2013年北京夏季会考

2013年北京市夏季普通高中会考

数 学 试 卷

第一部分 选择题（每小题3分，共60分）

在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.

1．如果集合{}0,1A =，{}

2

1B x x ==，那么集合A B 等于( )

A ．{1}

B ．{}0,1

C ．{}1,1-

D ．{}1,0,1-

2．不等式 2

2x x >的解集为( )

A ．{}2x x >

B ．{}0x x <

C ．{}02x x <<

D ．{}0,2x x x 或<>

3．如果向量(2,3)OA =- ，(1,2)OB =-

，那么AB 等于( )

A ．(3,5)-

B ．(3,5)-

C ．(1,1)-

D ．(3,5)

4．口袋中装有大小、材质完全相同的红色小球2个、黑色小球1个，现从口袋中随机摸出两个小球，那么恰好摸到1个红色小球和1个黑色小球的概率是( ) A ．16

B ．13

C ．

12

D ．

23

5．如果0x >，那么1

4x x

+

的最小值为( ) A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

6．如果直线20x y +=与直线5y kx =-平行，那么实数k 的值为( )

A ．2

B ． 2-

C ．

12

D ． 12

- 7．在等差数列{

}n a 中，18a =，50a =，那么4S 等于( )

A ．44

B ．40

C ．20

D ．-12

8．在函数cos y x =，y =

e x y =，lg y x =中，偶函数是( )

A ． cos y x =

B ．

y =C ．e x

y =

D ．lg y x =

9．要得到函数π

sin()6

y x =-

的图象，只要将函数sin y x =的图象( ) A ．向左平移

π

6个单位 B ．向右平移

π

6个单位 C ．向左平移π

3

个单位 D ．向右平移

π

3

个单位 10．如图，在三棱锥D ABC -中，点,,E F G 分别在侧棱

,,DA DB DC 上，且平面//EFG 平面ABC . 给出下列三

个结论：①//EF AB ；②//BC 平面EFG ；③//EG 平面ABC ，其中成立的结论的个数是(

)

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

11．已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠在[]1,4上的最大值是2，那么a 等于( )

A ．

14

B ．

12

C ．2

D ．4

12．一个几何体的三视图如右图所示，该几何

体的体积是( )

A ．12

B ．18

C ．24

D ．36

13．在△ABC

中，如果::23AC CB AB =，那么A ∠等于( )

A ．30?

B ． 60?

C ．30?或150?

D ．60?或120?

14．11π3

sin

的值为( )

A

．2

B ．

2

-

C

D

15．函数()sin cos f x x x =的一个单调递增区间可以为( )

A ．2

[0,]π

B ．π[,0]2

-

C ．ππ[,]44

-

D ．ππ[,]22

-

16．当,x y 满足条件 1 , 3 0 , 2 3 0x x y x y ≥≤≤??

+-??--?

时，目标函数z x y =-的最大值是( )

A ．-1

B ．1

C ．2

D ．3

17．为了解某停车场中车辆停放的状况，在工作日

（周一至周五）期间随机选取了一天，对该停车场内的1000辆汽车的停放时间进行了统计分析，绘制出车辆停放时间的频率分布直方图（如图所示），那么这1000辆汽车中停放时间不多于．．．4小时的汽车有( )

A ．700辆

B ．350辆

C ．300辆

D ．70辆

18．在2005年到2010年的“十一五”期间，党中央、国务院坚持优先发展教育，深入实施科

教兴国战略，各种形式的高等教育在校学生总规模由2300万人增加到3105万人. 这五年间年平均增长率x 应满足的关系式是( ) A ．4

2300805x = B ．5

2300805x = C ．42300(1)3105x +=

D ．5

2300(1)3105x +=

19．如果函数12, ,2

()1ln , 2

x a x f x x x ≤?

+??=??>

??恰有一个零点，那么实数a 的取值范围是( )

A ． 0a ≥

B ． 1a <-

C ． 1a ≥-

D ． 0a <

20．已知向量(1,1)=a ，||1OM =

，2ON ?= a ，其中O 为坐标原点，那么MN ? a 的最小值

为( ) A ．

1

B ．

C ．

2-D ． 2

第二部分 非选择题（共40分）

一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 21．经过两点(1,1)A ，(2,3)B 的直线的斜率为 ．

22．已知向量(1,2)=-a ，(2,)k =b ，且2=a b ，那么实数k =_ _. 23．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的S 的值为 . 24．已知数列{}n a 的通项公式为π

sin

2

n n a n =，记前n 项和为n S ，那么2013S = .

二、解答题（共4个小题，共28分） 25.（本小题满分7分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，且AB AC =，D 是BC 的中点.

（Ⅰ）求证：AD ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）求证：1//AC 平面1AB D . 26.（本小题满分7分）已知函数x x x f 2cos 2sin 3)(+=

，

x R ?.

（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；

（Ⅱ）求函数)(x f 在区间π

[0,]2

上的最大值和最小值.

27.（本小题满分7分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点为圆心的圆O 经过点

)01(,A -． （Ⅰ）求圆O 的方程；

（Ⅱ）设M 是直线340x y +-=上的一个动点，ME ,MF 是圆O 的两条切线，切点为

E ,

F ．

(ⅰ) 如果60EMF

?o ，求点M 的横坐标；(ⅱ) 求四边形MEOF 面积的最小值．

28.（本小题满分7分） 设函数1

110()n

n n n f x a x a x

a x a --=++++L ，1110()m m m m g x

b x b x b x b --=++++L ，且

对所有的实数x ，等式[()][()]f g x g f x =都成立，其中0101,,,,,,,n m a a a b b b ?L L R ，

,m n N ?.

（Ⅰ）如果函数2

()2,()f x x g x kx =+=，求实数k 的值；

（Ⅱ）设函数32

()321f x x x =+-，写出满足[()][()]f g x g f x =的两个函数()g x ；

（Ⅲ）如果方程()()f x g x =无实数解，求证：方程[()][()]f f x g g x =无实数解.

2013年北京市夏季普通高中会考

数学试卷答案及评分参考

[说明]

1. 第一部分选择题，机读阅卷.

2. 第二部分包括填空题和解答题. 为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，

考生只要写明主要过程即可. 若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

第一部分 选择题 (共60分)

选择题（每小题3分，共60分）

第二部分 非选择题 (共40分)

一、填空题（每小题3分，共12分）

21. 2 22. 4- 23. 14 24. 1007 二、解答题（共4个小题，共28分）

25.（本小题满分7分）

（Ⅰ）证明：因为 AB AC =，D 是BC 的中点，所以 AD BC ⊥. 因为 1BB ⊥平面ABC ，AD ?平面ABC ，所以 1AD BB ⊥. 因为 1BB BC B = ,所以 AD ⊥平面11BCC B . … 3分 （Ⅱ）证明：如图，连接

1A B ， 设 11AB A B E = ，连接DE .

因为 四边形11ABB A 为矩形，所以 E 为1A B 中点. 因为 在△1A BC 中，D 是BC 的中点，所以 1

//DE AC . 因为 DE ?平面1AB D ，1

AC ?平面1AB D ， 所以 1//AC 平面1AB D . ……………… 7分 26.（本小题满分7分）

（Ⅰ）解：

因为 ()2cos 2f x x x =

+1

2cos 2)2

x x =+ ππ2(sin 2cos cos 2sin )66

x x =+π

2sin(2)6x =+，

所以 函数()f x 的最小正周期2π2π

π||2

T ω=

==. ……………………… 3分 （Ⅱ）解：由 π

[0,]2x ?，可得ππ7π2[,]666

x +

, 所以 1πsin(2)126x ≤≤-+． 所以 π

12sin(2)26

x ≤≤-+． 所以 当π7π266x +=，即π

2x =时，函数()f x 的最小值为1-；

当ππ262x +=，即π

6

x =时，函数()f x 的最大值为2. …………… 7分

27.（本小题满分7分）（Ⅰ）解：

因为 ||1OA =， 所以 圆O 的方程为12

2=+y x ． …… 2分 （Ⅱ）解：(ⅰ)如图，连接OM ，

由题意可知OEM V 为直角三角形. 因为 o

60=∠EMF ，所以 o 30OME ?．

所以 2||2OM OE ==．

因为 M 是直线340x y +-=上的动点， 所以 设点M 的坐标为)43(+-t ,t ．

所以 ||2OM =

.

解得 t =

，或t =

所以 点M 5

6

6+． ……………………………… 4分 (ⅱ)因为 原点O 到直线340x y +-=的距离

d =

=

，

所以 |OM |

OEM V 为直角三角形， 所以 222315

|ME ||OM |=-≥. 所以 |ME |的最小值是

5

15． 因为 Δ1

221||||2

MEO MEOF S S ME ME ==创?四边形，

所以 四边形MEOF 面积的最小值是

5

15

． ……………………… 7分 28.（本小题满分7分）（Ⅰ）解：因为 [()][()]f g x g f x =，

所以 22

()2(2)kx k x +=+，即222

22k x kx k +=+．

因为 上式对所有的实数x 都成立， 所以 2,

22.

k k k ?=?=? 解得1k =. … 2分

（Ⅱ）如32()()321g x f x x x ==+-，()g x x =，符合题意. （答案不唯一） …… 4分 （Ⅲ）证明：设 函数()()()F x f x g x =-， 因为 方程()()f x g x =无实数解，

所以 函数()F x 的图象恒在x 轴上方，或者恒在x 轴下方， 即 对于任意x ∈R ，()0F x >，或者对于任意x ∈R ，()0F x <. ① 当()0F x >时，

因为 [()][()]{[()][()]}{[()][()]}f f x g g x f f x g f x g f x g g x -=-+-

{[()][()]}{[()][()]}f f x g f x f g x g g x =-+- [()][()]0F f x F g x =+>，

所以 此时方程[()][()]f f x g g x =无实数解. ② 当()0F x <时，

同理可证 [()][()]0f f x g g x -<．

所以 此时方程[()][()]f f x g g x =无实数解．

综上，当方程()()f x g x =无实数解时，方程[()][()]f f x g g x =无实数解．… 7分