重庆市万州区2015届高考数学一诊试卷(理科)

重庆市万州区2015届高考数学一诊试卷（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.选出正确的答案，并将其字母代号填在答题卡规定的位置上. 1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，M={3，5}，N={1，4，5}，则M∩（?U N）=（）A．{5} B．{3} C．{2，3，5} D．{1，3，4，5}

2．（5分）已知等差数列{a n}中，a3+a7﹣a10=0，a11﹣a4=4，记S n=a1+a2+…+a n，则S13=（）A．52 B．56 C．68 D．78

3．（5分）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（）

A．B．2C．D．1

4．（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为

”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）

A．﹣3 B．﹣C．2D．

6．（5分）8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有（）

A．C83B．C83A83C．C83A22D．3C83

7．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则

实数a的值为（）

A．或﹣1 B．1或﹣C．2或1 D．2或﹣1

8．（5分）已知函数f（x）=alog2x+blog3x+2且f（）=4，则f的值为（）

A．﹣4 B．2C．0D．﹣2

9．（5分）f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）

A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数

C．f（x+1）一定是奇函数D．f（x+1）一定是偶函数

10．（5分）已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若=x+y，且2x+10y=5，则△ABC 的面积为（）

A．24 B．C．18或D．24或20

二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共25分）把答案填写在答题卷相应的位置上，其中11～13是必做题，14～16是选做题.（一）必做题（11～13题）

11．（5分）若复数是纯虚数，则实数a=．

12．（5分）设双曲线的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：3，则双曲线的离心率等于．

13．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关y轴对称的点，则a的取值范围是．

三、【选修4-1：平面几何选讲】（共1小题，每小题5分，满分5分）

14．（5分）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=．

四、【选修4-4：极坐标与参数方程】（共1小题，每小题5分，满分5分）

15．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin（θ﹣）=1的距离是．

五、【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，每小题0分，满分0分）

16．已知关于x的不等式|x+1|+|x﹣2|≤（a+）（+b）对任意正实数a、b恒成立，求实数x

的取值范围．

三．解答题（本大题共6小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷的指定区域内.

17．（13分）首届重庆三峡银行?长江杯乒乓球比赛于2014年11月14﹣16日在万州三峡之星举行，决赛中国家乒乓队队员张超和国家青年队队员夏易正进行一场比赛．根据以往经验，

单局比赛张超获胜的概率为，夏易正获胜的概率为，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三

局的人获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．试求：

（1）比赛以张超3胜1败而宣告结束的概率；

（2）令ξ为本场比赛的局数．求ξ的概率分布和数学期望．

18．（13分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且在前n项和中S4最大．（1）求{a n}的通项公式；

（2）设b n=，n∈N+．

①求证：b n+1＜b n≤；

②求数列{b2n}的前n项和T n．

19．（13分）函数f（x）=（m＞0），x1，x2∈R，当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=．（1）求m的值；

（2）解不等式f（log2（x﹣1）﹣1）＞f（（x﹣1）﹣）．

20．（12分）已知函数f（x）=[2sin（x+）+sinx]cosx﹣sin2x．

（1）若函数y=f（x）的图象关于直线x=a（a＞0）对称，求a的最小值；

（2）若函数y=mf（x）﹣2在x∈[0，]存在零点，求实数m的取值范围．

21．（12分）如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，?=1，且斜率为的直线m与椭圆交于不同的两点，这两点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：

是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（x+1）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．

（1）求实数a的取值范围，并讨论函数f（x）的单调性；

（2）若对任意的x∈（x1，+∞），都有f（x）＞k成立，求实数k的取值范围．

重庆市万州区2015届高考数学一诊试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.选出正确的答案，并将其字母代号填在答题卡规定的位置上. 1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，M={3，5}，N={1，4，5}，则M∩（?U N）=（）A．{5} B．{3} C．{2，3，5} D．{1，3，4，5}

考点：交、并、补集的混合运算．

专题：集合．

分析：根据集合的基本运算进行求解即可．

解答：解：∵U={1，2，3，4，5}，M={3，5}，N={1，4，5}，

∴?U N={2，3}，M∩（?U N）={3}，

故选：B

点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2．（5分）已知等差数列{a n}中，a3+a7﹣a10=0，a11﹣a4=4，记S n=a1+a2+…+a n，则S13=（）A．52 B．56 C．68 D．78

考点：等差数列的前n项和．

专题：等差数列与等比数列．

分析：已知两式相加由等差数列的性质可得a7=4，再由求和公式和性质可得S13=13a7，代值计算可得．

解答：解：∵等差数列{a n}中，a3+a7﹣a10=0，a11﹣a4=4，

∴两式相加可得（a3+a11）+a7﹣（a4+a10）=4，

由等差数列的性质可得a3+a11=a4+a10=2a7，

代入上式可得a7=4，

∴S13==13a7=52，

故选：A

点评：本题考查等差数列的求和公式和性质，熟练掌握公式并转化为a7是解决问题的关键，属基础题．

3．（5分）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（）

A．B．2C．D．1

考点：抛物线的简单性质；点到直线的距离公式．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线的距离．

解答：解：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），

∴点F（2，0）到直线的距离d==1．

故选D．

点评：熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．

4．（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为

”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．

专题：直线与圆；简易逻辑．

分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，

则圆心到直线距离d=，|AB|=2，

若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．

若△OAB的面积为，则S==×2×==，

解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．

故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．

故选：A．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．

5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）

A．﹣3 B．﹣C．2D．

考点：循环结构．

专题：图表型；算法和程序框图．

分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，s的值，当i=4时，不满足条件i＜4，退出循环，输出s的值为2．

解答：解：执行程序框图，可得

i=0，s=2

满足条件i＜4，i=1，s=

满足条件i＜4，i=2，s=﹣

满足条件i＜4，i=3，s=﹣3

满足条件i＜4，i=4，s=2

不满足条件i＜4，退出循环，输出s的值为2．

故选：C．

点评：本题主要考察了程序框图和算法，每次循环正确得到s的值是解题的关键，属于基础题．

6．（5分）8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有（）

A．C83B．C83A83C．C83A22D．3C83

考点：排列、组合的实际应用．

专题：排列组合．

分析：先考虑从8人中任选3人的方法数，再考虑3人位置全调的方法数，利用分步计数原理可求．

解答：解：从8人中任选3人有C83种，3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，因此有A22种，故有C83A22种．

故选C．

点评：本题主要考查排列组合知识，关键是问题的等价转化．

7．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则

实数a的值为（）

A．或﹣1 B．1或﹣C．2或1 D．2或﹣1

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=2ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．

解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．

由z=y﹣2ax得y=2ax+z，即直线的截距最大，z也最大．

若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，

若a＞0，目标函数y=2ax+z的斜率k=2a＞0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，

则直线y=2ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时2a=2，即a=1．

若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，

则直线y=2ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时2a=﹣1，解得a=﹣

综上a=1或a=﹣，

故选：B

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论．

8．（5分）已知函数f（x）=alog2x+blog3x+2且f（）=4，则f的值为（）

A．﹣4 B．2C．0D．﹣2

考点：对数的运算性质．

专题：函数的性质及应用．

分析：首先构造函数F（x）=f（x）﹣2，然后判断出设F（x）是奇函数，最后根据奇函数的性质，求出F的值，进而求出f的值即可．

解答：解：设F（x）=f（x）﹣2，

则F（）=f（x）﹣2=alog2+blog3=﹣（alog2x+blog3x）=﹣F（x），

∴F=﹣f（）=﹣（4﹣2）=﹣2

∴f=F+2=﹣2+2=0

故选：C

点评：此题主要考查了函数的奇偶性质的运用，考查了对数的运算性质，属于基础题，解答此题的关键是构造出函数设F（x）=f（x）﹣2，并判断出它是奇函数．

9．（5分）f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）

A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数

C．f（x+1）一定是奇函数D．f（x+1）一定是偶函数

考点：正弦函数的奇偶性；三角函数的最值．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：由题意根据图象平移可以判定A、B、C是错误的，验证D即可．

解答：解：f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值

图象左移一个单位，是偶函数，即f（x+1）是偶函数，所以判定A、B、C是错误的．

故选D．

点评：本题考查正弦函数的奇偶性，三角函数的最值，是基础题．

10．（5分）已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若=x+y，且2x+10y=5，则△ABC 的面积为（）

A．24 B．C．18或D．24或20

考点：向量在几何中的应用．

专题：平面向量及应用．

分析：取AC中点为D，则OD⊥AC，把写为=+，然后用两种方法写出，由数量积

相等结合2x+10y=5，需要分类讨论，当x≠0求得cos∠BAC，进一步得到其正弦值，代入三角形的面积公式求得三角形ABC的面积，当x=0时，得到三角形为直角三角形，求出面积，问题得以解决

解答：解：取AC的中点，则OD⊥AC，⊥

如图所示∵=+，

∴?=?+=cos0°=5×10=50，

∵=x+y，

∴?=（x+y）

?=x+y=x||||cos∠BAC+y=60x?cos∠BAC+100y，

∴60x?cos∠BAC+100y=50

∵2x+10y=5，

∴60xcos∠BAC=20x，

当x≠0时，

∴cos∠BAC=，

∴sin∠BAC=，

∴S△ABC=AB?AC?sin∠BAC=×6×10×=20

当x=0时，则y=，

∴=0+，

∴=，

∴点A，0，C共线，

∴即点O为AC的中点，

∴三角形ABC以B为直角的直角三角形，

∴BC===8，

∴S△ABC=AB?BC=×6×8=24

故选：D

点评：本题考查了向量在几何中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．

二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共25分）把答案填写在答题卷相应的位置上，其中11～13是必做题，14～16是选做题.（一）必做题（11～13题）

11．（5分）若复数是纯虚数，则实数a=．

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：数系的扩充和复数．

分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．

解答：解：∵复数===+i是纯虚数，∴=0，≠0，解得a=．

故答案为：．

点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．

12．（5分）设双曲线的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：3，则双曲线的离心率等于．

考点：双曲线的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：3，不妨设|PF1|=6m，|F1F2|=5m，|PF2|=3m，由双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到．

解答：解：根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：3，

不妨设|PF1|=6m，|F1F2|=5m，|PF2|=3m，

由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=3m，

又2c=|F1F2|=5m，

则双曲线的离心率等于=，

故答案为：．

点评：本题主要考查双曲线的定义，考查双曲线的离心率，属于基础题．

13．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关y轴对称的点，则a的取值范围是（﹣∞，）．

考点：函数的图象．

专题：函数的性质及应用．

分析：把函数图象点的对称问题转化为a=﹣x有解即可，利用导数判出最大值，即可得出a的范围．

解答：解：设x＞0，g（x）=x2+ln（x+a）图象上一点P（x，y），

则P′（﹣x，y）在函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）的图象上，

∴（﹣x）2+e﹣x﹣=x2+ln（x+a），

化简得a=﹣x有解即可，

令h（x）=﹣x，

则h′（x）=）=?（﹣e﹣x）﹣1=﹣﹣1＜0，

∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，

即h（x）＜h（0）=

要使a=﹣x有解，

只需要a＜，即可

故a的取值范围是（﹣∞，），

故答案为：（﹣∞，）

点评：本题考察函数的性质在求解方程有解中的应用，知识综合大，属于中档题．

三、【选修4-1：平面几何选讲】（共1小题，每小题5分，满分5分）

14．（5分）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=4．

考点：与圆有关的比例线段．

专题：选作题；立体几何．

分析：利用切割线定理可得QA2=QC?QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．

解答：解：∵QA是⊙O的切线，

∴QA2=QC?QD，

∵QC=1，CD=3，

∴QA2=4，

∴QA=2，

∴PA=4，

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴PB=PA=4．

故答案为：4．

点评：本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．

四、【选修4-4：极坐标与参数方程】（共1小题，每小题5分，满分5分）

15．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin（θ﹣）=1的距离是1．

考点：点的极坐标和直角坐标的互化．

专题：坐标系和参数方程．

分析：把极坐标化为直角坐标的方法，利用点到直线的距离公式求得结果．

解答：解：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，

可得点（2，）即（，1）；

直线ρsin（θ﹣）=1即﹣x+y=1，即x﹣y+2=0，

故点（，1）到直线x﹣y+2=0的距离为=1，

故答案为：1．

点评：本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

五、【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，每小题0分，满分0分）

16．已知关于x的不等式|x+1|+|x﹣2|≤（a+）（+b）对任意正实数a、b恒成立，求实数x 的取值范围．

考点：绝对值不等式的解法．

专题：不等式的解法及应用；不等式．

分析：将不等式的右边化简，运用基本不等式可得最小值为4，则需解不等式|x+1|+|x﹣2|≤4，讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜2时，当x≥2时，去绝对值，解不等式，最后求并集即可．

解答：解：由于a，b＞0，（a+）（+b）=2+ab+

=4，当且仅当ab=1时取“=”号，

∴（a+）（+b）的最小值为4，

∴|x+1|+|x﹣2|≤4，

当x≤﹣1时，﹣x﹣1+2﹣x≤4，解得，x≥﹣，则有﹣≤x≤﹣1；

当﹣1＜x＜2时，x+1+2﹣x≤4，即3≤4成立，则有﹣1＜x＜2；

当x≥2时，x+1+x﹣2≤4，解得，x≤，则有2≤x≤．

综上x的取值范围是[﹣，]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式的运用：求最值，考查不等式恒成立问题转化为求最值问题，考查运算能力，属于中档题．

三．解答题（本大题共6小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷的指定区域内.

17．（13分）首届重庆三峡银行?长江杯乒乓球比赛于2014年11月14﹣16日在万州三峡之星举行，决赛中国家乒乓队队员张超和国家青年队队员夏易正进行一场比赛．根据以往经验，

单局比赛张超获胜的概率为，夏易正获胜的概率为，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三

局的人获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．试求：

（1）比赛以张超3胜1败而宣告结束的概率；

（2）令ξ为本场比赛的局数．求ξ的概率分布和数学期望．

考点：离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．

专题：概率与统计．

分析：（1）以张超3胜1负而结束比赛，则张超第4局必胜而前3局必有1局败．由此能求出比赛以张超3胜1败而宣告结束的概率．

（2）ξ的所有取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）以张超3胜1负而结束比赛，则张超第4局必胜而前3局必有1局败．

∴所求概率为

（2）ξ的所有取值为3，4，5，

P（ξ=3）=，

P （ξ=4）=，

P （ξ=5）=，

∴ξ的分布列为： ξ 3 4 5

P

∴E ξ=3×+4×

+5×

=

．

点评： 本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．

18．（13分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=10，a 2为整数，且在前n 项和中S 4最大．（1）求{a n }的通项公式； （2）设b n =

，n ∈N +

．

①求证：b n+1＜b n ≤；

②求数列{b 2n }的前n 项和T n ．

考点： 数列的求和．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）利用等差数列的通项公式及其性质即可得出； （2）①利用数列的单调性即可证明；

②利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可得出． 解答： 解：（1）由a 1=10，a 2为整数，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，即10+3d ≥0，10+4d ≤0，

解得，

因此d=﹣3．

数列{a n }的通项公式为a n =10﹣3（n ﹣1）=13﹣3n ． （2）①证明：由（1）可知：b n =

=

，

∴b n+1﹣b n =

＜0，

∴数列{b n }是单调递减数列，{b n }的最大项为b 1=． ∴b n+1＜b n ≤． ②解：

，

，

两式相减可得=﹣

=﹣，

∴T n=．

点评：本题考查了数列的单调性、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

19．（13分）函数f（x）=（m＞0），x1，x2∈R，当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=．（1）求m的值；

（2）解不等式f（log2（x﹣1）﹣1）＞f（（x﹣1）﹣）．

考点：对数函数图象与性质的综合应用．

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：（1）由得，代入x1+x2=1化简可得

或2﹣m=0；从而解m；

（2）由（1）知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，故不等式

可化为

，从而解得．

解答：解：（1）由得，，

∴，

∵x1+x2=1，

∴，

∴或2﹣m=0；

∵，

而m＞0时2﹣m＜2，

∴，

∴m=2．

（2）由（1）知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，

由得，

，

∴，

∴不等式的解集为．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．

20．（12分）已知函数f（x）=[2sin（x+）+sinx]cosx﹣sin2x．

（1）若函数y=f（x）的图象关于直线x=a（a＞0）对称，求a的最小值；

（2）若函数y=mf（x）﹣2在x∈[0，]存在零点，求实数m的取值范围．

考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=2sin（2x+），由函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，可得2a+=kπ+k∈z，由此求得a的最小正值．

（2）设x0∈[0，]，由mf（x0）﹣2=0，可得m=，再利用正弦函数的定义域和值域求得sin（2x0+）的范围，可得m的范围．

解答：解：（1）函数f（x）=[2sin（x+）+sinx]cosx﹣sin2x=2sinxcosx+cos2x﹣sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．

又因为函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，

所以2a+=kπ+k∈z，即a=+．

又因为a＞0，所以a的最小值为．

（2）设x0∈[0，]，满足mf（x0）﹣2=0，可得m==，

∵≤2x0+≤，∴﹣≤sin（2x0+）≤1，

∴m∈（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．

21．（12分）如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，?=1，且斜率为的直线m与椭圆交于不同的两点，这两点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：

是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：（1）设椭圆方程为，利用数量积运算可得，可

得1=a2﹣c2．直线m的方程为，x=c时

代入椭圆方程可得，联立解得即可．

（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由k MF=﹣1可得k PQ=1．设直线l为y=x+m，与椭圆方程联立可得3x2+4mx+2m2﹣2=0

（*）．把根与系数的关系代入，化简整理即可得出．

解答：解：（1）设椭圆方程为，

∵，即（a+c）?（a﹣c）=1=a2﹣c2，

∴b2=a2﹣c2=1①

由题意知，直线m的方程为，对于当x=c时

由已知得，点在椭圆上，∴，②

由①②得c2=1，∴a2=2．

故椭圆方程为．

（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∵M（0，1），F（1，0），∴k MF=﹣1．

∵PQ⊥MF，

∴k PQ=1．

设直线l为y=x+m，

联立得3x2+4mx+2m2﹣2=0（*）．

∴，．

∵，

又y i=x i+m（i=1，2），得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0即

，

∴，

化简得3m2+m﹣4=0解得或m=1，

经检验m=1不符合条件，故舍去，符合条件．

则直线l的方程为：．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（x+1）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．

（1）求实数a的取值范围，并讨论函数f（x）的单调性；

（2）若对任意的x∈（x1，+∞），都有f（x）＞k成立，求实数k的取值范围．

考点：利用导数研究函数的极值．

专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．

分析：（1）求导（x＞﹣1），再令g（x）=2x2+2x+a（x ＞﹣1），则其对称轴为，从而可得；从而解a；

可知，其中﹣1＜x1＜x2，从而由导数确定

函数的单调性；

（2）由（1）可知f（x）在区间（x1，+∞）上的最小值为f（x2），从而得到

，从而可得，化简

，设h（x）=x2﹣（2x2+2x）

ln（x+1），其中；求导h′（x）=2x﹣2（2x+1）ln（x+1）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（x+1），从而化恒成立问题为最值问题．

解答：解：（1）由f（x）=x2+aln（x+1）可得（x＞﹣1），令g（x）=2x2+2x+a（x＞﹣1），则其对称轴为，

故由题意可知x1，x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实数根，

其充要条件为；

解得；

可知，其中﹣1＜x1＜x2，故

①当x∈（﹣1，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（﹣1，x1）上单调递增，

②当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（x1，x2）上单调递减，

③当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，+∞）上单调递增；

（2）由（1）可知f（x）在区间（x1，+∞）上的最小值为f（x2），

又由于g（0）=a＞0，因此．

又由，

可得，

从而，设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（x+1），其中；

则h′（x）=2x﹣2（2x+1）ln（x+1）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（x+1），

由知：2x+1＞0，ln（x+1）＜0，

故h′（x）＞0，故h（x）在上单调递增；

所以，；

所以，实数k的取值范围为．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用，属于中档题．