态灰色模型进行沉降预测的效果，在此列举一实例，使用原始GM （1，1）模型和动态GM （1，1）模型分别进行预测，比较两个模型预测成果的数值与精度，得出一定的结论。

应用实例：在某超高层建筑物变形的监测中测得的某一个点A 的14期沉降值数据，数据见下表，分别使用原始GM （1，1）模型和动态GM （1，1）模型进行预测：

表（3-1）建筑物监测点A 的10期沉降观测值数据

周期数 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

位移值（mm ） 92.21 92.15 91.86 91.14 90.91 90.34 89.69 89.09 88.76 88.54 周期数 11 12

13

14

位移值（mm ） 88.3

88.18 87.96 87.85

将模型中的k 设置为6,取前6个数据

(){}092.2192.1591.8691.1490.9190.34x =，，，，，建立模型,预测第7个数据,随后将第1个数据去掉,将第7个数据的原始值插入到初始的6个数当中,从而预测第8个数据,如此反复进行,直到求得所要预测的数据为止。

使用MATLAB 进行原始灰色预测值的计算，具体结果见表（3-2）。

计算得出21S =2.62599622=S 0.15211922=S ’0.044763

2

11=

S C S =

0.24

'

221=

S C S =

0.13

小误差概率(){}11|e e |0.6745=p P k S =-< 1

2=p 1

模型精度等级：GM （1，1）=max{P 所在级别，C 所在级别}=优秀

动态GM （1，1）=优秀

具体预测成果绘制成表格如下：

表（3-2）原始GM（1，1）模型和动态GM（1，1）预测成果表

周期实测变形

（mm）原GM（1，1）

（mm）

GM（1，1）

残差（mm）

动态GM（1，1）

（mm）动态GM（1，1）

残差（mm）

1 92.21 92.21 0 92.21 0

2 92.15 92.2 0.05 92.2 0.05

3 91.86 91.7

4 -0.12 91.74 -0.12

4 91.14 91.28 0.14 91.28 0.14

5 90.91 90.82 -0.09 90.82 -0.09

6 90.34 90.3

7 0.03 90.37 0.03

7 89.69 89.92 0.23 89.79 0.1

8 89.09 89.47 0.38 89.54 0.45

9 88.76 89.02 0.26 89.21 0.45

10 88.54 88.58 0.04 88.93 0.39

11 88.3 88.13 -0.17 88.53 0.23

12 88.18 87.69 -0.49 88.27 0.09

13 87.96 87.26 -0.7 87.93 -0.03

14 87.85 86.82 -1.03 87.61 -0.24 Word绘制残差曲线如下：

图（3-1）残差曲线

图（3-2）A点沉降量曲线图

由表（3-2）可知：在用原始GM(1,1)模型进行长期预测时,预测值的灰区间过大,精度随时间的延伸也逐渐降低,其主要原因是在模型应用过程中灰参数是静态的、固定的,忽视了其具动态变化的特征。对一个系统来说,随时间的推移,未来的一些扰动因素将不断进入系统而对其施加影响,用之进行长期预测必然会产生较大的偏差。真正具有实际意义的、精度较高的预测值,仅仅是最近的一两个数据,其他远的数据仅反映一种趋势。

而动态GM（1，1）模型可以实时地加入新的信息,淘汰旧的信息,不仅可以突出系统最新的变化趋势,而且可以消除预测模型的噪声污染,对预测精度的提高也具有较好的作用。

5.结语：

经过本文的实力验证，使用动态灰色GM（1，1）模型可以对变形监测数据进行较为满意的预测，相比原始GM（1，1）预测模型精度有所提高，可为建筑物的安全评判、建筑工程的防灾减灾提供可靠的数据预测，但是其预测周期不能太长，否则其预测结果将偏差较大，失去预测的意义。

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