17-18版 附加题部分 第1章 第57课 课时分层训练1

课时分层训练(一)

A组基础达标

(建议用时：30分钟)

1．标号分别为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个白色小球，C袋中有3个黄色小球，现从中取出两个小球．

(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？

(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？

[解](1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或A，C袋中各取一个或B，C袋中各取一个，所以应有1×2＋1×3＋2×3＝11种取法．

(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个，所以应有1＋3＝4种取法．

2．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：

(1)P可表示平面上多少个不同的点？

(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？

(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？【导学号：62172316】

[解](1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：

第一步确定a的值，共有6种确定方法；

第二步确定b的值，也有6种确定方法．

根据分步计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.

(2)确定第二象限的点，可分两步完成：

第一步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；

第二步确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．

由分步计数原理，得到第二象限点的个数是3×2＝6.

(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．

由(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．

3．在校运动会上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式

共有多少种？

[解]分两步安排这8名运动员．

第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(种)．

第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．

所以安排这8人的方式有24×120＝2 880(种)．

4．如图57-3所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现在要求在其余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择．

图57-3

要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数共有多少种？

[解]将四种颜色编号为①②③④，A有4种涂法，设涂①，B有3种涂法，设涂②，下面分3类：

若C涂①，则D可涂②③④，共3种方法；

若C涂③，则D可涂②④，共2种方法；

若C涂④，则D可涂②③，共2种方法；

于是，不同的涂法为4×3×(3＋2＋2)＝84(种)．

5．(2016·全国卷Ⅱ改编)如图57-4，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径共有多少条？

图57-4

[解]分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路程．

6．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？

[解]由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3种，此时共有6×3＝18种；

第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2种；所以根据分类计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．

B组能力提升

(建议用时：15分钟)

1．有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加．

(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？

(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？

(3)若需老师，男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？

【导学号：62172317】[解](1)只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类各自有3,6,8种方法，总方法数为3＋6＋8＝17(种)．

(2)分两步，先选教师共3种选法，再选学生共6＋8＝14种选法，由分步计数原理知，总方法数为3×14＝42(种)．

(3)教师、男、女同学各一人可分三步，每步方法依次为3,6,8种．由分步计数原理知方法数为3×6×8＝144(种)．

2．为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？

[解]在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C17种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A27种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C37种抽调方法．故共有C17＋A27＋C37＝84种抽调方法．3．将一个四棱锥S-ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？

[解]设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S，A，B染色，有5×4×3＝60(种)染色方法．

由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：

C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)，D应与A(C)，S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种可选择的颜色，D也有2种颜色可供选择．从而对C，D染色有1×3＋2×2＝7(种)染色方法．

由分步计数原理，总的染色方法有60×7＝420(种)．