江苏省数学学业水平测试指导用书第10章概率统计

第10章概率统计

§10.1 计数原理

【知识要点】

1．分类计数原理

做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有m n种方法，无论通过哪种办法的哪种方法，都可以独立完成这件事，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法．

2．分步计数原理

做一件事情，完成它分成n个步骤，做第一步中有m1种不同的方法，做第二步中有m2种不同的方法，…，做第n步中有m n种不同的方法，必须经过每一步步骤才能完成这件事，那么完成这件事共有N=m1·m2·…·m n种不同的方法．

【基础训练】

1．书架上层有5本不同的数学书，6本不同的语文书．现从中任取一本，有种不同的取法；若从中各取一本，有不同的取法．

2．由1，2，3可以组成个没有重复数字的两位数．

3．从5名男生和5名女生中任选1人参加校合唱队，那么不同的选法有（）．

A．1种B．5种C．10种D．25种

4．从2，3，5三个数字任选两个作为分数的分子和分母，那么不同的分数有（）．A．3种B．4种C．5种D．6种

【能力训练】

1．从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有4条路可走；又从甲地不经过乙地到丙地有3条路可走．那么从甲地到丙地共有种不同的走法．

2．有不同的语文书3本，不同的数学书4本，不同的英语书5本．

（1）从中任选一本，有多少种不同的取法？

（2）从中各选一本，有多少种不同的取法？

3．邮局门前有3个邮筒，现将4封信逐一投入邮筒，共有多少种不同的投法？

§10.2 随机事件和概率

【知识要点】

1．随机事件的概念

在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，简称事件，通常用大写字母A，B，C，……表示．

在一定的条件下，必然会发生的事件叫做必然事件，用字母Ω表示．

在一定的条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件，用字母?表示．

2．频率和概率

频率是指多次重复试验中某随机事件A发生的次数与试验次数的比值．

对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着实验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定．我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A) ．这种概率叫做统计概率．显然，必然事件的概率P(Ω)=1，不可能事件的概率P(?)=0．

【基础训练】

1．分别用“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”填空：

（1）“抛掷一枚骰子，出现的点数小于7”是；

（2）“当x取任一实数时，总有x2<0”是；

（3）“某人射击一次，中10环”是．

2．下列事件中，概率为1的是（）．

A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．对立事件

3．下列现象不是随机现象的是（）．

A．掷一枚硬币着地时反面朝上B．明天下雨

C．三角形的内角和为180°D．买一张彩票中奖

（1）计算表中击中靶心的频率；

（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率估计值是多少？

§10.3 概率的简单性质

【知识要点】

1．互斥事件：

在一次实验中不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．

把事件A或事件B至少有一个发生的事件称为事件A与B的和，记作A∪B．

2．对立事件：

把在一次实验中，其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件．一个事件A的对

3．概率的简单性质

（1）性质1 P(Ω)=1，P( )=0．

（2）性质2 对于任一事件A，0≤P(A)≤1．

（3）性质3 如果A、B是互斥事件，那么P(A∪B)= P(A)+ P(B) ．

（4）性质4 一个事件A P P(A) ．

【基础训练】

1．已知事件A，B互斥，P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(A∪B)= ．

2．口袋中有红球、黄球与蓝球各若干个，摸出红球的概率为0.4，摸出蓝球的概率为0.5，则摸出黄球的概率是．

【能力训练】

3．甲、乙两人下棋，和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是0.3，则甲获胜的概率是，甲不输的概率是．

1．某射手射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率是0.24，0.28，0.19，0.16，计算这名射手射击一次．求：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）至少射中7环的概率．

§10.4 等可能事件的概率

【知识要点】

1．基本事件

如果一个随机事件中只含有一种可能的结果，那么这个事件就是基本事件。 2．古典概型

如果一个随机试验可能出现的结果只有有限个，即基本事件总数是有限的，并且每个基本事件发生的可能性相同，那么称这样的随机试验为古典概型试验，简称古典概型．

在古典概型中，如果基本事件的总数为n ，那么任一基本事件A i （i =1，2，…，n ）发生的概率P (A i )=

n

1

；而包含m 个基本事件的事件A 的概率为A ()m P A n =

=

事件包含的基本事件数

基本事件总数

，这种概率叫做古典概率． 【基础训练】

1．由1，2，3三个数字组成无重复数字的两位数，现从中任意取出一个两位数，写出这个试验的全部基本事件．

2．抛掷两枚质地均匀的硬币，写出这个随机试验中所有的基本事件。 3．从1，2，3，4，5中任取一个数，取到的数是奇数的概率是 ． 4．抛掷一枚质地均匀的骰子，则向上的点数是偶数的概率是 ． 5．从54张扑克牌中任意抽取一张，抽到的扑克牌为梅花的概率是 ． 6．先后抛掷两枚硬币，出现“一正一反”的概率是（ ）． A ．

41 B ． 31 C ．21 D ．4

3 7．书架上有语文、英语、数学、物理、化学共5本不同的书，现从中任抽一本，则没有抽到物理书的概率是（ ）．

A ．

51 B ． 52 C ．53 D ．5

4 【能力训练】

1．在一个盒子中有编号为1到10的10个相同的小球，现从中任取一球，求下列事件的概率．

（1）A ={球的标号数不大于4}； （2）B ={球的标号数为3的倍数}； （3）C ={球的标号数为2或3的倍数}。

§10.5 总体、样本和抽样方法

【知识要点】

1．总体与样本

把所考察的对象的某项指标值的全体作为总体，构成总体的每一个指标值作为个体，从总体中抽出若干个个体所组成的集合叫做样本，样本中所包含的个体数量叫做样本容量．2．简单随机抽样

从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时各个个体被抽到的概率相等，这种抽样方法称为简单随机抽样．

常用的简单随机抽样方法有抽签法、随机数表法．

3．系统抽样

当总体所含的个体较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先制定的规则，从每个部分中抽取一个个体，得到所需的样本，这样的抽样方法称为机械抽样或系统抽样．4．分层抽样

当总体由差别明显的几个部分组成时，为了使抽样更客观地反映总体情况，可先将总体中各个个体按差别特征，分成层次分明且互不重叠的几部分，然后按各部分在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样，其中所分成的各个部分称为“层”．【基础训练】

1．某职业学校高一有15个班，为了了解学生的课外兴趣爱好，对每班的5号进行问卷调查．这里运用的抽样方法是（）．

A．分层抽样B．抽签法C．随机数表法D．系统抽样2．某工厂从生产流水线上每隔3分钟取一个样品进行检测，这种抽样方法是（）．A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．其他抽样方法

3．从全班45名学生中抽取5名学生进行体能测试，下列说法正确的是（）．

A．总体是45 B．个体是每个学生C．样本是5名学生D．样本容量是5

4．某职业学校共有教职工140名，其中教师105名，管理人员14名，后勤人员21名．为了了解职工对学校管理的意见，从中抽取一个容量为20的样本，要用抽样方法，抽取的三类人员的人数分别是，，．

5．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的仪器，数量之比是2：3：5，现采用分层抽样的方法抽取一容量为50的样本，则样本中这三种不同型号的仪器分别有 件， 件， 件．

【能力训练】

某中专学校高一新生机电类学生约200人，信息类学生约250人，服务类学生约150人．学生处为了了解学生刚入学时的适应情况，请你设计一个方案，得到一个容量为60人的样本？

§10.6 总体分布估计

【知识要点】

当采用随机抽样完成样本数据收集后，要通过样本数据估计总体分布情况，就需要把收集到得数据分布情况整理出来．列频率分布表、画频率分布直方图是对数据进行加工整理的两种基本方法．

【基础训练】

1．数据2，4，6，8，10，12的极差是 ． 2

则第4组的频数和频率分别是 ， ．

3．200辆汽车通过一段公路时的速度频率分布直方图如下，则时速在[50,60）汽车大约 有 辆．

1．在对100个数据进行整理后的频数分布表中，各组的频率之和和频数之和分别是（ ）．

A ．100，1

B ． 100，100

C ．1，100

D ．1，1

2．

一个样本的容量为n ，分组后某一组的频数和频率分分别是40，0.25，则n 是（ ）． A ．10 B ． 40 C ．100 D ．160 3．某班级40名学生的数学平时成绩，其分组和各组的频数如下表

km/时）

则及格人数的概率是（ ）．

A ．0.12

B ． 0.28

C ．0.3

D ．0.7 【能力训练】

某学校为了了解高一新生每月的零花钱使用情况，通过随机抽样，抽取了100名学生进

根据上述样本频率分布直方图，估计该校高一新生中， （1）零花钱用于哪方面的费用最多？大约占多少？ （2）用于手机的费用大约占多少？

（3）若某生每月零花钱为500元，估计该生用于学习（包括资料和文具）的费用大约是多少？

§10.7 总体特征值估计

【知识要点】 1．样本平均数 称

n

a a a n

+++ 21为这n 个数据a 1，a 2，…，a n 的算术平均数或均值，记作

∑==+++=n i i n a a a a a 1

211 ，

如果这n 个数是从总体中抽取的一个样本，那么a 叫做样本均值．

若取值为x 1，x 2，…，x n 的频率分布为p 1，p 2，…，p n ，则其平均数为

x =x 1 p 1 + x 2 p 2+…+x n p n ．

2．样本方差

若一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则称21

2

)(1∑=-=n

i i x x n s 为这个样本的方差，

其算术平方根21

)(1∑=-n

i i x x n 称为样本的标准差． 【基础训练】

1．数据1，2，3，4，5，6的平均数是 ，方差是 ． 2．已知一组数据75，70，x ，80的平均数为75，则x 的值是 ．

3．小明参加学校举办的英语竞赛，参赛项目阅读、作文、听力和口语的成绩分别是90分、80分、80分、70分．若将阅读、作文、听力和口语的成绩分别按30%、30%、20%、20%的比例计算总分，小明的总得分是 。

4．某学校篮球队的5名队员身高（单位：cm ）分别是185，178，184，183，180，则这些队员的平均身高是（ ）．

A ．183

B ．182

C ．181

D ．180 5．给出5个数90，93，94，93，90，则这5个数的平均值和方差分别是（ ）． A ．92，2 B ．92，2.8 C ．93，2 D ．93，2.8 【能力训练】

1．某班共有50名学生，其中30名男生平均身高1.7m ，20名女生平均身高1.6m ．那么这个班学生的平均身高是 ．

2．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均值是2，则x 1+1，x 2+1，…，x n +1的平均值是（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．甲乙两名学生某门课程的5次测试成绩分别如下（单位：分）： 甲 60 80 70 90 70 乙 80 65 70 80 75 问：哪位学生成绩比较稳定？