高三(往届)上学期期中考试(数学试题(文科))
广安二中高三(往)上学期期中考试 数学试题(文科)
一、选择题(每题5
分,共60分)
1、函数
y=sin(2x+3π
)的图象是由函数y=sin2x 的图像 A.向左平移3π
单位
B.向右平移6π
单位
C.向左平移65π
单位
D.向右平移65π
单位
2.已知cosx=54
,则tan2x =
A. 247
B. 247-
C. 724
D.724
±
3.设全集为U ,在下列条件中,是B A ?的充要条件的有 ①A
B A =,②U
C A B φ=,③U U C A C B ?,④U A C B U =,
()A 1个 ()B 2个 ()C 3个
()D 4个
4.在上定义运算,则满足的实数的取值范围为
A 、
B 、
C 、
D 、
5.对函数b ax x x f ++=2
3)(作代换x=g(t),则总不改变f(x)值域的代换是
A
.
t
t g 2
1log )(=
B .
t
t g )21
()(= C .g(t)=(t -1)2 D .g(t)=cost
6.已知正项等差数列{an}的前20项的和为100,那么a7·a14的最大值为
A .25
B .50
C .100
D .不存在
7.函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是
- --- -π
(A) (B) (C) (D)
R ;2a
b ab a b =++()20x
x - 8.在等比数列中,,前项和为.若数列也成等比数列,则等于 A. B. C. D. 9、已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是 A.若α、β是第一象限角,则cos α>cos β B.若α、β是第二象限,则tan α>tan β C.若α、β是第三象限角,则cos α>cos β D.若α、β是第四象限角,则tan α>tan β 10. 已知函数,正实数成公差为正的等差数列,且满足。 若实数d 是方程的一个解,那么下列一定不成立的是 A.; B.; C.; D. 11.已知实数,a b 均不为零,sin cos tan ,,cos sin 6a b b a b a ααπββααα +=-=-且则 等于 A B .3 C . D . 3- 12. 已知定义在R 的函数,满足.,且为奇函数, 若时, , 则使在上的的个数为 A . 501 B .503 C .504 D .502 二.填空题(每题4分,共16分) 13.设a b c ,,均为正数,且122log a a =,121log 2b b ??= ???,21log 2c c ??= ???.则由小到大顺序为c b a ,, . 14.已知函数 ,则 = 15.已知,,a b c 为正整数,方程20ax bx c ++=的两实根为1212,() x x x x ≠,且12||1,||1x x <<,则a b c ++的最小值为____________。 16.给出下列命题: ①在中,角所对的边成比数列,则角的取值范围为 {}n a 21=a n n S {}1+n a n S 22 1 -+n n 3n 213-n x x f x 2log )31 ()(-=c b a ,,0)()()(?c f b f a f 0)(=x f a d ()f x (2)()f x f x +=-()f x 01x ≤≤1()2f x x = 1()2f x =-[]0,2009x ???≤>=)0(2)0(log )(3x x x x f x )] 91([f f ②若非零实数b a ,满足b a >,则b a 11< ;③R x ∈存在,使2cos sin =+x x ; ④对R x ∈任意, 2sin 1 sin ≥+ x x ; 其中为真命题的是 。 广安二中高三(往)上学期期中考试 数学答题卷(文科) 二、填空题 13、 14、 15、 16、 三.解答题:(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本题满分12分) 已知向量a (cos ,sin )x x ωω=,b (cos )x x ωω=,其中02ω<<,设函数 ()f x = a ·b. (1)若函数 ()f x 的周期是2π,求函数 () f x 的单调增区间; (2)若函数() f x 的图象的一条对称轴为 6x π = ,求ω的值。 18.(本题满分12分)设集合,。 (1)当时,求; (2)若,求 的取值范围。 19(本小题满分12分)、在中,分别为角的对边,且满足.(Ⅰ)求角的值;(Ⅱ)若 的大小为的周长为,求的最大值. ABC ?a b c 、 、A B C 、、222b c a bc +-=A a =B ,x ABC ?y ()y f x = 20.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和 1 331 (N ) 2n n S n -*??=?-∈ ? ??,数列 {}n b 满足: 1 31 2 log n n n a b a ++= ()*n N ∈. (1)试求{}n a 的通项公式,并说明{}n a 是否为等比数列; (2)求数列1n b ??????的 前n 项和n T ;(3)求 n b 的最小值. 21.(本题满分12分)定义在R 上的单调函数)(x f 满足)3(f =log 23且对任意x ,y ∈R 都有 )()()(y f x f y x f +=+ (1)求证f (x)为奇函数; (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)<0对任意x ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围. 22.(本题满分14分)已知函数 122)(2-+-= x x x x f ()[]() .2211)2(-≥+-+n n n x f x f x 是正实数,求证: 设 广安二中高三(往)上学期期中考试 数学试卷(文科)答案 二、填空题 13、 a b c << 14、 41 15、 11_ 16、 ①③⑤ 三.解答题:(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).17. 已知向量a (cos ,sin )x x ωω=,b (cos )x x ωω=,其中02ω<<,设函数()f x =a ·b. (1)若函数 ()f x 的周期是2π,求函数 () f x 的单调增区间; (2)若函数() f x 的图象的一条对称轴为 6x π = ,求ω的值。 17. 解:(1) ()f x = a · b (cos ,sin )(cos ,)x x x x ωωωω= 21cos cos (1cos 2)sin 222x x x x x ωωωωω=+= ++ 1 sin(2)62x πω=++ ∵ 周期2T π=,∴ 222π πω =,又02ω<<,故 12ω= 。 ()1 sin()62f x x π=++ , 令 222222 6 2 33k x k k x k π π π ππππππ- ≤+ ≤+ ?- ≤≤+ () 1,10,10)1(+<-++≤< ∴函数 () f x 的单调增区间为 2[2,2]33k k ππππ- +()k Z ∈。 (2)函数 () f x 的图象的一条对称轴为 6x π = , ∴ 231,6 6 2 k k k Z π π π ωπω? + =+ ?=+∈.又02ω<<,∴01k ω==时, 18.(本题满分12分)设集合, 。 (1)当 时,求 ;(2)若 ,求 的取值范围。 18.解:.(1)化简可得,集合A=, 且 , 。 (2)集合 ①当时,,所以 ; ②当 时, ,所以B=,因此,要,则只要 ,所以m 的值不存在; 10分 ③当时, ,因此,要,则只要. 综上所述,知 的取值范围是: 或 19(本小题满分12分)、在中,分别为角的对边,且满足.(Ⅰ)求角的值;(Ⅱ)若 的大小为的周长为,求的最大值. 19解:(Ⅰ)在中,由及余弦定理得 而,则 ; (Ⅱ)由 及正弦定理得 , 而 ,则 ABC ?a b c 、 、A B C 、、222b c a bc +-= A a = B ,x AB C ?y ()y f x =ABC ?222 b c a bc +-=2221 cos 22b c a A bc +-==0A π<<3A π = 3a A π == 2 sin sin sin b c a B C A ====2,3B x C x π==- 于是 由 得,当 即 时, 20.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和 1 331 (N ) 2n n S n -*?? =?-∈ ? ??,数列 {}n b 满足: 1 31 2 log n n n a b a ++= ()*n N ∈. (1)试求{}n a 的通项公式,并说明{}n a 是否为等比数列; (2)求数列1n b ??????的 前n 项和 n T ; (3)求 n b 的最小值. 20.解:(1) 111,3112 n a S ===?-=时- 2n ≥时, 1 2 1 133333222n n n n n n a S S ----?? ?? ??=-=?-?= ? ? ????? ?? 1 2132n n n a -=?? =???≥? ???? n 2 11 1322a -?? =≠ ? ?? {} n a ∴不是等比数列 (2) 131 2 32log n n n n a b a n ++?? ??? = =, 123n n n b ??∴= ??? 2 3 22221233333n n T n ?????? ??=?+?+?+ +? ? ? ? ??????? ?? 2 3 4 1 2222212333333n n T n +???????? ?=?+?+?++? ? ? ? ? ?????? ?? 两式相减:2 3 1 1222223 33333n n n T n +?????????? ?=+++ +- ? ? ? ? ??????????? = 122133222223313n n n n +?? ?? -?? ??? ?????? ??=-- ? ????? - ()26233n n T n ?? ∴=-+ ? ?? 222sin ,2sin( )(0)33 b x c x x ππ==-<<22sin 2sin( ))36y a b c x x x ππ=++=+-=++203x π<<5666x πππ <+<6 2x π π + = 3x π = max y = (3)由(2)知: 132n n b n ??= ???()1 133313222121n n n n n n n b b n n n n ++??????-- ? ? ???????∴-=-= ? ?++?? ??? ()32221n n n n ?? -??= ? ?+???? 所以当2n ≤时有: 10 n n b b +-≤,即 123 b b b >=;当2n >时有: 10 n n b b +->,即 345........ b b b <<<; n b 的最小值为 239 8b b == 21.定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=log 23且对任意x ,y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证f(x)为奇函数; (2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)<0对任意x ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围. (1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x ,y ∈R), ① 令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令y=-x ,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立,所以f(x)是奇函数. (2)解:f(3)=log 23>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R 上是单调函数,所以f(x)在R 上是增函数,又由(1)f(x)是奇函数. f(k ·3x )<-f(3x -9x -2)=f(-3x +9x +2), k ·3x <-3x +9x +2, 3 2x -(1+k)·3x +2>0对任意x ∈R 成立. 令t=3x >0,问题等价于t 2 -(1+k)t+2>0对任意t >0恒成立. R 恒成立. 22.已知函数 122)(2-+-= x x x x f ()[]() 2211)2(-≥+-+n n n x f x f x 是正实数,求证: 设() 1,10,10)1(+<-++≤< 证明:(1) tx tx tx f x x x f 1 )1(11)1()(2+ =+∴-+-= ,21211)1(=?≥+=+ =+∴tx tx tx tx tx tx tx f 当且仅当 1 =tx 时,上式取等号。 2 )1(,110,10>+∴≠∴<<< 2 222222222 2)(2)(2)(2(x t x t x t x t x t x t x t x t s -++=-++--++=-++= 4 4;44,22<=≤≤=≥x s x t t s x t 时当时当 ) 1()1(2+<-+++<≤-++∴tx f x t x t tx f x t x t 即 (2)1=n 时,结论显然成立 当2≥n 时, [].....11)1()1()1()1(22 211+?+?=+ -+=+-+--x x C x x C x x x x x f x f n n n n n n n n n 21 4 2 42 211 1 2 22 11......11----------? +? +++=? +? +n n n n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x C x x C ??????++++++= -------)1(....)1()1(2122 1442221n n n n n n n n n n x x C x x C x x C [] 22...)...(22112 1121-=+++=+++?≥--n n n n n n n n n C C C C C C