一元一次不等式组的应用题

1.6 一元一次不等式组应用题练习

A

1、我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？

、解：设住房有x 间，住宿的学生有5x ＋12人，根据题意： 0＜（5x ＋12）－8(x －1)＜8 4＜x ＜ ∵x 为整数，∴x ＝5，6

2、一玩具厂生产甲、乙两种玩具，已知造一个甲种玩具需用金属80克，塑料140克，造一个乙种玩具需用金属100克，塑料120克.若工厂有金属4600克，塑料6440克，计划用两种材料生产甲、乙两种玩具共50件，求甲种玩具件数的取值范围.

、解：设甲种玩具为x 件，则甲种玩具为（50－x ）件.根据题意得：

?

?

?≤-+≤-+6440)50(1201404600

)50(10080x x x x 解得：20≤x ≤22

答：甲种玩具不少于20个，不超过22个

3、现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂在A 、B 两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元. （1）设运送这批货物的总费用为y 万元，这列货车挂A 型车厢x 节，试定出用车厢节数x 表示总费用y 的公式.

（2）如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B 型车厢最多可装甲种货

2

63

物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？

4、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、

（1）请你设计该企业有几种购买方案；

（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；

（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）

5、某厂计划2004年生产一种新产品，下面是2003年底提供的信息，人事部：明年生产工人不多于800

人，每人每年可提供2400个工时；市场部：预测明年该产品的销售量是10000～12000件；技术部：该产品平均每件需要120个工时，每件要4个某种主要部件；供应部：2003年低库存某种主要部件6000个.预测明年能采购到这种主要部件60000个.根据上述信息，明年产品至多能生产多少件？

6、某宾馆底层客房比二楼少5间，某旅行团有48人.若全部住底层，每间4人，房间不够；每间住5

人，有房间没有住满5人.若全部安排在二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，有房间没有住满4人.问该宾馆底层有客房多少间？

7、（2007年眉山市）某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分村镇修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资．修建A型、B型沼气池共20个．两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表：

政府相关部门批给该村沼气池修建用地708平方米．设修建A型沼气池x个，修建两种型号沼气池共需费用y万元．（1）用含有x的代数式表示y；

（2）不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种；

（3）若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案．

8、（2007年常州市）学校举办“迎奥运”知识竞赛，设一、二、三等奖共12名，奖品发放方案如下表：

用于购买奖品的总费用不少于1000元但不超过1100元，小明在购买“福娃”和微章前，了解到如下信息：

（1）求一盒“福娃”和一枚徽章各多少元？

（2）若本次活动设一等奖2名，则二等奖和三等奖应各设多少名？

1.6 一元一次不等式组应用题练习

参考答案

1、解：设住房有x 间，住宿的学生有5x ＋12人，根据题意： 0＜（5x ＋12）－8(x －1)＜8 4＜x ＜ ∵x 为整数，∴x ＝5，6 答：当有5间房的时候，住宿学生有37人；当有6间房的时候，住宿学生有42人.

2、解：设甲种玩具为x 件，则甲种玩具为（50－x ）件.根据题意得：

??

?≤-+≤-+6440

)50(1201404600

)50(10080x x x x 解得：20≤x ≤22

答：甲种玩具不少于20个，不超过22个

3、（1）y ＝32000－2000x

（2）共有三种方案，A 、B 两种车厢的节数分别为24节、16节或25节、15节或26节、14节 4、（1）共有三种购买方案，A 、B 两种型号的设备分别为0台、10台或1台、9台或2台、8台.（2）A 、

B 两种型号的设备分别1台、9台；（3）10年节约资金42.8万元 5、解：设明年可生产产品x 件，根据题意得：

??

?

??+≤≤≤?≤600006000412000100002400800120x x x 解得：10000≤x ≤12000 答：明年产品至多能生产12000件.

2

63

6、解：设宾馆底层有客房x 间，则二楼有客房（x+5）间.根据题意得： ??

?

??

?

?>+<+><48)5(448)5(348

5484x x x x 解得：9.6＜x ＜11 所以： x = 10

答：该宾馆底层有客房x 间.

7、解：（1）32(20)y x x =+-40x =+ （2）由题意可得

203(20)264486(20)708x x x x +-??

+-?

≥ ①

≤ ② 解①得x ≥12 解②得x ≤14

∴不等式的解为12≤x ≤14 x 是正整数

∴x 的取值为12，13，14

即有3种修建方案：①A 型12个，B 型8个；②A 型13个，B 型7个；③A 型14个，B 型6个 （3）∵y ＝x ＋40中，y 随x 的增加而增加，要使费用最少，则x ＝12

∴最少费用为y ＝x ＋40＝52（万元）

村民每户集资700元与政府补助共计：700×264＋340000＝524800＞520000 ∴每户集资700元能满足所需要费用最少的修建方案 8、解：（1）设一盒“福娃”x 元，一枚徽章y 元，根据题意得

23153195x y x y +=??

+=? 解得150

15x y =??=?

答：一盒“福娃”150元，一枚徽章15元． （2）设二等奖m 名，则三等奖（10—m ）名，

216515015(10)1000

216515015(10)1100m m m m ?++-??

?++-?

≥≤ 解得

10412427

27

m ≤≤

．

m 是整数，∴m ＝4，∴10－m ＝6． 答：二等奖4名，三等奖6名．

B

一元一次不等式（组）应用题

(第12题图）

图2

x

b +1．直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=示，则关于x 的不等式21k x k x b >+

2．一次函数y kx b =+（k b ，是常数，如图2所示，则不等式0kx b +>

3. 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用，已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A 型车的前提下至少还需调用B 型车多少辆？

4．（2008遵义）(12分)某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元。

(1)若该超市同时一次购进甲、两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲乙两种

商品各多少件？

(2)该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润(利润=售价-进价)不少于600元，但又不

超过610元，请你帮助该超市设计相应的进货方案。

5. (2008资阳市) 惊闻5月12日四川汶川发生强烈地震后，某地民政局迅速地组织了30吨食物和13吨衣物的救灾物资，准备于当晚用甲、乙两种型号的货车将它们快速地运往灾区.已知甲型货车每辆可装食物5吨和衣物1吨，乙型货车每辆可装食物3吨和衣物2吨，但由于时间仓促，只招募到9名长途驾驶员志愿者.

① 3名驾驶员开甲种货车，6名驾驶员开乙种货车，能否将救灾物资一次性地运往灾区？ ② 要使救灾物资一次性地运往灾区，共有哪几种运货方案？

6.（2008佛山）某地为四川省汶川大地震灾区进行募捐，共收到粮食100吨，副食品54吨. 现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批货物全部运往汶川，已知一辆甲种货车同时可装粮食20吨、副食品6吨，一辆乙种货车同时可装粮食8吨、副食品8吨.

(1) 将这些货物一次性运到目的地，有几种租用货车的方案？

(2) 若甲种货车每辆付运输费1300元，乙种货车每辆付运输费1000元，要使运输总费用最少，应选择哪种方案？

7、(2008 湖南怀化)5．12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作．拟派30名医护人员，携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李．

（1）设租用甲种汽车x辆，请你设计所有可能的租车方案；

（2）如果甲、乙两种汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案．

8．某超市销售有甲、乙两种商品．甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．

（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润=售价-进价）不少于600元，但又不超过610元．请你帮助该超市设计相应的进货方案．

9. 某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立即到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格：可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元。学校花去捐款96000元，正好可供2300人临时居住。

（1）求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人大帐篷；

（2）学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷。如何安排甲、乙两种卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？有哪几种方案？

10.某学校准备添置一些“中国结”挂在教室。若到商店去批量购买，每个“中国结”需要10元；若组织一些同学自己制作，每个“中国结”的成本是4元，无论制作多少，另外还需共付场地租金200元。亲爱的同学，请你帮该学校出个主意，用哪种方式添置“中国结”的费用较节省？

11. 某单位要印刷一批北京奥运会宣传资料，在需要支付制版费600元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷

数量超过2000份的，超过部分的印刷费可按9折收费，乙印刷厂提出：凡印刷数量超过3000份的，超过部分印刷费可按8折收费。

（１）如果该单位要印刷2400份，那么甲印刷厂的费用是 ，乙印刷厂费的用是 。

（２）根据印刷数量大小，请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠？ 12.某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元。 ⑴求y 关于x 的函数关系式？

⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。（注：利润＝售价－成本）

13.（2008湘潭市）我市花石镇组织10辆汽车装运完A 、B 、C 三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装

（1）设装运A 种湘莲的车辆数为x ，装运B 种湘莲的车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关系式；

（2）如果装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；

（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值.

14、(2008 湖北 十堰)

5月12日，我国四川省汶

川县等地发生强烈地震，在抗震救灾中得知，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要25台，乙地需要23台；A 、B 两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机26台和22台并将

其全部调往灾区．如果从A 省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.4万元，到乙地要耗资0.3万元；从B 省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.5万元，到乙地要耗资0.2万元．设从A 省调往甲地x 台挖掘机，A 、B 两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y 万元． ⑴请直接写出y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围； ⑵若要使总耗资不超过15万元，有哪几种调运方案？ ⑶怎样设计调运方案能使总耗资最少？最少耗资是多少万元？

39解(1) ∵3×5+6×3=33＞30，3×1+6×2=15＞13， ············ 1分

∴3名驾驶员开甲种货车，6名驾驶员开乙种货车，这样能将救灾物资一次性地运到灾区． ································· 2分 (2) 设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车(9–x )辆， ········· 3分

由题意得：53(9)30,2(9)13.

x x x x +-≥??

+-≥? ···················· 5分

解得：1.5≤x ≤5 ·························· 6分 注意到x 为正整数，∴x =2，3，4，5 ················· 7分

8分 说明：若分别用“1、8”，“2、7”等方案去尝试，得出正确结果，有过程．．．也给全分.

40解（1） 装A 种为x 辆，装B 种为y 辆，装C 种为10-x-y 辆， ········ 1分

由题意得：12108(10)100x y x y ++--= ············· 2分 102y x ∴=- ························· 3分 （2）1010(102)x y x x x --=---= ·················· 4分

故装C 种车也为 x 辆．2

1022

x x ?

∴?

-?≥≥ ················· 5分

解得2 4.x ≤≤ x 为整数, 2,3,4x ∴= ················· 6分

故车辆有3种安排方案,方案如下:

方案一:装A 种2辆车, 装B 种6辆车, 装C 种2辆车;

方案二:装A 种3辆车, 装B 种4辆车, 装C 种3辆车; ··········· 7分 方案三:装A 种4辆车, 装B 种2辆车, 装C 种4辆车． （3）设销售利润为W(万元),则 W=312410(102)28x x x ?+??-+?

=28400x -+ ···························· 9分 故W 是 x 是的一次函数,且x 增大时,W 减少．

故2x =时,max W =400-282344?=(万元) ················· 10分 17解：⑴y ＝（63－55）x ＋（40－35）（500－x ）＝2x ＋2500。即y ＝2x ＋2500（0≤x ≤500），

⑵由题意，得55x ＋35（500－x ）≤20000， 解这个不等式，得x ≤125，

∴当x ＝125时,y 最大值＝3×12＋2500＝2875(元),

∴该商场购进A 、B 两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元. 47解：(1) 设租用甲种货车x 辆，则乙种货车为8x -辆. ……………………………………1分

依题意，得：208(8)100,68(8)54.

x x x x +-≥??

+-≥? (每列出一个给一分) ………………………………3分

解不等式组，得53≤≤x ： ………………………………………………………………………5分 这样的方案有三种：甲种货车分别租5,4,3辆，乙种货车分别租3,4,5辆. ………6分 【另解：设安排甲种货车x 辆，则有54100)8)(88()620(+≥-+++x x . ……………3分 解得5

13≥

x ，又8≤x ，可取整数8,7,6,5,4,3=x . ………………………………………5分

租用货车的方案有六种：即甲种货车分别租用8,7,6,5,4,3辆. ………………………6分 (2) 总运费8000300)8(10001300+=-+=x x x s . ………………………………………7分 因为s 随着x 增大而增大，所以当3=x 时，总运费s 最少，为8900元. ………8分 （(1)若用另解，在总得分中扣1分；(2)若用类似列下表的方式解答，可参考给分）

甲车数

量

3 4 5 6 7 8

总运费

8900

9200

…

…

…

…

52解：⑴．x x x x y )2623(2.0)25(5.0)26(3.04.0+-+-+-+=

或：．x x x x y )2522(2.0)25(5.0)26(3.04.0+-+-+-+=

即：．x y

7.192.0+-= (25

3≤≤x )

⑵依题意，得．x 157.192.0≤+- 解之，得．x 2

47≥

又∵253≤≤x ，且x 为整数， ∴．x 2524或=

即，要使总耗资不超过15万元，有如下两种调运方案：

方案一：从A 省往甲地调运24台，往乙地调运2台；从B 省往甲地 调运1台，往乙地调运21台．

方案二：从A 省往甲地调运25台，往乙地调运1台；从B 省往甲地 调运0台，往乙地调运22台．

⑶由⑴知：．x y 7.192.0+-= (253≤≤x ) ∵－0.2＜0， ∴y 随x 的增大而减小．

∴当25=x 时，∴．y 7.147.19252.0=+?-=最小值

答：设计如下调运方案：从A 省往甲地调运25台，往乙地调运1台； 从B 省往甲地调运0台，往乙地调运22台，能使总耗资最少， 最少耗资为14.7万元．

59解： (1)因为租用甲种汽车为x 辆，则租用乙种汽车()x -8辆．

由题意，得()()42830,38820.

x x x x +-???

+-??≥≥

解之，得.5447≤

≤x

即共有两种租车方案：

第一种是租用甲种汽车7辆，乙种汽车1辆； 第二种是全部租用甲种汽车8辆

（2）第一种租车方案的费用为780001600062000?+?=元 第二种租车方案的费用为8800064000?=元 所以第一种租车方案最省钱

85解：（1）设生产A 型桌椅x 套，则生产B 型桌椅(500)x -套，由题意得

0.50.7(500)302

23(500)1250x x x x +?-??

+?-?

≤≥ ········································································· （2分） 解得240250x ≤≤ ························································································ （3分） 因为x 是整数，所以有11种生产方案． ··························································· （4分） （2）(1002)(1204)(500)2262000y x x x =+++?-=-+ ··························· （6分）

220-< ，y 随x 的增大而减少．

∴当250x =时，y 有最小值． ·

······································································ （7分）

∴当生产A型桌椅250套、B型桌椅250套时，总费用最少．

此时

min 222506200056500

y=-?+=（元） ················································（8分）

（3）有剩余木料，最多还可以解决8名同学的桌椅问题．·····························（10分）88解：(1)商品进了x件，则乙种商品进了80-x件，依题意得

10x+(80-x)×30=1600

解得：x=40

即甲种商品进了40件，乙种商品进了80-40=40件。

(2)设购买甲种商品为x件，则购买乙种商品为(80-x)件，依题意可得：

600≤(15-10)x+(40-30)(80-x)≤610

解得： 38≤x≤40

即有三种方案，分别为甲38件，乙42件或甲39件，乙41件或甲40件，乙40件。