高一数列专项典型练习题及解析标准答案
一．选择题（共11小题）
1．（2014?天津模拟）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），
且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围（）
A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）
2．（2014?天津）设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）
A．2B．﹣2 C．D．
﹣
3．（2014?河南一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）
A．1B．﹣1 C．2D．
4．（2014?河东区一模）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）
A．5B．6C．7D．8
5．（2014?河西区三模）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）
A．11 B．5C．﹣8 D．﹣11
6．（2014?河西区二模）数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（）
A．B．
C．6D．﹣6
﹣
7．（2014?河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=（）
A．9B．12 C．14 D．18
8．（2013?南开区一模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（）
A．47 B．45 C．38 D．54
9．（2013?天津一模）在等比数列{a n}中，，则a3=（）
A．±9 B．9C．±3 D．3
10．（2012?天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）
A．8B．18 C．26 D．80
11．（2012?天津模拟）在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（）A．20 B．21 C．42 D．84
二．填空题（共7小题）
12．（2014?天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_________．
13．（2014?红桥区二模）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），
等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数
1 5 7 77
2 12 8 96
3 21 12 192
4 32 16 320
5 45 32 1152
6 60 48 2496
则等级为50级需要的天数a50=_________．
14．（2014?郑州模拟）数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7=_________．
15．（2014?厦门一模）已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于_________．
16．（2014?河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=_________．
17．（2014?天津模拟）记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=_________．
18．（2014?北京模拟）设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=_________．
三．解答题（共12小题）
19．（2014?濮阳二模）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和S n．
20．（2014?天津三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．
（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；
（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．
21．（2014?天津模拟）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．
（Ⅰ）求a n与b n；
（Ⅱ）设c n=a n?b n，求数列{c n}的前n项和T n．
22．（2009?河西区二模）已知等差数列{a n}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{b n}满足nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=S n，其中S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．
（1）求a n的表达式；
（2）若c n=﹣a n b n，试问数列{c n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c n≤c k成立？并证明你的结论．23．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．
（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．
24．已知等差数列{a n}的前n项和为s n=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N*
（I）求q的值；
（Ⅱ）若a3=8，数列{b n}}满足a n=4log2b n，求数列{b n}的前n项和．
25．已知数列{a n}（n∈N*）是等比数列，且a n＞0，a1=3，a3=27．
（1）求数列{a n}的通项公式a n和前项和S n；
（2）设b n=2log3a n+1，求数列{b n}的前项和T n．
26．已知等差数列{a n} 的前n项和为S n，a2=9，S5=65．
（I）求{a n} 的通项公式：
（II）令，求数列{b n}的前n项和T n．
27．已知等比数列{a n}满足a2=2，且2a3+a4=a5，a n＞0．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=（﹣1）n3a n+2n+1，数列{b n}的前项和为T n，求T n．
28．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，且S3，S9，S6成等差数列．（1）求q3的值；
（2）求证：a2，a8，a5成等差数列．
29．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，，．
（I）求a n；
（II）若，求数列{b n}的前n项和T n．
30．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，已知a2=8，S10=185．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设a n=log2b n（n=1，2，3…），证明{b n}是等比数列，并求数列{b n}的前n项和T n．
高一数列专项典型练习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．（2014?天津模拟）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），
且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围（）
A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）
考点：数列的函数特性．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用一次函数和指数函数的单调性即可得出．
解答：解：∵{a n}是单调递增数列，
∴，
解得7≤a＜8．
故选：A．
点评：本题考查了分段函数的意义、一次函数和指数函数的单调性，属于中档题．
2．（2014?天津）设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）
A．2B．﹣2 C．D．
﹣
考点：等比数列的性质；等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．
解答：解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，
∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，
由S1，S2，S4成等比数列，得：，
即，解得：．
故选：D．
点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
3．（2014?河南一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）
A．1B．﹣1 C．2D．
考点：等差数列的前n项和．
分析：
由等差数列的求和公式和性质可得=，代入已知可得．
解答：
解：由题意可得=
===1
故选A
点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题．
4．（2014?河东区一模）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）
A．5B．6C．7D．8
考点：等比数列的前n项和；循环结构．
专题：计算题．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量s，k的值，最后输出k的值，列举出循环的各个情况，不难得到输出结果．
解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
循环前：k=0，s=0，每次循环s，k的值及是否循环分别如下
第一圈：S=2°＜100，k=1；是
第二圈：S=2°+21＜100，k=2；是
第三圈：S=2°+21+22＜100，k=3；是
第四圈：S=2°+21+22+23＜100，k=4；是
第五圈：S=2°+21+22+23+24＜100，k=5；是
第六圈：S=2°+21+22+23+24+25＜100，k=6：是
第七圈：S=2°+21+22+23+24+25+26＞100，k=6：否
满足S＞100，退出循环，此时k值为7
故选C
点评：本小题主要考查循环结构、等比数列等基础知识．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这
一模块最重要的题型，
5．（2014?河西区三模）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）
A．11 B．5C．﹣8 D．﹣11
考点：等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意可得数列的公比q，代入求和公式化简可得．
解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，（q≠0）
由题意可得8a2+a5=8a1q+a1q4=0，解得q=﹣2，
故====﹣11
故选D
点评：本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题．
6．（2014?河西区二模）数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（）
A．B．
C．6D．﹣6
﹣
考点：数列递推式．
专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：
根据数列{a n}满足a1=2，a n=，可得数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，即可得出结
论．
解答：
解：∵a n=，
∴a n+1=，
∵a1=2，∴a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…，
∴数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，
∵2014=4×503+2，
∴T2014=﹣6．
故选：D．
点评：本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，确定数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1是关键．
7．（2014?河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=（）
A．9B．12 C．14 D．18
考点：数列递推式．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：直接由数列递推式得到数列为等差数列，再由等差数列的性质结合a6=4﹣a4得到a5的值，然后直接代入前n项和得答案．
解答：解：∵a n+2=2a n+1﹣a n，
∴2a n+1=a n+a n+2
∴数列{a n}是等差数列．
又a6=4﹣a4，
∴a4+a6=4，
由等差数列的性质知：2a5=a4+a6=4，
得a5=2．
∴S9=9a5=9×2=18．
故选：D．
点评：本题考查数列递推式，考查了等差关系得确定，考查了等差数列的性质及前n项和，是中档题．
8．（2013?南开区一模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（）
A．47 B．45 C．38 D．54
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：设公差为d，利用等差数列前n项和列关于a1、d的方程组，解出a1，d，再用前n项和公式可得S9的值．解答：解：设公差为d，
由S7=28，S11=66得，，即，解得，
所以S9=9×1=45．
故选B．
点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查方程思想，考查学生的运算能力，属基础题．
9．（2013?天津一模）在等比数列{a n}中，，则a3=（）
A．±9 B．9C．±3 D．3
考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
设出公比，利用条件，可得=27，=3，两式相除，可得
结论．
解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，则
∵，
∴=27，=3
两式相除，可得
∴a3=±3
故选C．
点评：本题考查等比数列的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．
10．（2012?天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）
A．8B．18 C．26 D．80
考点：数列的求和；循环结构．
专题：计算题．
分析：根据框图可求得S1=2，S2=8，S3=26，执行完后n已为4，故可得答案．
解答：解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S1=0+31﹣30=2；
同理可求n=2，S1=2时，S2=8；
n=3，S2=8时，S3=26；执行完后n已为4，
故输出的结果为26．
故选C．
点评：本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关键，考查学生推理、运算的能力，属于基础题．
11．（2012?天津模拟）在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（）A．20 B．21 C．42 D．84
考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：由数列为等差数列，利用等差数列的性质得到a3+a5=2a4，a8+a14=a6+a16=2a11，化简已知的等式，可得出a4+a11的值，再根据等差数列的性质得到a1+a14=a4+a11，由a4+a11的值得到a1+a14的值，然后利用等差数列的前n 项和公式表示出该数列的前14项之和，将a1+a14的值代入即可求出值．
解答：解：∵数列{a n}为等差数列，
∴a3+a5=2a4，a8+a14=a6+a16=2a11，
又4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，
∴12a4+12a11=36，即a4+a11=3，
∵a1+a14=a4+a11=3，
则该数列的前14项和S14==21．
故选B
点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．
二．填空题（共7小题）
12．（2014?天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．
考点：等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1?S4，由此求得a1的值．
解答：
解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，
再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1?S4，即=a1?（4a1﹣6），
解得a1=﹣，
故答案为：﹣．
点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．
13．（2014?红桥区二模）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），
等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数
1 5 7 77
2 12 8 96
3 21 12 192
4 32 16 320
5 45 32 1152
6 60 48 2496
则等级为50级需要的天数a50=2700．
考点：数列的概念及简单表示法；归纳推理．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3），利用等差数列的前n项和公式即可得出．
解答：
解：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），
∴a50=50×54=2700．
故答案为：2700．
点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、归纳推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．14．（2014?郑州模拟）数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7=24．
考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意，联立两方程a2+a3=1，a3+a4=﹣2解出等比数列的首项与公比，即可求出a5+a6+a7的值．
解答：解：由a2+a3=1，a3+a4=﹣2，两式作商得q=﹣2．
代入a2+a3=1，得a1（q+q2）=1．
解得a1=．
所以a5+a6+a7=（24﹣25+26）=24．
故答案为：24．
点评：本题考查对数计算与等比数列性质的运用，属于基本计算题
15．（2014?厦门一模）已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知条件推导出{a
n}是首项和公比都是2的等比数列，从而得到，log2a n=n，由此能求出数列{log2a n}的前n项和．
解答：解：∵数列{a n}中，a n+1=2a n，
∴=2，∴{a n}是公比为2的等比数列，
∵a3=8，∴，解得a1=2，
∴，∴log2a n=n，
∴数列{log2a n}的前n项和：
S n=1+2+3+…+n=．
故答案为：．
点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用．16．（2014?河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=18．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知条件推导出数列{a n}是等差数列，由此利用等差数列性质能求出结果．
解答：解：∵数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，
∴数列{a n}是等差数列，
∵a6=4﹣a4，∴a6+a4=4，
∴=．
故答案为：18．
点评：本题考查数列的前9项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．17．（2014?天津模拟）记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=10．
考点：等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．
解答：解：等差数列{a n}的前n项和为S n，
∵a2+a4=6，S4=10，设公差为d，
∴，
解得a1=1，d=1，
∴a10=1+9=10．
故答案为：10．
点评：本题考查等差数列中第10项的求法，是基础题，解题时要认真审题，要熟练掌握等差数列的性质．
18．（2014?北京模拟）设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=8．
考点：等差数列的性质；等比数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：由S3，S9，S6成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用等比数列的前n项和公式化简，得到关于q的关系式，再利用等比数列的性质化简a2+a5=2a m的左右两边，将得到的关于q的关系式整理后代入，即可得出m的值．
解答：解：∵S n是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，
∴2S9=S3+S6，即=+，
整理得：2（1﹣q9）=1﹣q3+1﹣q6，即1+q3=2q6，
又a2+a5=a1q+a1q4=a1q（1+q3）=2a1q7，2a m=2a1q m﹣1，且a2+a5=2a m，
∴2a1q7=2a1q m﹣1，即m﹣1=7，
则m=8．
故答案为：8
点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式及求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．
三．解答题（共12小题）
19．（2014?濮阳二模）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和S n．
考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．
专题：计算题；压轴题．
分析：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．
（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．
解答：
解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且
解得d=2，q=2．
所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．
（Ⅱ）．，①，②
②﹣①得，
===．
点评：本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．
20．（2014?天津三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．
（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；
（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．
考点：等差数列的性质；数列与不等式的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由已知条件推导出2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．由此能证明{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．从而求出
a n=．
（2）由（1）知=（n+1）?（）n，利用错位相减法能求出T n=3﹣．再用数学归纳法能证明n∈N*且n≥3时，T n＞．
（3）由a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn可求得c n，对任意n∈N+，都有c n+1＞c n即c n+1﹣c n＞0恒成立，整理可得（﹣1）n﹣1?λ＜（）n﹣1，分n为奇数、偶数两种情况讨论，分离出参数λ后转化为函数最值即可解决．解答：
（1）证明：在S n=﹣a n﹣+2（n∈N*）中，
令n=1，得S1=﹣a1﹣1+2=a1，解得a1=，
当n≥2时，S n﹣1=﹣a n﹣1﹣（）n﹣2+2，
∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣a n+a n﹣1+（）n﹣1，
∴2a n=a n﹣1+（）n﹣1，即2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．
∵b n=2n a n，∴b n=b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1=1，
又b1=2a1=1，∴{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．
于是b n=1+（n﹣1）?1=n=2n a n，
∴a n=．
（2）证明：∵，∴=（n+1）?（）n，
∴T n=2×+3×（）2+…+（n+1）×（）n，①
=2×（）2+3×（）3+…+（n+1）×（）n+1，②
①﹣②，得：=1+
=1+﹣（n+1）?（）n+1
=，
∴T n=3﹣．
∴T n﹣=3﹣=，
∴确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．
下面用数学归纳法证明n∈N*且n≥3时，T n＞．
①当n=3时，23＞2×3+1，成立
②假设当n=k（k≥3）时，2k＞2k+1成立，
则当n=k+1时，2k+1=2?2k＞2（2k+1）
=4k+2=2（k+1）+1+（2k﹣1）＞2（k+1）+1，
∴当n=k+1时，也成立．
于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立
∴n∈N*且n≥3时，T n＞．
（3）由，
得
=3n+（﹣1）n﹣1?λ?2n，
∴c n+1﹣c n=[3n+1+（﹣1）n?λ?2n+1]﹣[3n+（﹣1）n﹣1?λ?2n]
=2?3n﹣3λ（﹣1）n﹣1?2n＞0，
∴，①
当n=2k﹣1，k=1，2，3，…时，①式即为λ＜，②
依题意，②式对k=1，2，3…都成立，∴λ＜1，
当n=2k，k=1，2，3，…时，①式即为③，
依题意，③式对k=1，2，3…都成立，
∴，∴，又λ≠0，
∴存在整数λ=﹣1，使得对任意n∈N*有c n+1＞c n．
点评：本题考查数列递推式、等差数列的通项公式、数列求和等知识，考查恒成立问题，考查转化思想，错位相
减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．
21．（2014?天津模拟）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．
（Ⅰ）求a n与b n；
（Ⅱ）设c n=a n?b n，求数列{c n}的前n项和T n．
考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：
（1）根据b2+S2=12，{b n}的公比，建立方程组，即可求出a n与b n；
（2）由a n=3n，bn=3n﹣1，知c n=a n?b n=n?3n，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n．
解答：解：（1）∵在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，
等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．
∴b2=b1q=q，，（3分）
解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6（5分）
∴a n=3+3（n﹣1）=3n，b n=3n﹣1．（7分）
（2）∵a n=3n，b n=3n﹣1，
∴c n=a n?b n=n?3n，
∴数列{c n}的前n项和
T n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，
∴3T n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，
∴﹣2T n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1
=﹣n×3n+1
=﹣n×3n+1，
∴T n=×3n+1﹣．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和错位相减法的合理运用．
22．（2009?河西区二模）已知等差数列{a n}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{b n}满足nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=S n，其中S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．
（1）求a n的表达式；
（2）若c n=﹣a n b n，试问数列{c n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c n≤c k成立？并证明你的结论．
考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的通项公式、、分类讨论的思想方法即可得出．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4=9，a2+a6=10，
∴，解得，
∴a n=2+1×（n﹣1）=n+1．
（2）∵S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和，
∴nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=，①
（n﹣1）b1+（n﹣2）b2+…+2b n﹣2+b n﹣1=…+，②
①﹣②得b1+b2+…+b n=，即．
当n=1时，b1=T n=1，
当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1==．
∴．．
于是c n=﹣a n b n．
设存在正整数k，使得对?n∈N*，都有c n≤c k恒成立．
当n=1时，，即c2＞c1．
当n≥2时，
==．
∴当n＜7时，c n+1＞c n；
当n=7时，c8=c7；
当n＞7时，c n+1＜c n．
∴存在正整数k=7或8，使得对?n∈N*，都有c n≤c k恒成立．
点评：熟练掌握等差数列的图象公式、分类讨论的思想方法、等比数列的通项公式、
、分类讨论的思想方法是解题的关键．
23．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．
（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．
考点：等比数列的前n项和．
专题：综合题．
分析：
（I）根据数列{a n}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式a n和前n项和S n，然后经过运算即可证明．（II）根据数列{a n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b n}的通项公式．
解答：
证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1=，q=
∴a n=×=，
S n=
又∵==S n
∴S n=
（II）∵a n=
∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…﹣nlog33
=﹣（1+2+…+n）
=﹣
∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣
点评：本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．
24．已知等差数列{a n}的前n项和为s n=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N*
（I）求q的值；
（Ⅱ）若a3=8，数列{b n}}满足a n=4log2b n，求数列{b n}的前n项和．
考点：等比数列的前n项和；等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：
（I）根据前n项和与通项间的关系，得到a n=2pn﹣p﹣2，再根据{an}是等差数
列，a1满足a n，列出方程p﹣2+q=2p﹣p﹣2，即可求解
（Ⅱ）由（I）知a n=4n﹣4，再根据a n=4log2b n，得b n=2n﹣1，故{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，即可求解
解答：解：（I）当n=1时，a1=s1=p﹣2+q
当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=pn2﹣2n+q﹣p（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2
由{an}是等差数列，得p﹣2+q=2p﹣p﹣2，解得q=0．
（Ⅱ）由a3=8，a3=6p﹣p﹣2，于是6p﹣p﹣2=8，解得p=2
所以a n=4n﹣4
又a n=4log2b n，得b n=2n﹣1，故{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．
所以数列{b n}的前n项和Tn=．
点评：本题考查了数列的前n项和与通项间的关系及等比数列的求和问题，在解题中需注意前n项和与通项间的关系是个分段函数的关系，但最后要验证n=1是否满足n≥2时的情况，属于基础题．
25．已知数列{a n}（n∈N*）是等比数列，且a n＞0，a1=3，a3=27．
（1）求数列{a n}的通项公式a n和前项和S n；
（2）设b n=2log3a n+1，求数列{b n}的前项和T n．
考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：（1）先根据a3=a1?q2=27求出q2，然后根据a n＞0，求出q的值，再由等比数列的公式求出数列{a n}的通项公式a n和前项和S n；
（2）由（1）得出数列{b n}是等差数列，然后根据等差数列的前n项和公式得出结果．
解答：解：（1）设公比为q，则a3=a1?q2，∴27=3q2，即q2=9∵a n＞0，
∴
（2）由（1）可知b n=2log33n+1=2n+1，∴b1=3，
又b n+1﹣b n=2（n+1）+1﹣（2n+1）=2，
故数列{b n}是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的前n项和，此题比较容易，只要认真作答就可以保障正确，属于基础题．
26．已知等差数列{a n} 的前n项和为S n，a2=9，S5=65．
（I）求{a n} 的通项公式：
（II）令，求数列{b n}的前n项和T n．
考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：（I）利用等差数列的首项a1及公差d表示已知条件，解出a1，d代入等差数列的通项公式可求（II）由（I）可求，从而可得数列{b n} 是首项为b1=32，公比q=16的等比数列，代入等
比数列的前n项和公式可求
解答：
解：（I）（2分）
解得：（4分），
所以a n=4n+1（6分）
（II）由（I）知（7分）
因为，（8分）
所以{b n} 是首项为b1=32，公比q=16的等比数列（9分），
所以．（12分）
点评：在数列的基本量的求解中要求考生熟练掌握基本公式，具备一定的计算能力，本题属于基础试题．
27．已知等比数列{a n}满足a2=2，且2a3+a4=a5，a n＞0．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=（﹣1）n3a n+2n+1，数列{b n}的前项和为T n，求T n．
考点：等比数列的前n项和；数列的求和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：
（Ⅰ）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则，解方程可求a1，q结合等比数
列的通项公式即可求解
（Ⅱ）由b n=（﹣1）n3a n+2n+1=﹣3?（﹣2）n﹣1+2n+1，利用分组求和，结合等比与等差数列的求和公式即可求解
解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则…（2分）
整理得q2﹣q﹣2=0，即q=﹣1或q=2，
∵a n＞0，
∴q=2．代入可得a1=1
∴．…（6分）
（Ⅱ）∵b n=（﹣1）n3a n+2n+1=﹣3?（﹣2）n﹣1+2n+1，…（9分）
∴T n=﹣3[1﹣2+4﹣8+…+（﹣2）n﹣1]+（3+5+…+2n+1）
=﹣3×=（﹣2）n+n2++2n﹣1．…（12分）
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，分组求和方法的应用，属于数列知识的简单综合
28．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，且S3，S9，S6成等差数列．
（1）求q3的值；
（2）求证：a2，a8，a5成等差数列．
考点：等比数列的前n项和．
专题：综合题；分类讨论．
分析：（1）由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9，然后考虑当q=1时关系式不成立，所以当q不等于1时，利用等比数列的前n项和的公式化简此等式，根据q不等于1，利用换元法即可求出q3的值；
（2）由q3的值分别表示出a8和a5，然后分别求出a8﹣a2和a5﹣a8的值，得到两者的值相等即可得证．解答：解：（1）由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9，
若q=1，则S3+S6=9a1，2S9=18a1，
由a1≠0得S3+S6≠2S9，与题意不符，所以q≠1．
由S3+S6=2S9，得．
整理，得q3+q6=2q9，由q≠0，1，
设t=q3，则2t2﹣t﹣1=0，解得t=1（舍去）或t=﹣，
所以；
（2）由（1）知：，
则a8﹣a2=a5﹣a8，
所以a2，a8，a5成等差数列．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．
29．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，，．
（I）求a n；
（II）若，求数列{b n}的前n项和T n．
考点：等比数列的前n项和；数列的求和．
专题：综合题．
分析：
（I）由题意可得，公比q≠1，则①②，相除可得公比q，
求得首项和公比，即可求出通项公式．
（II）首先根据（1）求出数列{b n}的通项公式，然后利用分组法求出前n项和．
解答：解：（I）若q=1，则S6=2S3，这与已知矛盾，所以q≠1，（1分）
则①②（3分）
②式除以①式，得，所以，
代入①得a1=2，
所以．（7分）
（II）因为，（9分）
所以T n=（2﹣1+20+21++2n﹣2）+（1+2+3++n）=（12分）
==．（14分）
点评：本题考查等比数列的前n项和公式和通项公式，（2）问中数列{b n}是等差数列和等比数列和的形式，采取分组法求解．属于中档题．
30．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，已知a2=8，S10=185．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设a n=log2b n（n=1，2，3…），证明{b n}是等比数列，并求数列{b n}的前n项和T n．
高一数学等差数列知识点及练习题
高一数学等差数列知识点及练习题 专题九 等差数列 一．等差数列基本概念 1．等差数列定义 2.等差数列通项公式 n a =______________或n a =___________. 3.等差数列前n 项和 1)n S =________________2).n S =_________________ 4.等差中项 ：如果 ,,a b c 成等差数列，么b 叫做,a c 的等差中项，则有_________________ 5.等差数列的判定方法 1) 定义法： 2)中项公式法： 3)通项法：已知数列n a 的通项公式为n a pn q =+，则n a 为等差数列，其中首项为1a =________，公差d=________。 4)前n 项和法：已知数列n a 的前n 项和2n S An Bn =+，则n a 为等差数列，其中首项为 1a =________，公差d=________， 6.等差数列性质 1) 1212n n a a a a a -+=+=n L 2)当*,, ,m n p k N ∈，且m n p k +=+，则m n p k a a a a +=+；特别当 2m n p +=时 2m n p a a a += 特别注意“m n p +=时，m n p a a a +=”是不正确的. 3) 数列n a 的前n 项和为n S ，则232...,,m m m m m S S S S S --成大差数列
4）当n 为奇数时，12 n n S na += 二．例题分析 【类型1】求等差数列通项 【例1】.等差数列n a 中，5 1210,31a a ==，求1,,n d a a . 【变式1】四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数. 【例2】等差数列n a 中，381312a a a ++=，381324a a a ??=，求通项公式n a . 【变式1】等差数列{}n a 中，51510,25,a a ==则25a 的值是 ． 【变式2】已知等差数列{}中．61018a a += 31a =，则13a = ．
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析
一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，
（1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．
等比数列求和教案
课题：等比数列的前n项和（一课时） 教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册 （人民教育出版社） 一、教材分析 ●教学内容 《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 二、学情分析 ●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生 q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1 其是在后面使用的过程中容易出错． 三、目标分析 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.教学目标
●知识与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ●过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、 分析的能力和协作、竞争意识。 ●情感、态度与价值目标 通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。 2.教学重点、难点 ●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． ●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用． 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点， 激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的 切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予 适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法 根据学生的认知特点，本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法，让学生至于情景中。学生动手操作实践分组讨论探究，而教师重在启发，引导。基于教学平台和数学软件让学生可观，可感，可交流的环境中轻松的学习。 五、教学过程
等差数列及其性质典型例题及练习(学生)
等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n
(完整word版)高中数学必修五等差数列测试题
等差数列测试题 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的 ( ) A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 2.在-1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，则 ( ) A. a =2，b =5 B. a =-2，b =5 C. a =2，b =-5 D. a =-2，b =-5 3.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83 ＜d ≤3 4．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( ) A ．3 B ．-3 C ．-2 D ．-1 5．在等差数列}{n a 中，,0,01110>，则在n S 中最大的负数为 ( ) A ．17S B ．18S C ．19S D ．20S 6.等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是: ( ) A.a 11 B.a 10 C.a 9 D.a 8 7.设函数f (x )满足f (n +1)= 2)(2n n f +(n ∈N *)且f (1)=2,则f (20)为 ( ) A.95 B.97 C.105 D.192 8．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6S 8 ,则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7最大 B ．在数列{a n }中,a 3或a 4最大 C ．前三项之和S 3必与前11项之和S 11相等 D ．当n ≥8时，a n <0 二、填空题（每小题6分，共30分） 9．集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________. 10．在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=-记123n n S a a a a =++++L ，则13S =_____
最全高考复习数列专题及练习答案详解
高考复习数列专题： 数 列(参考答案附后) 第一节 数列的概念与数列的简单表示 一、选择题 1．已知数列{}a n 对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－ 6，那么a 10＝( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 3．若数列{a n }的前n 项积为n 2 ，那么当n ≥2时，{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝ n ＋12 n 2 D ．a n ＝ n 2n －1 2 4．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 5．已知数列{a n }中，a n ＝n －79n －80 (n ∈N *)，则在数列{a n }的前50 项中最小项和最大项分别是( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 8 C ．a 8，a 9 D ．a 9， a 50 二、填空题 6．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2 －10n (n ＝1,2,3，…)，则此数
列的通项公式为________；数列{}na n 中数值最小的项是第__________项． 7．数列35，12，511，37，7 17，…的一个通项公式是 ___________________________． 8．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________. 三、解答题 9．如果数列{}a n 的前n 项和为S n ＝3 2a n －3，求这个数列的通项 公式． 10．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N ＋ )在函数y ＝x 2 ＋1的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若列数{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2 n ＋1.
数列求和公式证明
1）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边 数学归纳法可以证 也可以如下做比较有技巧性 n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+......+n^2 =1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n) 由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 所以1*2+2*3+...+n(n+1) =[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 [前后消项] =[n(n+1)(n+2)]/3 所以1^2+2^2+3^2+......+n^2 =[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2 =n(n+1)[(n+2)/3-1/2] =n(n+1)[(2n+1)/6] =n(n+1)(2n+1)/6 2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？ 设n为奇数, 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)= =(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1) =2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1) =8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1) =8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1) =n(n+1)(n+2)/3 设n为偶数, 请你自己证明一下！ 所以， 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 设an=n×（n+1）=n^2+n Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1） =(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n) =n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2 =n(n+1)(n+2)/3
等差数列经典题型
等差数列 第三课时 前N 项和 1、在等差数列{a n }中,已知d ＝2,a n ＝11, S n ＝35,求a 1和n . 2、设{a n }为等差数列, S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7＝7, S 15＝75, T n 为数列? ??? ? ? S n n 的前n 项和,求T n . (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ; (2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3,求a 5 b 5 的 值. 3、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n ＝7n ＋45 n ＋3,则使 得a n b n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4、现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 5、等差数列{a n }中, S 10＝4S 5,则a 1 d 等于( ) A.12 B.2 C.1 4 D.4
6、已知等差数列{a n}中,a23＋a28＋2a3a8＝9,且a n<0,则S10为() A.－9 B.－11 C.－13 D.－15 7、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3＝9, S6＝36.则a7＋a8＋a9等于() A.63 B.45 C.36 D.27 8、在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为() A.765 B.665 C.763 D.663 9、一个等差数列的项数为2n,若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90,a2＋a4＋…＋a2n＝72,且a1－a2n＝33,则该数列的公差是() A.3 B.－3 C.－2 D.－1 10、设{a n}是公差为－2的等差数列,如果a1＋a4＋…＋a97＝50,那么a3＋a6＋…＋a99＝______. 11、在项数为2n＋1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为______.
高中数学导学案 等差数列
2．2 等差数列 （一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 （二）教学重、难点 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 （三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具：投影仪 （四）教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案： （放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,…… 2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期
数列·例题解析
数列·例题解析 【例1】 求出下列各数列的一个通项公式 (1)14(2)23，，，，，…，，，，…38516732964418635863 (3)(4)12--13181151242928252 ，，，，…，，，，… 解 (1)所给出数列前5项的分子组成奇数列，其通项公式为2n －1，而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2×2n ，所以，已知数列的 通项公式为：．a =2n 12 n n+1- (2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n ，而分母组成的数列3，15，35，63，…可以变形为1×3，3×5，5×7，7×9，…即每一项可以看成序号n 的(2n －1)与2n ＋1的积，也即(2n －1)(2n ＋1)，因此，所给数列的通项公式为： a n n n n =-+22121()() ． (3)从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3，8，15，24，35，…可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，…，即每一项可以看成序号n 与n ＋2的积，也即n(n ＋2)．各项的符号，奇数项为负，偶数项为正．因此，所给数列的通项公式为： a n n n n =-+()() 112·． (4)所给数列可改写为，，，，，…分子组成的数列为124292162252 1，4，9，16，25，…是序号n 的平方即n 2，分母均为2．因此所 给数列的通项公式为．a =n n 2 2 【例2】 求出下列各数列的一个通项公式．
(1)2，0，2，0，2，… (2)10000，，，，，，，， (131517) (3)7，77，777，7777，77777，… (4)0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，… 解 (1)所给数列可改写为1＋1，－1＋1，1＋1，－1＋1，…可以看作数列1，－1，1，－1，…的各项都加1，因此所给数的通项公式a n ＝(－1)n+1＋1． 所给数列亦可看作2，0，2，0…周期性变化，因此所给数列的 通项公式为奇数为偶数这一题说明了数列的通项公式不唯一．a =2(n )0(n )n ??? (2)100012345所给数列，，，，，，，…可以改写成，，，，，，…分母组成的数列为，，，，，，，…是自然13151711021304150617 67 数列n ，分子组成的数列为1，0，1，0，1，0，…可以看作是2， 02020，，，，，…的每一项的构成为，因此所给数列的通项公式为．1211211211()()-+=-+++n n n a n (3)7777777777777779所给数列，，，，，…可以改写成×，79 7979797979 79797979 79 ×，×，×，×…，可以看作×－，×－，×－，×－，×－，…因此所给数列的通项公式为－．99999999999999(101)(1001)(10001)(100001)(1000001)a = (101)n n (4)所给数列0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…可以改写 成×，×，×，×，×，…可以看作×－，×－，×－，×－，×－，…因此所给数列的通式公式为．2929292929 2929292929 291110 0.90.990.9990.99990.99999(10.1)(10.01)(10.001)(10.0001)(10.00001)a =n ()-n
数列教案、考点、经典例题_练习
澳瀚教育 学习是一个不断积累的过程，不积跬步无以至千里，不积小流无以 成江海，在学习中一定要持之以恒，相信自己，你一定可以获得成功！ 高中数学 一、定义 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项 看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二．例题讲解。 一.基本问题 例1：在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：
高中数学等差数列教案3篇
高中数学等差数列教案3篇 教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是为大家收集等差数列教案，希望你们能喜欢。 等差数列教案一 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊
到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。 【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重
引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法 引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】 一：创设情境，引入新课
数列综合练习题以及答案解析
数列综合练习题 一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D．
8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|， 则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）
人教课标版高中数学必修5典型例题剖析：等差数列的通项与求和
等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：???≥-==-).2(),1(1 1n S S n S a n n n 若 a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .
高一数学试题-高一数学等差数列练习题 最新
等 差 数 列 一、选择题 1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列{}n a 的公差1 2 d = ，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120 C ．135 D ．160． 4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．120 5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ） A. 0 B. 90 C. 180 D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前 3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 7、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为 n S ，则（ ） A.54S S < B.54S S = C. 56S S < D. 56S S = 8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前n 项之和3 n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2 +n n ，则前n 个奇数项的和为（ ） A ．)1(32 +-n n B ．)34(2-n n C ．2 3n - D ． 3 2 1n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为 140°，这个凸多边形的边比为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12
数列典型例题(含答案)
《2.3 等差数列的前n项和》测试题 一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案：B 解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差， ，则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案：D 解析：由得，，即，将， 代入，解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( ) A.若，则数列有最大项 B.若数列有最大项，则 C.若数列是递增数列，则对任意，均有 D.若对任意，均有，则数列是递增数列 考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案：C 解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是 递增数列，但．对于选项D的命题，由，得， 因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题
4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则 . 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算． 答案：81. 解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故. 5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若 ，则 . 考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力. 答案：. 解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴ ，∴，∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则 ____． 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算. 答案：10. 解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵ ，∴. ∴，故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为，且，求： ⑴的通项公式及前项和； ⑵． 考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力. 答案：⑴；.⑵ 解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得. ⑴； ⑵由，得.
小学奥数等差数列经典练习题
小学奥数等差数列经 典练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
小学奥数等差数列经典练习题 一、判断下面的数列中哪些是等差数列在等差数列的括号后面打√。0,2,6,12,20,30,36…… 6,12,18,24,30,36,42……700,693,686,679,673…… 90,79,68,57,46,35,24,13…… 1，3，5，7，10，13，16……5，8，11，14，17，20…… 1，5，9，13，17，21，23…90，80，70，60，50，……20，10 二、求等差数列3，8，13，18，……的第30项是多少 三、求等差数列8，14，20，26，……302的末项是第几项 四、一个剧院的剧场有２０排座位，第一排有３８个座位，往后每排比前一排多２个座位，这个剧院一共有多少个座位五、计算 11+12+13……+998+999+10002+6+3+12+4+18+5+24+6+30 3、求等差数列6，9，12，15，……中第99项是几 4、求等差数列46，52，58……172共有多少项 5、求等差数列245，238，231，224，……中，105是第几项 6、求等差数列0，4，8，12，……中，第31项是几在这个数列中，2000是第几项 7、从35开始往后面数18个奇数，最后一个奇数是多少、已知一个等差数列的第二项是8，第3项是13，这1个等差数列的第10项是多少 1、计算：100+200+300+……21001+79+……+17+15+13 2、有20个同学参加聚会，见面的时候如果每人都和其他同学握手一次，那么参加聚会的同学一共要握手多少次 3、请用被4
求数列通项公式的十种方法(例题+详解)
求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22 n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式； 解： 22(1)4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分 练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 三、累加法