有限元分析复习内容

1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法

2、有限元法将连续的求解域离散为若干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接

3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个.

4、平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩 .

5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角

6、平面刚架有限元分析，节点位移有轴向位移、横向位移、转角。

7、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是线性关系。

8、弹性力学问题的方程个数有15个，未知量个数有15个。

9、弹性力学平面问题方程个数有8，未知数8个。

10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程

11、物理方程是描述应力和应变关系的方程

12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的

13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态

14、9形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_

15、形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性_函数,他反映了单元的_位移_状态

16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号码差尽量小 .

17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_-

18、矩形单元的位移模式为__双线性位移模式_

19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性

20、单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系

21、矩形单元边界上位移是连续变化的

1. 诉述有限元法的定义

答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法

2. 有限元法的基本思想是什么

答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。

3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些

答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。

4. 有限元法有哪些优缺点

答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。

缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。

5. 梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定

答：由每个节点位移分量的总和确定

6. 简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义

答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵

单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1，其他节点位移分量等于0时，对应的第m个节点力分量。

7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么P14

答：Q——整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力）；整个结构的节点位移列阵；结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。

8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么

答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，引入边界条件，使整体刚度矩阵求的唯一解。

9. 简述整体刚度矩阵的性质和特点P14

答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。

10 简述整体坐标的概念P25

答：在整体结构上建立的坐标系叫做整体坐标，又叫做统一坐标系。

11. 简述平面钢架问题有限元法的基本过程

答：1）力学模型的确定，2）结构的离散化，3）计算载荷的等效节点力，4）计算各单元的刚度矩阵，5）组集整体刚度矩阵，6）施加边界约束条件，7）求解降价的有限元基本方程，8）求解单元应力，9）计算结果的输出。

12. 弹性力学的基本假设是什么。

答：连续性假定，弹性假定，均匀性和各向同性假定，小变形假定，无初应力假定。

13.弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么不同。

答：研究对象：材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。研究方法：弹性力学和材料力学既有相似之外，又有一定区别。弹性力学研究问题，在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出较精确的解答。而材料力学虽然也考

虑这几方面的条件，但不是十分严格的，材料力学只研究和适用于杆件问题。

14. 简述圣维南原理。

答；把物体一小部分上的面力变换为分布不同但静力等效的面力，但影响近处的应力分量，而不影响远处的应力。“局部影响原理”

15.平面应力问题和平面应变问题的特点和区别各是什么？试各举出一个典型平面应力和平面应变的问题的实例。

答：平面应力问题的特点：长、宽尺寸远大于厚度，沿板面受有平行板的面力，且沿厚度均匀分布，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用平面应变问题的特点：Z向尺寸远大于x、y向尺寸，且与z轴垂直的各个横截面尺寸都相同，受有平行于横截面且不沿z向变化的外载荷，约束条件沿z向也不变，即所有内在因素的外来作用都不沿长度变化。区别：平面应力问题中z方向上应力为零，平面应变问题中z方向上应变为零、应力不为零。举例：平面应力问题等厚度薄板状弹性体，受力方向沿板面方向，荷载不沿板的厚度方向变化，且板的表面无荷载作用。平面应变问题——水坝用于很长的等截面四柱体，其上作用的载荷均平行于横截面，且沿柱长方向不变法。

16. 三角形常应变单元的特点是什么？矩形单元的特点是什么？写出它们的位移模式。答：三角形单元具有适应性强的优点，较容易进行网络划分和逼近边界形状，应用比较灵活。其缺点是它的位移模式是线性函数，单元应力和应变都是常数，精度不够理想。

矩形单元的位移模式是双线性函数，单元的应力、应变式线性变化的，具有精度较高，形状规整，便于实现计算机自动划分等优点，缺点是单元不能适应曲线边界和斜边界，也不能随意改变大小，适用性非常有限。

17. 写出单元刚度矩阵表达式、并说明单元刚度与哪些因素有关。

答：单元刚度矩阵与节点力坐标变换矩阵，局部坐标系下的单元刚度矩阵，节点位移有关的坐标变换矩阵。

18. 如何由单元刚度矩阵组建整体刚度矩阵（叠加法）？

答：（1）把单元刚度矩阵扩展成单元贡献矩阵,把单元刚度矩阵中的子块按其在整体刚度矩阵中的位置排列，空白处用零子块填充。（2）把单元的贡献矩阵的对应列的子块相叠加，即可得出整体刚度矩阵。

19. 整体刚度矩阵的性质。

答：（1）整体刚度矩阵中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点沿坐标方形发生单位为移，而其他节点都保持为零的变形状态，在各节点上所需要施加的节点力；（2）整体刚度矩阵中的主对角元素总是正的；（3）整体刚度矩阵是一个对称阵；（4）整体刚度矩阵式一个呈带状分布的稀疏性矩阵。（5）整体刚度矩阵式一个奇异阵，在排除刚体位移后，他是正定阵。

20. 简述形函数的概念和性质。

答：形函数的性质有：(1)形函数单元节点上的值，具有“本点为一、他点为零”的性质；（2）在单元的任一节点上，三角函数之和等于1；（3）三角形单元任一一条边上的形函数，仅与该端点节点坐标有关，而与另外一个节点坐标无关；（4）型函数的值在0~1之间变换。21. 结构的网格划分应注意哪些问题.如何对其进行节点编号。才能使半带宽最小。P50，P8相邻节点的号码差最小

答：一般首选三角形单元或等参元。对平直边界可选用矩形单元，也可以同时选用两种或两种以上的单元。一般来说，集中力，集中力偶，分布在和强度的突变点，分布载荷与自由边界的分界点，支撑点都应该取为节点，相邻节点的号码差尽可能最小才能使半带宽最小22. 为了保证解答的收敛性，单元位数模式必须满足什么条件？

答：（1）位移模式必须包含单元刚体位移；（2）位移模式必须包含单元的常应变；（3）位移模式在单元内要连续，且唯一在相邻单元之间要协调。在有限单元法中，把能够满足条件1和条件2的单元称为完备单元，把满足条件3的单元叫做协调单元或保续单元。

23 有限元分析求得的位移解收敛于真实解得下界的条件。

答：1.位移模式必须包含单元的刚体位移，2.位移模式必须包含单元的常应变，3.位移模式在单元内要连续，且位移在相邻单元之间要协调。

24. 简述等参数单元的概念。

答：坐标变换中采用节点参数的个数等于位移模式中节点参数的个数，这种单元称为等参单元。

25. 有限元法中等参数单元的主要优点是什么？

答：1）应用范围广。在平面或空间连续体，杆系结构和板壳问题中都可应用。

2）将不规则的单元变化为规则的单元后，易于构造位移模式。

3）在原结构中可以采用不规则单元，易于适用边界的形状和改变单元的大小。

4）可以灵活的增减节点，容易构造各种过度单元。

5）推导过程具有通用性。一维，二维三维的推导过程基本相同。

26. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。

答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；（2）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵（4）用虚功原理球的单元刚度矩

阵，，最后用高斯积分法计算完成。

27. 为什么等参数单元要采用自然坐标来表示形函数？为什么要引入雅可比矩阵？

答：简化计算得到形函数的偏导关系。

28．ANSYS软件主要包括哪些部分？各部分的作用是什么？

答：1.前处理模块：提供了一个强大的实体建模及网络划分工具，用户可以方便地构造有限元模型。2.分析计算模块：包括结构分析、流体力学分析、磁场分析、声场分析、压电分析以及多种物理场的耦合分析，可以模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力。3.后处理模块：可将计算后果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示出来或输出。

29．ANSYS软件提供的分析类型有哪些？

答：结构静力分析、机构动力分析、结构非线性分析、动力学分析、热分析、流体力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析。

30．简述ANSYS软件分析静力学问题的基本流程。

答：1.前处理器：1）定义单元类型，2）定义实常数，3）定义材料属性，4）创建实体几何模型，5）划分网络；

2.求解器：1）定义分析类型，2）施加载荷和位移约束条件，3）求解；

三角形三节点单元的位移是连续的，应变和应力在单元内是常数，因而其相邻单元将具有不同的应力和应变，即在单元的公共边界上和应变的值将会有突变。

矩形单元的边界上，位移是线性变化的，显然，在两个相邻矩形单元的公共边界上，其位移是连续的。

节点的选用原则：一般说，集中力、集中力偶、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点、支承点都能赢取为节点。

单元的划分原则：（1）划分单元的数目，视要求的计算精度和计算机的性能而定。（2）单元的大小，可根据部位的不同而有所不同。

1、试述街节点力和节点载荷的区别。

节点力是单元与节点之间的作用力；如果取整个结构为研究对象，节点力为内力，节点载荷是作用在节点上的外载荷。

2、试述求整体刚度矩阵的两种方法。

分别建立各节点的平衡方程式，写成矩阵形式，可求得整体刚度矩阵；将各单元刚度矩阵按规律叠加，也可得整体刚度矩阵。

3、平面问题中划分单元的数目是否越多越好?

不是越多越好。划分单元的数目，视要求的计算精度和计算机的性能而定。随着单元数目的接连多，有限元解逐步逼近于真实解，但是，单元数目接连加，刚求解的有限元线性方程组的数目接连多，需要占用更多的计算机内存资源，求解时间接连长，所以，在计算机上进行有限元分析时，还要考虑计算机的性能。单元数过多并不经济。

4、写出单元刚度矩阵的表达式，并说明单元刚度与那些因素有关？

[B]-单元应变矩阵，[D]-弹性矩阵，t-厚度）单元刚度矩阵取决于单元的大小、方向、和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平移而改变。

5、选择多项式为单元的位移模式时，除了要满足单元的完备性和协调性要求，还须考虑什么因素？

还须考虑两个因素：1、所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关，即几何各向同性。

2、多项式位移模式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数，通常取多项式的项数与单元的外节点的自由度数想等。

三、简答题（每题4分，共28分）

1. 简要回答有限单元法解题的一般步骤。

1、（1）结构的离散化。

（2）单元分析。单元分析包括

（3）整体分析单元集成。把建立的单元刚度方程集成起来，形成结构整体刚度方程，称为有限元位移法基本方程。

（4）引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。

（5）由节点位移计算单元的应力与应变。

2.下图中的有限单元划分，哪种图示的单元划分好？为什么？

（a ） （b ）

答：根据误差分析，应力和位移的误差都和单元最小内角的正弦成正比，所以单元的三条边长尽量不要悬殊太大，力求接近相等。减少应力及位移的误差。例(a)图单元划分优于(b)图的单元划分。

3. 平面应力问题与平面应变问题各有什么特点? 答：平面应力问题特点：

（1）长、宽尺寸远大于厚度，z 向为厚度方向

（2）沿板面受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。

平面应变问题的特点

(1）z 向尺寸远大于x 、y 向尺寸，且与z 轴垂直的各个横截面尺寸都相同。

(2）受有平行于横截面（x 、y 平面）且不沿z 向变化的外载荷，约束条件沿z 向也不变。即所有内在因素和外来作用都不沿长度变化。

4.在平面三节点三角形单元中，能否选取?

??++=++=2

65242

3221),(),(y a xy a x a y x v y a x a x a y x u 为位移模式？为什么？

不能（1分）

位移函数的选择要考虑解答的收敛性，位移函数包含刚体位移及常量应变，即位移函数中要包含能反映单元刚体位移的常数项，上式中没有（2分），此外位移模式阶次的选择考虑几何各项同性，对于线性位移模式等价与必须包含常量应变，对高次位移模式应根据巴斯卡三角形来选择，若包括三角形对称轴一边的任意一项，必须包含另一边的对称项。 5. 在平面问题有限元法中，单元刚度矩阵有哪些性质？ 答：（1）单元刚度矩阵是对称矩阵。

（2）单元刚度矩阵中每个元素的都有明确的物理意义，单元刚度矩阵的主对角线上的元

素总是正的

（3）单元刚度矩阵是个带状、稀疏阵。单元刚度矩阵是个奇异阵，在消除刚体位移以后是正定的

（4）单元刚度矩阵的元素决定于单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元（或坐标轴）的平行移动或作n π（n 为整数）角度的转动而改变。

6. 试比较矩形单元与三角形单元的优缺点。在有限单元法中，常采用等参数单元，为什么？

答：(1)三角形单元采用线性位移模式，是常应力常应变单元。

（2）矩形单元为双线性位移模式，所以单元的应力、应变分量都不是常量。在弹性体中,若用相同数目的节点时，矩形单元比三角形单元能更好地反映应力急剧变化的情况，所以计算精度高。

(3)但矩形单元也存在明显的缺点：从单元的几何形状看，矩形单元比三角形单元的适应性要差。 ①不能适应斜交边界和曲线边界； ②不便于对结构不同部位采用大小不等的单元，以便提高有限元分析计算的效率和精度 等参数单元能很好地适应曲线边界，准确地模拟结构形状；这种单元具有较高次的位移模式，能更好地反映结构的复杂应力分布情况，即使单元网格划分比较稀疏，也可以得到比较好的计算精度。所以等参数单元被广泛应用。

7、在有限元分析计算中，为了保证解答的收敛性，选取的位移模式必须满足什么条件？ 答：（1）位移模式必须包含单元的刚体位移。 （2）位移模式必须包含单元的常应变。

（3）位移模式既能使单元内部的位移保持连续，又能使相邻单元之间的位移保持连续。 四、计算题（共37分）

1、已知如图所示的三角形单元，设其厚度为t ，弹性模量为E ，泊松比为μ，三角形单元的结点坐标如图1所示，

试求：1）形函数矩阵，[N] 2）应力矩阵[S] 3）单元刚度矩阵K

4）当 时单元的应力分量。

图1 三结点三角形单元

1、解：（1）求各系数:由于

1,1,0,0,1,0i j m i j m x x x y y y ======

所以：

1

110

21

11111100

i i

j

j m

m x y x y x y ?=== 2

1

=?

所以

m m 001011110i j m m j j i j i j m j m i i m j j i m m i j j i m i j m j i a x y x y a x y x y b y y b y y c x x c x x a x y x y b y y c x x ??=-==-=??=-==-=????=-=-=-=???=-=?

=-=-??

=-=? 以及0

1=====-=m m

j i i j u u ，u υυυ

1

()2i i i i N a b x c y x y =

++=-? 1()2j j j j N a b x c y y =++=?

x y c x b a N m m m m -=++?=1)(21

所以行函数矩阵为00100001x y

y x x y y x --????--??

2

2

(2)112(1)111112

22

2i

j

m i i i i i

i i i S S S S b c E

E S DB b c A c b μμμμμμ

μ

μμμ??=??

??

?

???

??-????===-????--?

?

??

-----??????

??

同理 2

1001102m E

S μμμ??

??-??=-??-??--????

所以

210101*********

02

22

2E S μμ

μμμμμμμ?

?

??

--??

=--??-?

?------??

??

（3）T e k B StA =

000110j B ????=?????? 100001m B -??

??=??

??-??

[]

[]T T i i e

T T j i j m j i

j

m T T m m B B k B D B B B tA B S S S tA

B B ??????

??

????==??????????????

??

[]0101

001211i

i i i

i b B c A c b ????

????==-????????-????

[]()20011102j j E S D B μμμ????

??????==??????-??

-?

???

1000-10=0-10100-11100-1B ??

????????

所以

2

313111

222213311

1222211110022222(1)1

010*********

2

2

2

2e Et k μ

μμμμ

μμμμμ

μμμμμμμμ

μμμμμ----??-

-

-??

?

?----??---

????----??--

=??-??

--?

?--????

----??--??

（4）

2.用刚度集成法求下图所示结构的整体刚度矩阵K 。并比较每种情况带宽大小。（12分） 要求：单元刚度矩阵元素用e

ij k 形式表示。

2.用刚度集成法求下图所示结构的整体刚度矩阵K 。并比较每种情况带宽大小。（12分） 图1刚度矩阵K

{}[]{}

22

001010010101111111100

002

2

2

20e

E E

S μμ

μσδμμμμμμμμ????

????

??---????????==-=-??????---?????

?----??

??

--??????

??

第一种： 半带宽d=6，

第二种半带宽d=10 （2分）

3、直接写出单元的等效节点力。（8分）

（1）图1所示，三角形单元ijm 的厚度为t ，im 边的长度为1，在mi 边上受有集度为

?

??

???=sy sx s q q q 的均布载荷。 （2)如图2所示，三角形单元ijm 受到水平方向线性分

布的载荷，假设jm 边的长度为L 。3、直接写出单元的等效节点力。（8分） （1）00

2

2

2

2sy sy sx

sx q q q q t ???

???

（2）21000

03

3qtL ??

???

?

O y

y