数列解题方法总结

第一课 等差数列与等比数列的判断与证明：

证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

1、定义法

01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：

{}1()n n n a a d a +-=?常数是等差数列

{}2222()n n n a a d a +-=?常数是等差数列

{}3333()n n n a a d a +-=?常数是等差数列

02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：

{}1(2)n n n a a a d n --=≥?是等差数列

{}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥?是等差数列

03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

{}1

(00)n n n

a q q a a +=≠≠?1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

1

n

n a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ?为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有

1

n

n a q a -==（常

数0≠）；②n *

∈N 时，有

1

n n

a q a +==（常数0≠）．

2、中项法

(1).(充要条件)

若{}1

22n n n n a a a a ++=+?是等差数列

(注：三个数c b a ,,为等差数列的充要条件是:c a b +=2)

(充分条件)

211-++=n n n a a a (2≥n ){}n a ?是等差数列， （2）.(充要条件)

若 2

21(0)n n n n a a a a ++=≠ {}n a ?是等比数列

(充分条件)

1

12-+?=n n n a a a （n ≥1）{}n a ?是等比数列，

注:

(0)b a c =?>?是a 、b 、c 等比数列的充分不必要条件

b =?是a 、b 、

c 等比数列的必要不充分条件.

(0)b a c =?>?是a 、b 、c 等比数列的充要条件.

任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个.

3、通项公式与前n 项和法

1. 通项公式法

（1）.若数列通项n a 能表示成n a an b =+（a b ，为常数）的形式， 则数列{}n a 是等差数列。(充要条件)

(2).若通项n a 能表示成n n a cq =(c q ，均为不为0的常数，n +∈N )的形式， 则数列{}n a 是等比数列．(充要条件) 2. 前n 项和法

(1).若数列{}n a 的前n 项和S n 能表示成2

n S an bn =+ (a ，b 为常数)的形式，

则数列{}n a 是等差数列；(充要条件)

(2).若S n 能表示成n

n S Aq A =-(A

q ，均为不等于0的常数且q ≠1)的形式， 则数列{}n a 是公比不为1的等比数列． (充要条件)

〖例1〗已知数列{a n }满足a 1＝2a ，a n ＝2a －1

2

-n a a （n≥2）．其中a 是不为0的常数，令b n ＝a

a n -1

。求证：数列{b n }是等差数列。

〖例2〗已知公比为3的等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*

,3N n b n a

n ∈=，且11=a ，判断

{}n a 是何种数列，并给出证明。

例 3.已知数列{}n a 是等比数列（1q ≠-），n S 是其前n 项的和，则

232k k k k k S S S S S --，，，…，仍成等比数列。

第二课：等差、等比数列的基本运算

〖例1〗已知数列}{n a 是等比数列，且4622a a a =，则=53a a A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

〖例2〗（2010浙江）设1S 为等比数列{}n a 的前n 项和，1

222

80S a a S -==，则 A ．－11

B ．－8

C ．5

D ．11

〖例3〗数列{}n a 满足122,1,a a ==并且11

11

(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥??，则数列{}n a 的第

100项为 A ．

10012 B ．5012 C ．1100 D ．1

50

〖例4〗黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案

则第n 个图案中有白色地面砖的块数是（ ）

A. 33n +

B.42n -

C.24n +

D. 42n +

第1个 第2个 第3个

第三课 通项公式的求法

一、公式法 ①??

?≥-==-)2()

111n S S n S a n n

n （；

②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.

例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

二、累加法

例 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

例 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

三、累乘法

例 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

四、取倒数法

例 已知数列{n a }中，其中,11=a ，且当n ≥2时，1

211

+=

--n n n a a a ，求通项公式n a 。

五、待定系数法

例 已知数列{}n a 满足1135241n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n

n n a a +=+?+转化为

115223(522)n n n n a a +++?+=+?+，从而可知数列{522}n n a +?+是等比数列，进而

求出数列{522}n

n a +?+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

六、构造法

① q pa a n n +=+1；②n

n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12.

例 已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.

【解析】∴)3(231+=++n n a a ∴.322431

1-=??=++-n n n n a a

【反思归纳】递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法： ①令)(1λλ-=-+n n a p a ；

② 在q pa a n n +=+1中令p

q

x x a a n n -=

?==+11，∴)(1x a p x a n n -=-+； ③由q pa a n n +=+1得q pa a n n +=-1，∴)(11-+-=-n n n n a a p a a .

例 已知数列{}n a 中，n

n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】 n

n n a a 321+=+，∴

n

n n n n a a )23(2211+=-+，令n n n b a =-1

2

∴112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=--- 2)2

3

(2-?=n ∴n n n a 23-=

【反思归纳】递推关系形如“n

n n q pa a +=+1”通过适当变形可转化为： “q pa a n n +=+1”或“n

n n n f a a )(1+=+求解.

第四课 数列求和的方法

一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q q a q na S n n

n

前n 个正整数的和 2

)

1(321+=

++++n n n 前n 个正整数的平方和 6)

12)(1(3212222++=

++++n n n n

前n 个正整数的立方和 2

3333]2

)1([321+=++++n n n

公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值； （2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。

例 已知3

log 1log 23-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 例 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

二、错位相减法求和

这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比

q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。

例：在数列{}n a 中，1111

1,(1)2

n n n n a a a n ++==++ （I ）设n

n a b n

=，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n

S

三、 倒序相加法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例1] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,1112-+???+++-n a

a a n ，…

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例1] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,1112-+???+++-n a

a a n ，…

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

常见的裂项公式有： ①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k

=-++；

④

)1

21

121(21)12)(12(1+--=+-n n n n

⑤

1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-+++++ ；

⑥

)(1

1n k n k

n

k n -+=

++

例 求数列

???++???++,1

1,

,3

21,

2

11n n 的前n 项和.

n n n n a n -+=++=

111

则 1

13

212

11+++???+++

+=

n n S n ＝11-+n

例 在数列{a n }中，1

1211++

???++++=

n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

例 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.

例 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的

值.

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

例 求

1

1111111111个n ???+???+++之和.