2019湖南益阳市中考数学试卷及答案解析

2019年湖南省益阳市初中毕业、升学考试

数学

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．

1．（2019湖南益阳，1，4分）-6的倒数是（ ） A.61- B.61 C.-6 D.6 【答案】A 【解析】-6的倒数是61-

. 【知识点】倒数

2．（2019湖南益阳，2，4分）下列运算正确的是（ ）

A.2)2(2-=-

B.6)32(2=

C.532=+

D.632=?

【答案】D

【解析】∵2|2|)2(2

=-=-，∴A 错误；

∵1234)3(2)32(222=?=?=，∴B 错误； ∵32与不是同类二次根式，无法合并，∴C 错误；

∵63232=?=?，∴D 正确.

【知识点】二次根式的化简、同类二次根式、二次根式的乘法

3．（2019湖南益阳，3，4分）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】∵圆柱的侧面展开图是长方形、三棱柱的侧面展开图是长方形、圆锥的侧面展开图是扇形、三棱锥的侧面展开图是三块三角形，∴选C.

【知识点】圆柱、三棱柱、圆锥、三棱锥的侧面展开图

4．（2019湖南益阳，4，4分）解分式方程321212=-+-x

x x 时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） A.x+2=3 B.x-2=3 C.x-2=3(2x-1) D.x+2=3(2x-1)

【答案】C

【解析】两边同时乘以（2x-1），得x-2=3(2x-1) .故选C.

【知识点】分式方程的去分母

5．（2019湖南益阳，5，4分）下列函数中，y 总随x 的增大面减小的是（ ）

A.y=4x

B.y=-4x

C.y=x-4

D.2

x y =

【答案】B

【解析】∵y 总随x 的增大面减小，∴y=-4x.故选B.

【知识点】一次函数、二次函数的增减性

6．（2019湖南益阳6，4分）已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法误的是（ ）

A.平均数是8

B.众数是8

C.中位数是8

D.方差是8

【答案】D 【解析】∵85

109885=++++=

x ， 众数为8，

中位数为8， 514541095)810()89(2)88()85(22222

=+++=-+-+?-+-=S ， 故错误的是D.

【知识点】平均数、众数、中位数、方差

7．（2019湖南益阳，7，4分）已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM=MN=2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC 、BC ，则△ABC 一定是（ ）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

【答案】B

【解析】如图所示，

∵AM=MN=2，NB ＝1，

∴AB=AM=MN+NB ＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3，

∴25522==AB ，16422==AC ，9322==BC ,

∴222AB BC AC =+，

∴△ABC 是直角三角形.

【知识点】尺规作图、勾股定理的逆定理

8．（2019湖南益阳，8，4分）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图1，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为（ ）

A. asin α+asin β

B. acos α +a cos β

C. atan α+atan β

D.β

αtan tan a a +

第8题图

【答案】C

【思路分析】分别在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，使用正切函数求BD 、 BC 的长度，再求和即可得到CD 的长度.

【解题过程】解：在Rt △ABD 中，∵tan β=AB BD ，∴BD=atan β. 在Rt △ABD 中，∵tan α=AB

BC ，∴BC=atan α. ∴CD=BD+BC=atan α+atan β.

【知识点】锐角三角函数定义、仰角、俯角、解直角三角形

9．（2019湖南益阳，9，4分）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是（ ）

A. PA=PB

B.∠BPD ＝∠APD

C.AB ⊥PD

D.AB 平分PD

第9题图

【答案】D

【思路分析】利用切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质定理进行逐一证明.

【解题过程】∵PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，∴PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，故A 、B 正确；

∵PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，∴PD ⊥AB ，PD 平分AB ，但AB 不一定平分PD ，故C 正确，D 错误.

【知识点】切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质定理

10．（2019湖南益阳，10，4分）已知二次函数c bx ax y ++=2

如图所示，下列结论:①ae ＜0，②b-2a ＜0，③ac b 42-＜0，④a-b+c ＜0，正确的是（ ）

A. ①②

B.①④

C.②③

D.②④

第10题图

【答案】A

【思路分析】利用二次函数图象的性质进行逐一判定.

【解题过程】∵抛物线开口向下，且与y 的正半轴相交，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故①正确；

∵对称轴在-1至-2之间，∴122---＜＜a

b ，∴4a ＜b ＜2a ，∴b-2a ＜0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=a

c b 42-＞0，∴③错误；

∵当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴④错误.

∴正确的说法是①②.故选A.

【知识点】二次函数图象的性质、对称轴坐标、二次函数与二次方程的关系、二次函数的特殊函数值

二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．

11．（2019湖南益阳，11，4分）国家发改委发布信息，到2019年12月底，高速公路电子不停车快捷收费(ETC)用户数量将突破18亿，将180000000用科学记数法表示为 .

【答案】8108.1?

【解析】180000000=8108.1?

【知识点】用科学记数法表示大于10的数

12．（2019湖南益阳，12，4分）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是 .

【答案】5

【解析】设多边形的边数为n ，由题意得

（n-2）180°+360°=900°，

解得n=5.

【知识点】多边形的内角和、多边形的外角和

13．（2019湖南益阳，13，4分）不等式组??

?--3

01＞＜x x 的解集为 . 【答案】x ＜-3 【解析】解：?

??--②＞①＜301x x ， 解①得x ＜1；

解②得x ＜-3.

∴原不等式组的解集为x ＜-3.

【知识点】一元一次不等式组的解法

14．（2019湖南益阳，14，4分）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1=142°，则∠2＝度.

第14题图

【答案】52°

【解析】∵OA⊥OB，

∴∠O=90°.

∵∠1=142°，

∴∠OCD=∠1-∠O=142°=90°=52°.

∵AB∥CD，

∴∠2=∠OCD=52°.

【知识点】垂直的定义、三角形外角的性质、平行线的性质

15．（2019湖南益阳，15，4分）在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是.

第14题图

【答案】90°

【解析】找到一组对应点A、A′，并将其与旋转中心连接起来，确定旋转角，进而得到旋转角的度数为90°. 【知识点】旋转角

16．（2019湖南益阳，16，4分）小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是.

1

【答案】

6

【思路分析】画树状图确定答案.

【解题过程】画树状图如下：

∵从上到下的顺序总共有种可能的结果，顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果又1种，

∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是

61. 【知识点】概率

17．（2019湖南益阳，17，4分）反比例函数x

k y =的图象上有一点P(2，n)，将点P 向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q.若点Q 也在该函数的图象上，则k ＝ .

【答案】6

【思路分析】利用坐标系中点的平移与周边变化的关系确定点Q 的坐标，再利用函数解析式列方程组求值.

【解题过程】∵P(2，n)向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q （3，n-1），且点P 、Q 均在反比例函数x k y =的图象上，∴???

????=-=312k

n k n ，∴312k k =-，解得k=6. 【知识点】坐标系中点的平移规律、反比例函数与方程组的关系

18．（2019湖南益阳，18，4分）观察下列等式： ①2)12(223-=-， ②2)23(625-=-， ③2)34(1227-=-，

…

请你根据以上规律，写出第6个等式 . 【答案】2)67(42213-=-

【思路分析】利用已知的三个特殊结论，确定等式中的每一部分与序号的关系，进而确定用序号表示的统一规律，进而得到第6个等式. 【解题过程】解：∵①2)12(223-=-， ②2)23(625-=-， ③2)34(1227-=-，

…

∴第n 个等式为：2

)1()1(2)12(n n n n n -+=+-+

∴当n=6时，可以得到第6个等式为：2)67(42213-=-. 【知识点】二次根式相关的规律探究

三、解答题（本大题共8小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2019湖南益阳，19，8分）计算: |32|)21()2019(60sin 410----+?-.

【思路分析】利用三角函数值、0指数次幂、负指数次幂、绝对值的求法进行计算求值.

【解题过程】解：|32|)21

()2019(60sin 41

0----+?- 32212

34--+?=322132--+==-1. 【知识点】特殊角的三角函数、0指数次幂、负指数次幂、绝对值

20．（2019湖南益阳，20，8分）化简：x

x x x 24)44(22-÷-+. 【思路分析】先通分计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后分解因式、约分相乘.

【解题过程】解：x x x x 24)44(22-÷-+x x x x x x 24)44(22-÷-+=4

24422-?+-=x x x x x )2)(2(2)2(2-+?-=x x x x x )2()2(2+-=x x 2

42+-=x x . 【知识点】分式的减法、除法、乘法、通分、分解因式、约分、整式的乘法

21．（2019湖南益阳，21，8分）已知，如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠ECB=70°，∠D=110°，求证:△ABC ≌△EAD.

第21题图

【思路分析】利用平行线、邻补角的性质证明∠ACB=∠D ，∠CAB=∠E ，然后使用“AAS ”证明三角形全等.

【解题过程】证明：由∠ECB=70°得∠ACB=110°.

∵∠D=110°，

∴∠ACB=∠D.

∵AB ∥DE ，

∴∠CAB=∠E.

又∵AB=AE ，

∴△ABC ≌△EAD.

【知识点】平行线的性质、邻补角的性质、全等三角形的判定

22．（2019湖南益阳，22，10分）某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数(含驾驶员)进行了随机调查，根据每车乘坐人数分为5类，每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为A 、B 、C 、D 、E ，由调查所得数据绘制了如图所示的不完整的统计图表.

第22题图

(1)求本次调查的小型汽车数量及m ，n 的值；

(2)补全频数分布直方图；

(3)若某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆，请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量.

【思路分析】（1）首先利用C 的辆数与频率求出本次调查的小型汽车数量，然后利用“频率=频数÷数据总数”求m 、n 的值；

（2）先利用“频率=频数÷数据总数”求B 、D 对应的频数，再补全频数分布直方图；

（3）利用“每车只乘坐1人的小型汽车”的频率估计总体中每车只乘坐1人的小型汽车数量.

【解题过程】22.解：(1)本次调查的小型汽车数量：2.032=160(辆). m=160

48=0.3， n=1-(0.3+0.35+0.2+0.05)=0.1.

(2)B 类小型汽车的辆数：0.35×160=56，

D 类小型汽车的辆数：0.1×160=16.

∴补全频数分布直方图如下：

第22题答图

(3)某时段该路段每车只乘坐1人的小型汽车数量：0.3×5000=1500(辆).

【知识点】频数、频率、统计表、条形统计图、样本估计总体

23．（2019湖南益阳，23，10分）如图，在Rt △ABC 中，M 是斜边AB 的中点，以CM 为直径作⊙O 交AC 于点N ，延长MN 至D ，使ND ＝MN ，连接AD 、CD ，CD 交圆O 于点E.

(1)判断四边形AMCD 的形状，并说明理由;

(2)求证：ND ＝NE ；

(3)若DE=2，EC ＝3，求BC 的长.

第23题图

【思路分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AM=CM ，利用直径所对的圆周角是90°和ND=MN 得到AC 是DM 的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质证明四边形AMCD 的四条边都相等，进而得到四边形AMCD 是菱形；

（2）利用圆圆内接四边形的性质、菱形的性质证明∠DEN=∠CDM ，进而得到ND=NE ；

（3）通过证明△MDC ∽△EDN ，利用相似三角形的对应边成比例求出ND 的长度，再利用三角形的中位线求出BC 的长度.

【解题过程】解：(1)四边形AMCD 是菱形，理由如下：

∵M 是Rt △ABC 中AB 的中点，

∴CM=AM.

∵CM 为⊙O 的直径，

∴∠CMM=90，

∴MD ⊥AC ，

∴AN=CN.

又∵ND=MN ，

∴四边形AMCD 是菱形.

(2)∵四边形CEM 为⊙O 的圆内接四边形，

∴∠CEN+∠CMN=180°.

又∵∠CEN+∠DEN=180°，

∴∠CMN=∠DEN.

∵四边形AMCD 是菱形，

∴CD=CM ，

∴∠CDM=∠CMN.

∴∠DEN=∠CDM ，

∴ND=NE.

(3)∵∠CMN=∠DEN ，∠MDC=∠EDN ，

∴△MDC ∽△EDN ， ∴DN

DC DE MD =. 设ND=x ，则MD=2x ， ∴x

x 522=， 解得x=5或x=-5(不合题意，舍去)，

∴MN=5.

∵MN 为△ABC 的中位线，

∴BC=2MN ，

∴BC=25.

【知识点】直角三角形斜边上的中线的性质、圆周角定理的推论、线段垂直平分线的判定和性质、菱形的判定和性质、圆圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例的性质、三角形中位线的性质

24．（2019湖南益阳，24，10分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾·稻”轮作模式，某农户有农田20亩，去年开始实施“虾·稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元(利润=售价一成本).由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元.

(1)求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；

(2)该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为2.5元/千克，该农户估计今年可获得“虾·稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？

【思路分析】(1)设去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克x 元、y 元，根据已知条件列方程组求解；

(2)设今年稻谷的亩产量为z 千克，通过列不等式求解.

【解题过程】解：(1)设去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克x 元、y 元，由题意得

???=---=-30%)251(%)101(32x y x y ，解得?

??==408y x . 答：去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克8元、40元.

(2)设今年稻谷的亩产量为z 千克，由题意得

20×100×30+20×25z-20×600≥8000，

解得；z ≥640.

答：稻谷的亩产量至少会达到640千克.

【知识点】二元一次方程组的解法和应用、一元一次不等式的解法和应用

25．（2019湖南益阳，25，12分）在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A(1，4)，B(3，0).

(1)求抛物线对应的二次函数表达式；

(2)探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由；

(3)应用：如图2，P （m ，n ）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+m=-1，连接PA 、PC ，在线段PC 上确定一点N ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标.

提示：若点A 、B 的坐标分别为(1x ，1y )，(2x ，2y )，则线段AB 的中点坐标为(221x x +，2

21y y +) .

第25题图1 第25题图2

【思路分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式；

(2)利用“同底等高的两个三角形面积相等”、“三角形的中线平分三角形的面积”证明OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分；

（3）先利用点P(m ，n)是抛物线322++-=x x y 的图象上的点，求出点P 的坐标为(4，-5)；再利用待定系数法求得直线CP 对应的函数表达式为y=-x-1，直线AC 对应的函数表达式为y=2x+2，直线DQ 对应的函数表达式为y=2x+3；然后通过解方程组??

?+=--=321x y x y 得点Q 的坐标为（3134，-），最后利用线段中点的坐标公式求出点N 的坐标为（3

734

-，）. 【解题过程】解：(1)抛物线的顶点为A(1，4)，设函数表达式为4)1(2+-=x a y ，

∵抛物线经过点B(3，0)，

∴04)13(2

=+-a ，解得a=-1.

∴抛物线对应的二次函数表达式为4)1(2+--=x y ，即322++-=x x y .

(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分.理由如下：

∵DE ∥OA ，

∴OEA ODA S S △△=（同底等高的两个三角形面积相等）.

∴AOM OEA AOM ODA S S S S △△△△+=+，

即OME OMAD S S △四边形=.

∵M 是BE 的中点，

∴OBM OME S S △△=

∴OBM OMAD S S △四边形=,

即OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分.

（3）∵点P(m ，n)是抛物线322++-=x x y 的图象上的点，

∴322

++-=m m n .

∵m+n=-1，

∴n=-m-1，

代入上式，得3212++-=--m m m ，

解得m=4(m=1不合题意，舍去)，

∴点P 的坐标为(4，-5).

如图，过点D 作DQ ∥CA 交PC 的延长线于点Q ，

第25题答图

由(2)知点N 为PQ 的中点，

设经过点C(-1，0)，P(4，-5)的直线对应的函数表达式为y=kx+b,

则???-=+=+-540b k b k ，解得???-=-=1

1b k . ∴直线CP 对应的函数表达式为y=-x-1.

同理，直线AC 对应的函数表达式为y=2x+2.

∵直线DQ ∥CA ，故设直线DQ 对应的函数表达式为y=2x+b ，

∵经过点D(0，3)，

∴直线DQ 对应的函数表达式为y=2x+3.

解方程组???+=--=321x y x y 得???

????=-=3134y x ， ∴点Q 的坐标为（3

134，-）.

∵点N 为PQ 的中点， ∴点N 的横坐标为342434=+-，点N 的纵坐标为3

72531-=-， ∴点N 的坐标为（3

734-，） 【知识点】待定系数法求函数解析式、同底等高的两个三角形面积相等、三角形的中线平分三角形的面积、函数与方程的关系、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法、函数与方程组的关系、二元一次方程组的解法、一

次函数图象平行的条件、线段中点的坐标公式

26．（2019湖南益阳，26，12分）如图，在半面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB=4，BC=6.若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半上随之上下移动.

(1)当∠OAD=30°时，求点C 的坐标；

(2)设AD 的中点为M ，连接OM 、MC ，当四边形 OMCD

的面积为221时，求OA 的长； (3)当点A

移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos ∠OAD 的值.

第26题图 第26题备用图

【思路分析】（1）通过作CE ⊥y 轴于点E 构造Rt △CED 和Rt △OAD 然后通过解直角三角形求出点C 的坐标；

(2)由M 为AD 的中点求出6=DCM S △，再利用221=OMCD S 四边形，2

9=ODM S △，求出9=OAD S △.然后设OA=x ，OD=y ，列方程组?????==+92

13622xy y x ，求得OA 的长为23.

（3）首先利用M 为AD 的中点确定出：当O 、M 、C 三点在同一直线时，OC 有最大值8.然后连接OC ，证明△CMD ∽△OMN ，再利用相似三角形的对应边成比例求出59=MN ，512=ON ，5

6=-=MN AM AN .最后在Rt △OAN 中，求出5

5cos ==∠OA AN OAD . 【解题过程】（1）如图1，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E.

第26题答图1

∵矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，

∴∠CDE+∠ADO=90°，

又∵∠OAD+∠ADO=90°，

∴∠CDE=∠OAD=30°.

在Rt △CED 中，CE=21

CD=2，

∴DE=32242222=-=-CE CD ;

在Rt △OAD 中，∠OAD=30°，

∴OD=21

AD=3.

∴点C 的坐标为(2，323+).

(2)∵M 为AD 的中点，

∴DM=3，6=DCM S △. 又∵221

=OMCD S 四边形， ∴29

=ODM S △，

∴9=OAD S △.

设OA=x ，OD=y ， 则?????==+9

2136

22xy y x ，

∴xy y x 222=+，

即0)(2=-y x ，

∴x=y.

将x=y 代入3622=+y x 得182=x ， 解得23=x (23-不合题意，舍去)，

∴OA 的长为23.

（3）OC 的最大值为8.理由如下：

如图2，

第26题答图2

∵M 为AD 的中点，

∴OM=3，522=+=DM CD CM .

∴OC ≤OM+CM=8,

当O 、M 、C 三点在同一直线时，OC 有最大值8.

连接OC ，则此时OC 与AD 的交点为M ，过点O 作ON ⊥AD ，垂足为N.

∵∠CDM=∠ONM=90°，∠CMD=∠OMN ，

∴△CMD ∽△OMN ， ∴

OM

CM MN DM ON CD ==， 即3

534==MN ON ， 解得59=MN ，5

12=ON ， ∴56=-=MN AM AN . 在Rt △OAN 中， ∵5

5622=+=AN ON OA ， ∴5

5cos ==∠OA AN OAD . 【知识点】矩形的性质、平角的定义、互余的性质、30°角所对直角边等于斜边的一半、勾股定理、解直角三角形、中线的性质、三角形的面积公式、组合图形的面积计算、二元二次方程组的解法、完全平方公式、一元二次方程的解法、最短路径问题、相似三角形的判定和性质、比例的性质、锐角三角函数的定义