七年级数学期末专题复习和训练一

信达

16-17下学期七年级数学期末专题复习和训练一:

解一次方程组

班级： 姓名： 编制：赵化中学 郑宗平

专题透析：

初中数学中的一次方程组包括二元一次方程组和三元一次方程组，其中主要掌握二元一次方

程，人教版的三元一次方程组属选学内容；一次方程组在解决初中各类数学问题和实际问题有着广泛的应用，甚至物理和化学科经常也常要列方程或方程组来解决问题比较容易些. 解一次方程组的基本思想是“消元”，从“多元”一步一步的转化为“一元”来使问题获得解决；“消元”思想所派生出的 “代入消元法”（简称“代入法”）和“加减消元法”（简称“加减法”）是两种基本解法，当然还有一些其它特殊的解法，只要我们紧紧抓住“消元”这个根本，不管用什么方法都行. 一次方程组容易与其它数学知识点串联构成一定“含金量”的综合题，是统考和中考的的高频考点.下面就解法进行说明，并配有典例解析、点评、归纳和追踪训练：

方法1.代入法：

代入法的基本步骤是整理 → 变形 （用一个未知数表示另一个未知数） → 代入（代入另一个方程消元） → 求解 → 检验 → 写解.

例1.解方程组：

y

x 3

7x 5y 9

-=??

-=?

分析：由于方程①的未知数项的系数分别为

，11-，将方程①变形后代入方程②来求解. 略解：由①得：y x 3=+ 把③代入②得：()7x 5x 39-+= 2x 24= x 12=

把x 12=代入③解得：y 15= 故原方程组的解为x 12

y 15=??

=?

例2.解方程组：2x 3y z 15

x y 3

3x 2y 2z 6--=

-?

?

-=-??++=-?

分析：由于方程②的未知数项的系数分别为，

11-，将方程②变形后分别代入方程①和③后组成二元一次方程组后进一步求解. 略解：由②得：x y 3=- 把④代入①得：()2y 33y z 15---=- ， 即y z 9+= ⑤

把④代入③得：()3y 32y 2z 6-+-=-，即5y 2z 3+= ⑥ 把 ④和⑤联立成方程组为：y z 95y 2z 3

+=??+=? ， 解得 ：y 3

z 6

=??

=?

把y 3=代入④解得：x 0=

故原方程组的解为x 0y 3x 6=??

=??=?

点评：

代入法的“变形”要注意两点：其一.选择好变形的方程，首先考虑未知数系数含1±或常数项为0的方程来变形；其二.用含一个未知数的式子来表示另一个未知数要特别留心符号和除以系数的计算和化简. 代入法的“代入”须代入另外的方程未作为消元变形的方程才能将“三元” → “二元” → “一元”方程.代入法的“检验”虽然不要求书面写出来，但一定要养成检验的良好习惯，以确保解答的正确性.

代入法的拓展：

拓展1.整体代入消元法. 比如：3x 2y 56x 3y 2

-=??

-=-?.抓住6x 23x =?，把3x 视为一个整体，将方程①变形为

3x 2y 5=+整体代入②得：()22y 53y 2+-=-，然后再进一步求解. 此法可类推！

拓展2.利用等式性质得出简化后的同解方程再用代入消元.

比如：3x 2y 15

2x 3y 5

-=??

-=-?.抓住系数的特殊性利用等式性质把方程① + ② 同解变形为

5x 5y 10-=,然后化简为x y 2-=，然后变形代入原方程组消元求解.

追踪练习：

1.已知二元一次方程2x 3y 4-=.

⑴.用含x 的代数式表示y 为 ；⑵. 用含y 的代数式表示x 为 .

2.已知方程组x a 1

y 2a 1=-??=+?

得到y 与x 的关系式为 .

3.已知方程组5x y 2

3x 4y 3-=??-=?

，如果用代入消元法解方程组，选择 （填方程番号）

变形，并且用含未知数 的式子表示未知数 更好. 4.已知二元一次方程1

x y 502

-

+=，求式子2x y 2-+的值为 .

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5.用代入消元法解下列方程组：

⑴.()x 1y 2x 1y 6+=???+-=??； ⑵.y x 37x 5y 9-=??-=-?； ⑶.3x 5y 123x 10y 3+=??-=-?； ⑷.2x y 2z 4

3x y 6x 2y z 9

-+=??+=??+-=?

.

6.若方程组2x k

4x 3y 6k

=??+=-?的解x y 、的值相等，求k 的值.

方法2.加减法：

加减法的基本步骤是整理 → 变形（使对应的未知数项的系数的绝对值相等） → 加减（系数互为相反数用加法消元，系数相等用减法消元） → 求解 → 检验 → 写解. 例1.解方程组：3x 2y 37x 4

y 7

-=??

-=?

分析：由于方程组中不存在直接进行加减消元的未知数项，但我们发现方程②的“4y -”项的系数是方程①的“2y -”的系数整数倍（2倍），将方程①×2得到方程可以与方程②进行减法消元，从而使问题得以解决.

略解：由①×2得：6x 4y 6-=③ 由③ - ②得：x 1=

把x 1=代入①解得：y 0= 故原方程组的解为x 1

y 0=??

=?

例2.解方程组：()()3x 13

y 222x 3y 17

-?+=?

?

??++=??

分析：将方程组整理成一般形式3x 2y 6

2x 3y 4

+=??+=?，由于此方程组不存在直接进行加减消元的

未知数项；若我们选择含“y ”的未知数项进行消元，找出最小公倍数将方程③和方程④同时变形使“y ”未知数项系数绝对值相等，然后用加减消元法进行解答.由于本题整理后方程组的

两个方程的未知数项系数的数字上来看具有“交叉对称性”，还可以利用等式的性质直接加减得出的同解方程组成方程组来解答比较简单.下面我们共同来赏析. 略解：将方程组整理成一般形式3x 2y 62x

3y

4

+=??

+=?

由 ③ + ④ 得：5x 5y 10+=

x y 2+= ⑤

由 ③ - ④ 得：x y 2-= ⑥ 由 ⑤ + ⑥ 得：2x 4=，解得：x 2=. 由 ⑤ - ⑥ 得：2y 0=，解得：y 0=. 故原方程组的解为x 2

y 0

=??

=?

例3.解方程组：3x y z 42x 3y z 10

x 2y z 6-+=??

+

-

=??++=?

分析：三个方程都含有3个未知数的三元一次方程组，一般采用加减法更好些；将3个方程两两组合取两组，通过加减消元同一个未知数后组成一个二元一次方程组求解.本题由于未知数z 均为1或者1-，所以①③组合。②③组合进行加法消元. 略解：由 ① + ② 得：5x 2y 14+= ④ 由① + ③ 得：4x y 10+= ⑤

由⑤×2 - ④得: 3x 6= 解得：x 2=

把x 2=代入⑤得：42y 10?+= 解得：y 2=

把,x 2y 2==代入③得：222z 6+?+= 解得：z 0=

故原方程组的解为x 2

y 2z 0=??

=??=?

.

加减法的拓展：整体加减消元法.

例.解方程组：x y 5y z 6z x 7+=

??

+=??+=?

分析：本方程组中用常规的加减方法来解也不算繁琐.由于本方程组每个方程都是二元一次方程，且未知数的系数都是1，所里我们可以利用等式的性质将3个方程相加计算出x y z ++的的值，然后再整体消元求解更简单.

略解：由 ① + ② + ③ 得：2x 2y 2z 18++=，即 x y z 9++=④

由 ④ - ① 得：z 4= ，由 ④ - ② 得：x 3= ，由 ④ - ③ 得：y 2= .

故原方程组的解为x 3y 2z 4=??

=??=?

.

点评：

加减法解方程组若需要“变形”后再加减，也要注意两点：其一.选择变形的方程，首先考虑两个方程的系数成整数倍关系的对应未知数项．．．．．．

来切入，然后将其中一个方程变形；其二.方程在

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进行变形时每一项都不要漏乘（或漏除）.另外在进行减法消元时的对应项的本身的符号不要弄丢了，用加减法将“三元” 转化为“二元”时，两两组合进行加减消元要消去同一个未知数，除此之外，要注意一些加减法中的特殊解法，比如整体加减消元法比常规加减法显得更简捷，.

追踪练习：

1.解方程组2x 3y 1

3x 6y 7+=??-=?

用加减消元法消去y 应为 （ ）

A.2?-

B.32?-?

C.2?+

D.32?+?

2.已知方程组①y x 37x 5y 9=-??+=-?和②为8x 9y 23

17x 6y 74+=??-=?

，采用较为简便的解法应是 （ ）

A.均用代入法

B.均用加减法

C.①用代入法，②用加减法

D.①用加减法，②用代入法 3.已知方程组21a 79b 7179a 21b 29

+=??

+=?.求a b +的值比较简捷的办法是：第一步是① ②（横

线上填写“+”或“-”），得 ，第二步将未知数系数化为1得a b += . 4.若方程组x y 8m

x y 2m

+=??

-=?的解满足x 2y 1-=-，则m = .

5.用加减法解下列方程：

⑴.3x y 15x y 5=-??-=?； ⑵.x y 743x y 822?+=????+=??； ⑶.()..x 1y 2302053x 2y 16-+?-=????--=-??

； ⑷.a b 3b c 4b a 5

+=??+=??+=?.

6.已知方程组3m 4n 154n 3n 6

+=??+=?，不解出m n 、，求出m n

m n +-的值.

7.已知关于x y 、的方程组4x y 5

ax by 1

+=??-=?和方程组ax by 33x 2y 1+=??-=?有相同的解，求a b 、的值.

方法3.设参法：

在方程组中的某个方程以比例(或可化为比例)的形式出现时,可引入辅助参数消元，也称为设参法.其操作是：先把以比例形式出现的方程的比值（常数值）视为一个“参数”（通常用一个字母表示），通过题中的另一个方程求出这个参数，再返回求出原方程组的未知数的值.设参法也可以称为“辅助未知数法”，

例1.解方程组：x y 34

2x y 6?=???

?-=?

?

分析：本方程组中采用“代入法”或“加减法”也不算难.因为方程①是以比例形式出现，若我

们设

x y

k 34

==（参数）

，则,x 3k y 4k ==，从而可以代入方程②消元求解更简捷. 略解：设x y

k 34

==，则,x 3k y 4k ==.

把,x 3k y 4k ==代入方程②得：23k 4k 6?-=；解得：k 3=

所以,x 3k 339y 4312==?==?=.

故原方程组的解为x 1

y 0

=??=?

例2.解方程组：::::x y 32y z 54x y z 66=??

=??++=

?

分析：本方程组中的方程①和②都是以比例形式出现的，我们把方程①和②联立起来化成连比的形式，可以用设参法来解答.

略解：∵ ::,::x y 32y z 54== ∴ ::::x y z 15108=

设每一份为k ，则,,x 15k y 10k z 8k ===.

把,,x 15k y 10k z 8k ===代入方程③得：15k 10k 8k 66++=；解得：k 2= 所以,,x 15k 15230y 10k 10220z 8k 8216==?===?===?=.

故原方程组的解为x 30

y 20z 16=??

=??=?

方法4.换元法：

在一次方程组中的几个方程中的未知数部分的式子若结构相同．．．．

,可以用换元法来解比较简捷.其操作是：把这些相同结构的式子看成一个整体，再用另外的字母去代替它组成一个换元后新未知数的方程组，求解后把解再返回换元的部分的式子并组成方程组，即可求出原方程组解.这种解法叫换元法， 例.解方程组：()()()()3x y 2x y 22x y 3x y 16

+--=-???

++-=??.

分析：本方程组若先去括号进行整理，过程较繁琐且易出错；由于方程①和方程②均对应有结

构相同的x y +和x y -，我们可以把x y +和x y -用另外的未知数代替它再进一步求解. 解：若设,x y A x y B +=-=. 原方程组可变形为3A 2B 2

2A 3B 16

-=-??

+=?,

解这个方程组得A 2B 4=??

=?, 即x y 2

x y 4+=??-=?

.

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③ + ④得：2x 6= ；解得：x 3=；③ - ④得：2y 2=- ；解得：y 1=-； 所以这个方程组得x 3

y 1

=??

=-?.

点评：

“设参法”是设辅助参数来消元求解；“换元法”是通过换元的方程组来进一步求解；两种解法虽形式上不同，但都是通过另外的“未知数”来把方程组化繁为简，使解答起来显得更快捷.其根本的思想都是“转化”.

追踪练习：

1.若::::a b c 234=，则()():2a b c a 2b c -++-的值为 .

2.已知()()2x y x y 4

3x 3y 2x y 6+-+=???+--=??；设,x y m x y n +=-=，则原方程组换元为???

??

.

3.用设参法或换元法解下列方程组：

⑴. ::x y 572x y 3=??-=? ⑵.a b 452a b 6?=????-=??

⑶.x y z

3573x y z 14

?==????+-=??

⑷.()()()3m n 2m n 36

2m n 3m 3n 24++-=???+-+=?? 归纳：解法优选

1.若方程组中的某方程未知数项的系数为含1±或常数项为0，把此方程用一个未知数表示另一

个未知数比较容易，表示的式子也较简单，此时我们选择代入法来解.

2.若方程组中的两个方程对应的未知数项的系数绝对值相等，可以用加减法直接消元；若对应项的系数成整数倍关系，我只需要把一个方程变形来使对应项系数的绝对值相等，所以此时我们选用加减法消元来解.

3.若方程组中的某个方程以比例(或可化为比例)的形式出现时,可以用“设参法”解比较简捷.

4.若方程组中的几个方程中的未知数部分若出现结构相同．．．．的式子时,可以用换元法来解较简捷.

5.注意利用等式的性质将方程组进行同解变形后的简化了的方程或组成的方程组来解方程组.

6.如果方程组没有以上几种特征，一般我们要选用加减法进行解答比其它方法好些.

能力提升训练：

一.用适当方法解下列方程组：

1. 2x 35y x 5y 6-=??+=-?

2.3x 5y 12x 3y -=-??=?

3.2x 5y 72x 3y 1-=??+=-?

4.a b 244

a b 2

63

?+=????-=?? 5. 7y 7x 21x 5y 6-=??+=-? 6.::::x y z 478x y 2z 54=??++=? 7.30x 15y 67542x 20y 940+=??+=? 8.63x 37y 12637x 63y 74+=??+=? 9.x 3y 2x y 4-=+= 10.%%%5x 53y 25300x y 300+=???+=?

11.()()x y x y

1323x y 2x y 22

+-?+=????+--=??

二.解答下列各题： 1.已知二元一次方程组x 2y 3

4x 3y m 1

-=??

+=-?的、x y 互为相反数，求m 的值.

2.已知关于、x y 的方程组()m n x y 5

nx my 6

-+=???+=??的解是x 1y 2=??=?，求、x y 的值.

3.已知方程组2x 5y 26ax by 4+=-??

-=-?和方程组3x 5y 36

bx ay 8

-=??+=-?的解相同.

⑴.这两个方程组的相同解是多少；⑵.求()

2017

2a b +的值.

4.甲、乙两人同求方程ax by 7-=的整数解.甲求得一组解为x 3

y 4=??=?

；而乙看把7错看成了1，求得一组解为x 1

y 2

=??

=?；求、a b 的值.

5.甲、乙两人同时解方程组mx ny 8(1)

mx ny 2(2)

+=-??-=?由于甲看错了方程⑴中的m ，得到的解是

x 4y 2=??=?，乙看错了方程⑵的n ，得到的是x 2

y 5=??

=?

，试求正确、m n 的值. 6.若单项式2a b

a b x

y -+-与单项式42b 23x y +是同类项，试求正确、a b 的值. 7.若a 2b 4++

与

()():a b a b +-的值.

8.在平面直角坐标系中，若点(),A a 5a b +和(),B 1b 5--关于x 轴对称，求出点A 和点B 的坐标.

9. 对于有理数、x y ，定义新运算：x *y ax by =+；其中、a b 是常数，等式右边是通常的加 法和乘法运算，已知1*21=，()3-*36=，则2*()4-的值是多少？

10. 已知y kx b =+.当x 1=时，y 1=；当x 2=时，y 4=；

⑴.求出、k b 的值；⑵.求当当x 3=-时，y 的值.

初中数学试卷

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