人教版数学高三选修4-5学业分层测评8反证法与放缩法
学业分层测评（八）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()
①结论相反的判断，即假设；
②原命题的条件；
③公理、定理、定义等；
④原结论．
A．①②B．①②④C．①②③D．②③
【解析】由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．【答案】 C
2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3
a＞
3
b”时，假设的内容是()
A.3
a＝
3
b
B.3
a＜
3
b
C.3
a＝
3
b且
3
a＜
3
b
D.3
a＝
3
b或
3
a＜
3
b
【解析】应假设3
a≤
3
b，
即3
a＝
3
b或
3
a＜
3
b.
【答案】 D
3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为()
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；
对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．
【答案】 C
4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝
8
27－27a
，N＝(a＋c)·(a＋b)，
则()
A．M≥N B．M≤N
C．M>N D.M 【解析】依题意易知1－a,1－b,1－c∈R ＋ ，由均值不等式知 3 (1－a)(1－b)(1－c)≤1 3[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝ 2 3，∴(1－a)(1－b)(1－c)≤ 8 27， 从而有 8 27(1－a) ≥(1－b)(1－c)，即M≥N，当且仅当a＝b＝c＝ 1 3时，取等 号．故选A. 【答案】 A 5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1 y，b＝y＋ 1 z，c＝z＋ 1 x，则a，b，c三个 数() A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 【解析】∵a＋b＋c＝x＋1 x＋y＋ 1 y＋z＋ 1 z≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z ＝1时等号成立， ∴a，b，c三者中至少有一个不小于2. 【答案】 C 二、填空题 6．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________. 【导学号：32750042】 【答案】 a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0) 7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________． 【解析】 ∵lg 9＞0，lg 11＞0， ∴lg 9·lg 11＜ lg 9＋lg 112 ＝lg 992＜lg 100 2＝1， ∴lg 9·lg 11＜1. 【答案】 lg 9·lg 11＜1 8．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1 211－1 ，则M 与1的大小关系为________． 【解析】 ∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210， ∴M ＝1 210＋ 1210＋1＋1210＋2＋…＋1 211－1 ＜＝1. 【答案】 M ＜1 三、解答题 9．若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b,2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ，求c 的最大值． 【解】 2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ＋b ，当且仅当a ＝b 时，即2a ＋b ≥4时取“＝”， 由2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ， 得2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ， ∴2c ＝2a ＋b 2a ＋b －1＝1＋12a ＋b －1≤1＋14－1 ＝4 3， 故c ≤log 24 3＝2－log 23. 10．已知n ∈N ＋，求证：n (n ＋1)2<1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)<(n ＋1)2 2. 【证明】 k ＝1 2(2k ＋1)(k ＝1,2，…，n )． 若记S n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，则 S n >1＋2＋…＋n ＝ n (n ＋1)2， S n <12(3＋5＋…＋2n ＋1)＝12(n 2 ＋2n )<(n ＋1)22. [能力提升] 1．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 【解析】 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4种，而自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合． 【答案】 D 2．设x ，y 都是正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2 D.xy ≥2(2＋1) 【解析】 由已知 (x ＋y )＋1＝xy ≤? ???? x ＋y 22 ， ∴(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0. ∵x ，y 都是正实数， ∴x ＞0，y ＞0， ∴x ＋y ≥22＋2＝2(2＋1)． 【答案】 A 3．已知a ＞2，则log a (a －1)log a (a ＋1)________1(填“＞”“＜”或“＝”)． 【解析】 ∵a ＞2， ∴log a (a －1)＞0，log a (a ＋1)＞0. 又log a (a －1)≠log a (a ＋1)， ∴log a (a －1)log a (a ＋1) ＜log a (a －1)＋log a (a ＋1) 2 ， 而 log a (a －1)＋log a (a ＋1)2＝12 log a (a 2 －1) ＜1 2log a a 2＝1， ∴log a (a －1)log a (a ＋1)＜1. 【答案】 ＜ 4．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2? ? ???1＋1n 2 ·a n (n ∈N ＋), 【导学号：32750043】 (1)求a 2，a 3，并求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝n a n ，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＜7 10. 【解】 (1)∵a 1＝2，a n ＋1＝2? ? ???1＋1n 2 ·a n (n ∈N ＋)， ∴a 2＝2? ????1＋112·a 1＝16，a 3＝2? ? ???1＋122 ·a 2＝72. 又∵ a n ＋1(n ＋1)2 ＝2· a n n 2，n ∈N ＋， ∴? ??? ?? a n n 2为等比数列． ∴a n n 2＝a 112·2n －1＝2n ， ∴a n ＝n 2·2n . (2)证明：c n ＝n a n ＝1n · 2n ， ∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝11· 2＋12·22＋13·23＋…＋1n ·2n ＜12＋18＋124＋14·? ?? ??124＋1 25＋ (12) ＝2 3＋ 1 4· 1 24?? ? ? ? ? 1－? ? ? ? ?1 2 n－3 1－ 1 2 ＜2 3＋ 1 4· 1 24 1－ 1 2 ＝ 2 3＋ 1 32 ＝67 96＝ 670 960＜ 96×7 96×10 ＝ 7 10，所以结论成立． 反证法 教学目标 1.通过实例,体会反证法的含义. 2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题. 3.通过利用反证法证明命题,体会逆向思维. 4.在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性;渗透事物之间的相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想. 重点 运用反证法进行推理论证. 难点 理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”. 教学过程 一、创设情景,导入新课 出示多媒体,展示《路旁苦李》的故事的动画场景,引入反证法的课题. 二、师生互动,探究新知 活动1 反证法的步骤. 教师给出问题:如果你当时也在场,你会怎么办?五戎是怎么判断李子是苦的?你认为他的判断正确吗? 学生讨论交流,选代表发言. 如果李子不是苦的,路旁的人很多,早就没有这么多李子. 教师出示,若a2+b2≠c2(a≤b≤c),则△ABC不是直角三角形,你能按照刚才五戎的方法推理吗? 学生活动,代表展示.若∠C是直角,则 a2+b2=c2,而a2+b2≠c2,这是不可能的,即△ABC不是直角三角形. 教师归纳 先假设结论的反面是正确的;然后经过演绎推理,推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾;从而说明假设不成立,进而得出原命题正确.即:一、反设;二、推理得矛盾;三、假设不成立,原命题正确. 活动2 用反证法证明. 教材P116例5. 教师活动 原命题结论的反向是什么?按照假设可以得到矛盾吗? 学生活动 独立完成,交流成果,发言展示. 教材P116例6. 教师活动 △ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么?按照假设可以推出矛盾吗? 【学生活动】 独立完成,交流成果,发言展示. 教师活动 2021年八年级数学下册反证法教案浙教版 【教学目标】 1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法证明简单命题． 4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”. 【教学重点和难点】 本节教学的重点是反证法的含义和步骤. 课本“”合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点. 【教学准备】 课件 【教学设计】 一、情境导入 故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子, 此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法? 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维．反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界．那么什么叫反证法呢？（板书课题） 二、探究新知 （一）整体感知 在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的．这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了． 你能说出下列结论的反面吗? 1.a⊥b 《反证法》 反证法又称归谬法。反证的批判思想有助于学生正确的认识客观世界。中学阶段，是一个人形成价值观的重要阶段。 这些信息在学生头脑中留下各种是或非的印象，如何取其精华，去其糟粕？学生可以利用反证法。我们现行的教材中，许多的内容可以说是矛盾的，学生如果能正确的分析问题，不是被动的接受书本或是教师的灌输，对其今后的学习、工作，无疑将有很大的帮助。 在教学过程中，我们重视的不是学生如何解决矛盾，而是非常高兴地看到学生利用反证法对客观世界的认识提出了自己的问题，正是反证法教学所要教给学生的。这些正是学生学习数学应该学会的能力. 【知识与能力目标】 通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。 【过程与方法目标】 了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。 【情感态度价值观目标】 在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。 【教学重点】 1、 理解反证法的概念，2 、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反 证法证明简单的命题。 【教学难点】 理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。 直尺、三角板、多媒体课件等。 （一） 情境导入 师出示课件：路边苦李 王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。 王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。 王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维。反证法是数学中常用的一种方法。人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界。你能总结出以上这种证明方法的步骤吗? 假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的。其思维过程的表述如下图： 假设李子甜-树在道边则李子少-与与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾-假设“李子甜”不成立-所以“树在道边而多子,此必为苦李”是正确的。 （二）探究新知 1.认识反证法 反证法：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。 在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时候间接证明的方法可能更方便，反证法就是一种常见的间接证明方法。 在第九章中，我们已经知道”一个三角形中最多有一个直角”这个结论，我们怎样证明它呢？求证：一个三角形中最多有一个直角. 已知：如图，△ABC. 求证：在△ABC中，如果它含有直角，那么它只能有一个直角. 《反证法》教案 教学目标 1、使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法. 2、培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力. 教学重点 反证法证题的步骤. 教学难点 理解反证法的推理依据及方法. 教学方法 讲练结合教学. 教学过程 一、提问： 师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？ 生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？ 生：共分三步： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)从假设出发，经过推理，得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 师：反证法是一种间接证明命题的基本方法.在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明. 例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？ 解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2+b2＝c2. 二、探究 问题： 若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C≠90°”，请问结论a2+b 2≠c2成立吗？请说明理由. 探究： 假设a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾.假设不成立，从而说明原结论a2+b2≠c2成立. 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确.像这样的证明方法叫做反证法. 三、应用新知 例1：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C 证明：假设，∠B＝∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．∴∠B≠∠C. 小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确. 例2已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c，b//c.求证：a//b 证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A.那么过点A就有两条直线a、b与直线c 平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立.∴a//b. 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾. 例3求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC，求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°. 则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°. 即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立. ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 三、课堂练习：课本P164练习. 四、课时小结 本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用.对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高. 五、课后作业：课本P164习题. 八年级数学下册 4.4《反证法》学案浙教版 4、4 反证法 【学习目标】 1、理解反证法的含义与原理，掌握反证法的一般步骤； 2、会用反证法证明简单的代数命题和几何命题； 3、树立“正难则反”和“转换思维”的意识。 【学习过程】 1、阅读书中故事路边苦李王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?其思维过程的表述如下图：这种推理方法就是反证法。在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。 2、请你模仿推理：他运用了怎样的推理方法？在古希腊时，有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，当他们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？ 3、整体感知用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。 这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。概括地说就是要利用“结论的反面不成立”的证明来证明结论成立。４、请你写出下列结论的反面 1、a⊥b； 2、d是正数； 3、a≥0； 4、a∥b。答： ______________________________________________________５、完成课内练习１、６、例、求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交。已知：求证：证明：７、根据上述解答，归纳反证法证题的步骤。 ①假定结论不成立（即结论的反面成立）；②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；③由矛盾判定假设不正确；④肯定命题的结论成立。方法总结：证明一个命题是真命题有哪些方法? ８、当堂练习：书作业题 9、甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军； B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军； D说：乙获跳高冠 17.5《反证法》导学练习 一、学习目标： 1．通过实例，体会反证法的含义． 2.了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题． 二、重点：理解反证法的意义。 难点：熟练运用反证法。 三、学习过程： （一）、自主预习： 课本P114-117内容，与同学交流（课前完成） （二）、结合课前预习，让学生讨论、归纳以下问题： 1、反证法的概念： 2、用反证法证明一个命题，一般有那几个步骤？ （1） （2） （3） （三）、巩固练习： 1、填空： 已知：如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，13与11相交于点P. 求证：13与l2相交．Array证明：假设，， 即∥， 又∵∥（已知）， ∴过直线12外一点P有两条直线11,13与直线12平行， 这与“”相矛盾， ∴假设不成立，即求证的命题成立， ∴13与12相交． 2、已知：k为整数，且k2为奇数，求证：k一定是奇数。 3、已知：m,n是整数，m+n是奇数。求证：m,n不能全为奇数。 4、证明：三角形的三个内角中至少有一个角不小于60。 (四)、学习小结：（学生小结：通过这节课的学习，学到了哪些知识，技巧或数 学思想方法？） (五)、达标检测 1、反证法是一种重要的数学方法，是（ ） A 、直接证法 B 、间接证法 C 、见解证法和直接证法 C 2、如图所示，AB=AC ，BD=CE,若用 反证法证明AD=AE ，首先应假设（ ）。 A 、A B ≠A C B 、B D ≠CE C 、∠B ＝∠C D 、AD ≠AE 3、在三角形ABC 中，如果AB=c,BC=a,CA=b,且090≠∠C 求证：222c b a ≠+ 4、求证：同一个三角形中，如果两条边不相等，那么他们所对的角也不相等。 (六)、布置作业 四、课后反思 课题：反证法 学习目标1．通过实例，体会反证法的含义． 2．了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命 题． 创设情境《路旁苦李》三国时代有位名人叫做王戎。他小的时候有一次和许多小朋友在路边玩。大家发现路旁有棵李树，上面结满了大大的果实。小朋友们都抢着去摘上面的果子，可是王戎却无动于衷。别人就问他，为什么不去摘李子。王戎回答说，这棵树长在这样一条人来人往的路边，如果上面结的李子很可口的话，一定早就被人摘光了，现在树上还是果实累累，说明这些李子一定是又酸又苦，才导致无人问津的。其他小朋友尝了摘下来的果实，发现的确如此。 合作交流，探求新知 王戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断方法正确吗？他运用的是什么样的推理方法？要求能自说其圆． 理性概括，纳入系统 1．用自已的语言结合“路旁苦李”的故事阐述反证法的概念。反证法的概念：从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法叫做反证法． 2.填空： 已知：如右图，直线l1，l2，l3 在同一平面内，且l1∥l2，13与11 相交于点P. 求证：13与l2相交．证明设 即∥ 又∵ ∥ (已知)， ∴ 过直线12外一点P有两条直线11,13与直线12 平行，这 与“ ”相矛盾， 假设不成立，即求证的命题成立， 13 与12相交． 3．根据上述填空，讨论得出反证法的一般步骤： 反证法证题的步骤： (1) 否定结论——假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立. (2) 推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理论证， 得出一个与命题的已知条件或定义、公理等相矛盾的结果. (3) 肯定结论——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 学以致用，体验成功 1．由学生独立完成：课本“课内练习”第l 题． 2．小组合作学习(课本第138 页)：例2。 实践应用，知识迁移 1．学生独立完成课本“课后练习”第2 题． 2．补充：求证：形如4n 2 的自然数不可能表示成两个自然数的平方 华东师大版八上数学3.反证法 【基本目标】 1.理解反证法. 2.会用反证法证明较简单的题. 【教学重点】 用反证法证明几何命题. 【教学难点】 反证法中渗透“正难则反”的思想. 一、创设情景，导入新课 出示多媒体，展示《路旁苦李》的故事的动画场景，引入反证法的课题. 二、师生互动，探究新知 活动 1反证法的步骤. 教师给出问题：如果你当时也在场，你会怎么办？五戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断正确吗？ 学生讨论交流，选代表发言. 如果李子不是苦的，路旁的人很多，早就没有这么多李子. 教师出示，若a2+b2≠c2（a≤b≤c）,则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才五戎的方法推理吗？ 学生活动，代表展示.若∠C是直角，则a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，这是不可能的，即△ABC不是直角三角形. 【教师归纳】先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.即：一、反设；二、推理得矛盾；三、假设不成立，原命题正确. 活动2用反证法证明. 教材P116例5. 【教师活动】原命题结论的反向是什么？按照假设可以得到矛盾吗？ 【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示. 教材P116例6. 【教师活动】△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么？按照假设可以推出矛盾吗？ 【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示. 【教学说明】在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时，直接不易证明，可考虑反证法. 三、随堂练习，巩固新知 完成练习册中本课时对应的课后作业部分,教师巡视并及时点评，主要是证明格式是否规范. 四、典例精析，拓展新知 例求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【教师活动】（1）你首选的是哪一种证明方法？（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？（3）能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？ 要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选择证明方法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）. 【学生活动】讨论交流后独立完成. 五、运用新知，深化理解. 完成教材P117练习第1、2题. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结. 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学的难点，如何突破这一难点，并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障 4.4反证法 教学目标 1．通过实例，体会反证法的含义． 2．了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题． 3．理解本节中关于两线相交与平行的又一判定方法． 重点和难点 本节教学的重点是反证法的含义和步骤．课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点． 教学过程 一、创设情境，导入新课 利用课本中《路旁苦李》这个话题，利用多媒体给出这个故事的动画场景． （营造开放的讨论场面，引导学生接近并进入反证法的话题） 二、合作交流，探求新知 教师给出问题：如果当时你也在场，你会怎么办？王戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断方法正确吗？ 他运用的是什么样的推理方法？ 学生活动：小组讨论，要求能自说其圆． （教师既要赞许类似王戎式的学生的判断方法，但也要肯定选择直接去尝试实验的学生的判断方式，并以此为切入点引入课题） 教师板书课题：4.4 反证法． 三、理性概括，纳入系统 结合上面的问题情境，让学生讨论、归纳以下问题： 1．用自已的语言结合“路旁苦李”的故事阐述反证法的概念。 学生活动：讨论后举手回答，其他同学相互补充，教师作适当引导、调整．教师在课件中显示完整的反证法概念，简要板书反证法的概念：从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法叫做反证法． 2.（教师把课本例题改编）填空： 已知：如右图，直线l 1，l 2，l 3在同一平面内，且l 1∥l 2，13与1 相交于点P. 求证：13与l 2相交． 证明：假设， ， 即 ∥ ， 又∵ ∥ （已知）， ∴ 过直线12外一点P 有两条直线11,13与直线12平行， 这与“ ”相矛盾， ∴ 假设不成立，即求证的命题成立， ∴ 13与12相交． 教师简单引导学生小结：证明两线相交的又一判定方法（课本黑体字）． 3．根据上述填空，讨论得出反证法的一般步骤： （学生活动：讨论后举手回答，其他同学相互补充，教师一边引导一边板书反证法的一般证明步骤．） ①假设待证命题不成立，或命题的反面成立；②以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或正确命题相矛盾的结论；③这与“………”相矛盾；④所以所求证的命题成立，即…… 四、学以致用，体验成功 1．由学生独立完成：课本“课内练习”第l 题．课本“作业题”第1题． （教师引导学生把两个填空题与反证法的证明步骤再对照一遍，以加深印象．） “体验型课堂”学习方案 数学（八年级下册） 班级： 姓名： 学号：____ 命题者：徐巧波 审核者：裘爱尔 4.4反证法 【学习导言】我知道什么是反证法吗？我了解反证法的基本步骤吗？我会用反证法证明吗？ 课前尝试：读一读、试一试 【对话课本】阅读教材86页到87页 [记下问题] 【试一试】 1、中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的 李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么， 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. （1）王戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断方法是正确的吗？ 王戎的推理方法是:假设 , 则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了, 这与 产生矛盾. 所以假设不成立,李为苦李。 （2）王戎运用了怎样的推理方法？____________________________________ 2．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”。 已知：在△ABC 中，AB ≠AC ，求证：∠C ≠∠B ． 证明：假设所求证的结论不成立，即∠C=∠B ， 则_____________，?这与_________________________，? 【改一改】同桌交换学案，互评互学 【理一理】审视下面的学习要点，思考提出的问题，理清知识脉络。 例１求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知： 求证： 证明: 假设 ,即 ∵ （已知）, ∴过直线2l 外一点P 有两条直线和2l 平行, 这与“ ”矛盾. ∴假设不成立,即求证的命题正确. 3l 1l 2 l P 4.4反证法 教学目标 1．通过实例，体会反证法的含义． 2．了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题． 3．理解本节中关于两线相交与平行的又一判定方法． 重点和难点 本节教学的重点是反证法的含义和步骤．课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点． 教学过程 一、创设情境，导入新课 利用课本中《路旁苦李》这个话题，利用多媒体给出这个故事的动画场景． （营造开放的讨论场面，引导学生接近并进入反证法的话题） 二、合作交流，探求新知 教师给出问题：如果当时你也在场，你会怎么办？王戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断方法正确吗？ 他运用的是什么样的推理方法？ 学生活动：小组讨论，要求能自说其圆． （教师既要赞许类似王戎式的学生的判断方法，但也要肯定选择直接去尝试实验的学生的判断方式，并以此为切入点引入课题） 教师板书课题：4.4 反证法． 三、理性概括，纳入系统 结合上面的问题情境，让学生讨论、归纳以下问题： 1．用自已的语言结合“路旁苦李”的故事阐述反证法的概念。 学生活动：讨论后举手回答，其他同学相互补充，教师作适当引导、调整．教师在课件中显示完整的反证法概念，简要板书反证法的概念：从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法叫做反证法． 2.（教师把课本例题改编）填空： 已知：如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，13与11相交于点P. 求证： 即∥ 又∵∥（已知） ∴过直线12外一点P有两条直线11,13与直线12平行， 这与“”相矛盾， ∴假设不成立，即求证的命题成立， ∴13与12相交． 教师简单引导学生小结：证明两线相交的又一判定方法（课本黑体字）． 《三角形的中位线》教案 教学目标 1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法证明简单命题． 4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”. 教学重难点 本节教学的重点是反证法的含义和步骤. 课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点. 教学过程 一、情境导入 故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么？王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？ 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维．反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界． 那么什么叫反证法呢？(板书课题) 二、探究新知 (一)整体感知 在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的．这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了． 4.6 反证法 1. 先假设命题不成立，从假设出发，经过推理得出和、、等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做 . 2. 在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也 . 课时训练 A组基础训练 1．要证明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（） A． a=1，b=-2 B． a=0，b=-1 C． a=-1，b=-2 D． a=2，b=-1 2. 选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°. 求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°.”时，应先假设（） A. ∠A＞45°，∠B＞45° B. ∠A≥45°，∠B≥45° C. ∠A＜45°，∠B＜45° D. ∠A≤45°，∠B≤45° 3. 用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（） A. a不垂直于c B. a，b都不垂直于c C. a⊥b D. a与b相交 4. 用反证法证明“若实数a，b满足ab=0，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设（） A. a，b中至多有一个是0 B. a，b中至少有两个是0 C. a，b都不等于0 D. a，b都等于0 5. 用反证法证明命题“四边形中必有一个内角大于或等于90°”时，首先应该假设 . 6. 用反证法证明命题，“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，则a，b，c中至少有一个偶数”. 第一步应假设 . 7. 用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）. 已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截. 求证：∠1+∠2=180°. 证明：假设∠1+∠2 180°. ∵l1∥l2（），∴∠1 ∠3 （）. ∵∠1+∠2 180°，∴∠3+∠2≠180°，这和矛盾， ∴假设∠1+∠2 180°不成立，即∠1+∠2=180°. 8. 求证：在直角三角形中至少有一个角不大于45°.已知：如图所示，△ABC中，∠C=90°，求证： ∠A，∠B中至少有一个不大于45°. 证明：假设，则∠A 45°，∠B 45°. ∴∠A+∠B+∠C>45°+ + ，这与相矛盾. 所以不能成立，所以∠A，∠B中至少 有一个不大于45°. 9. 完成下列证明： 当p1·p2=2（q1+q2）时，求证：方程x2+p1x+q1=0和方程x2+p2x+q2=0中，至少有一个方程有实数 根. 证明：假设，那么?1=p12-4q1 0，?2=p22-4q2 0. ∴p12 4q1，p22 4q2，∴p12+p22 4（q1+q2） 2p1p2，∴（p1-p2） 2 0，这与（p1-p2）2 0相矛盾. ∴假设不成立，故所求 证的结论正确. 10. 用反证法证明“a 4.6 反证法 ◆基础练习 1．“a 8．如图，已知AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠E=360°． 9．请举一个在日常生活中应用反证法的实际例子． ◆综合提高 10．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，?应先假设这个三角形中（ ） A ．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C ．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60° 11．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应假设______________． 12．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补． 132是一个无理数．（说明：任何一个有理数均可表示成b a 的形式，且a ，b 互质） 14、试写出下列命题的反面： （1）a 大于2 _____________;（2）a⊥b _______________. 15、用反证法证明“若2 2 a b ≠，则a b ≠”的第一步是______________. 16、填空：在△ABC 中，若∠C 是直角，那么∠B 一定是锐角. 证明：假设结论不成立的，则∠B 是__________或_________. ①当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾； ②当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾. 反证法 教学目标 1. 通过实例,体会反证法的含义. 2. 了解反证法的基本步骤, 会用反证法证明简单的命题. 3. 通过利用反证法证明命题, 体会逆向思维. 4. 在观察、操作、推理等探索过程中, 体验数学活动充满探索性和创造性; 渗透事物之间的相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想. 重点 运用反证法进行推理论证. 难点 理解“反证法”证明得出“矛盾的所在” . 教学过程 一、创设情景, 导入新课 出示多媒体,展示《路旁苦李》的故事的动画场景, 引入反证法的课题. 二、师生互动, 探究新知 活动 1 反证法的步骤. 教师给出问题:如果你当时也在场,你会怎么办?五戎是怎么判断李子是苦的?你认为他的判断正确吗? 学生讨论交流, 选代表发言. 如果李子不是苦的,路旁的人很多, 早就没有这么多李子. 教师出示,若a2+b2≠c2(a≤b≤c), 则△ ABC不是直角三角形,你能 按照刚才五戎的方法推理吗? 学生活动,代表展示.若∠C是直角,则 a 2+b2=c2,而a2+b2≠c2,这是不可能的, 即△ABC不是直角三角形. 教师归纳 先假设结论的反面是正确的;然后经过演绎推理, 推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾;从而说明假设不成立, 进而得出原命题正确.即: 一、反设;二、推理得矛盾; 三、假设不成立,原命题正确. 活动 2 用反证法证明. 教材P116例 5. 教师活动 原命题结论的反向是什么?按照假设可以得到矛盾吗? 学生活动 独立完成,交流成果, 发言展示. 教材P116例 6. 教师活动 △ ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么?按照假设可以推出矛盾吗? 【学生活动】 教师活动 4.6 反证法 教学目标 1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法证明简单命题． 4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”. 教学重难点 本节教学的重点是反证法的含义和运用. 课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点. 教学过程 一、情境导入 故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么？王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？ 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维．反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界． 那么什么叫反证法呢？(板书课题) 二、探究新知 (一)整体感知 证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的．这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件、公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了．你能说出下列结论的反面吗？ 1．a⊥b.华东师大初中八年级数学上册《反证法》教案
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