§1 曲面论基本方程

第五章曲面论基本定理

中心问题：寻求E3中曲面的完全不变量系统．

将要证明：曲面的第一和第二基本形式能够构成曲面的完全的几何不变量系统并且在合同意义下确定曲面本身．

为此，应该首先考虑曲面的第一和第二基本形式之间的自然联系；并进一步考察何时可以由所给定的第一和第二基本形式反过来确定曲面．

§1曲面论基本方程

对正则曲面S: r=r(u1, u2) , (u1, u2)∈U?R2，已知第一基本形式和第二基本形式分别为

Ⅰ= d s2= d r?d r= (r i d u i)?(r j d u j) =g ij d u i d u j , g ij=r i?r j，

Ⅱ=-d r?d n=-(r i d u i)?(n j d u j) =Ωij d u i d u j , Ωij=- r i?n j=r ij?n．

有理由预期，这两个基本形式之间的一般约束关系一定是存在的．比如可以如此预测独立约束方程的个数： [2 + (6 - 2)] - (2 + 1) = 3 ——两个基本形式的系数组一般由两个自变量的六个函数组成，当两个基本形式同时对角化时由两个自变量的四个函数组成；当动点轨迹形成E3中曲面时，动点在曲面上的两个“自由度”反映在曲面的两个正则参数之上，而另外一个“自由度”需要四个系数函数在三个独立的约束方程之下确定．为确定约束方程，以下将从自然标架微分方程存在解时的相容性条件出发而逐步进行考察．已知自然标架的运动公式确定为Gauss公式和Weingarten公式

r ik=Γi j k r j+Ωik n ;

n i=-ωi j r j=-Ωik g kj r j .

一．Gauss-Codazzi方程

首先考虑相容性条件(r i)jk=(r i)kj，或写为r ijk=r ikj．为此，计算如下：

r ijk= (r ij)k= (Γi l j r l+Ωij n)k

= (Γi l j)k r l+Γi l j r lk+ (Ωij)k n+Ωij n k

= (Γi l j)k r l+Γi l j (Γl m k r m+Ωlk n) + (Ωij)k n+Ωij (-ωk l r l)

= (Γi l j)k r l+Γi m j (Γm l k r l+Ωmk n) + (Ωij)k n+Ωij (-Ωkm g ml r l)

= [(Γi l j)k+Γi m jΓm l k-ΩijΩkm g ml)] r l+ [Γi m jΩmk+ (Ωij)k ] n，

在该式之中交换指标j和k，则由相容性条件得

[(Γi l j)k+Γi m jΓm l k-ΩijΩkm g ml)] r l+ [Γi m jΩmk+ (Ωij)k ] n

= [(Γi l k)j+Γi m kΓm l j-ΩikΩjm g ml)] r l+ [Γi m kΩmj+ (Ωik)j ] n，

整理成分量形式即得

(1.1)(Γi l j)k- (Γi l k)j+Γi m jΓm l k-Γi m kΓm l j=ΩijΩkm g ml-ΩikΩjm g ml，(1.2)(Ωij)k- (Ωik)j+Γi m jΩmk-Γi m kΩmj= 0 ．

通常，称方程组 (1.1) 式为曲面S的Gauss方程，称方程组 (1.2) 式为曲面S的Codazzi方程，合称为曲面S的Gauss-Codazzi方程或曲面论基本方程．对于Codazzi方程 (1.2) 式，3个指标对应于8个方程；但其中j=k时平凡，j和k互换时相同，因而对应于指标i的不同取值实质上有不超过2个独立方程．同理，对于Gauss方程 (1.1) 式，4个指标对应于16个方程；但其中j=k时平凡，j和k互换时相同，因而对应于指标i和l的不同取值实质上有不超过4个独立方程．独立方程的个数将留待下一段确定．现在再考虑另一组相容性条件n ij=n ji．由于n是r1?r2的单位化向量，因而关于r的偏导数次序的可交换性蕴含了关于n的低一阶偏导数次序的可交换性，即相容性条件组n ij=n ji蕴含于相容性条件组r ijk=r ikj之中．若具体运算，也可得到Codazzi方程 (1.2) 式的等价形式

(1.3) (ωi k)j- (ωj k)i+ωi lΓl k j-ωj lΓl k i= 0 ．

二．Gauss-Codazzi方程的独立性

⒈Codazzi方程的独立性

去掉明显平凡的和明显等价的式子，Codazzi方程 (1.2) 式化为

(1.4){(Ω11)2- (Ω12)1+Γ1l1Ωl2-Γ1l2Ωl1= 0 ，

(Ω21)2- (Ω22)1+Γ2l1Ωl2-Γ2l2Ωl1= 0 ．

在正交网下，联络系数易表示成第一基本形式系数的表达式，Codazzi方程可进一步表示成第一和第二基本形式系数所满足的表达式．特别，在正交曲率线网之下，Codazzi方程 (1.4) 式化简（留作习题）为

(1.5){L2=HE2，

N1=HG1．

至此可以看出，Codazzi方程 (1.4) 式由两个独立的方程组成．

⒉Riemann曲率张量

为了方便于进一步讨论Gauss方程 (1.1) 式，记

(1.6)R i l jk=- [(Γi l j)k- (Γi l k)j+Γi m jΓm l k-Γi m kΓm l j ] ，

(1.7)R imjk=R i l jk g lm．

通常，函数组{ R i j kl} 称为曲面S的第二类Riemann曲率张量的分量组，函数组{ R ijkl} 称为曲面S的第一类Riemann曲率张量的分量组．它们可以由第一基本形式系数完全确定，因而对应于内蕴几何量．进一步，有R ijkl=R i m kl g mj

=- [(Γi m k)l- (Γi m l)k+Γi n kΓn m l-Γi n lΓn m k ] g mj

=- (Γi m k)l g mj+ (Γi m l)k g mj-Γi n kΓnjl+Γi n lΓnjk

=- (Γi m k g mj)l+Γi m k (g mj)l+ (Γi m l g mj)k-Γi m l (g mj)k-Γi n kΓnjl+Γi n lΓnjk

=- (Γijk)l+Γi m k (g mj)l+ (Γijl)k-Γi m l (g mj)k-Γi m kΓmjl+Γi m lΓmjk

= (Γijl)k- (Γijk)l+Γi m k [(g mj)l-Γmjl] -Γi m l [(g mj)k-Γmjk] ；

而由第一类Christoffel记号Γijk=1

2 [(g jk)i+ (g ij)k- (g ik)j] 代入整理，得

2[(g mj)l-Γmjl] = 2(g mj)l- [(g jl)m+ (g mj)l- (g ml)j]

= (g mj)l+ (g ml)j- (g jl)m= (g ml)j+ (g jm)l- (g jl)m

= 2Γjml，

从而

(1.8)R ijkl= (Γijl)k- (Γijk)l+Γi m kΓjml-Γi m lΓjmk，

或表示为

(1.9)R ijkl=1

2 [(g jl)ik- (g il)jk- (g jk)il+ (g ik)jl] +

Γink g nmΓjml-Γiml g nmΓjmk．

由此，利用关于指标的已知的对称性直接验算，易得下列性质．

性质①R ijkl=R klij；

②R jikl=-R ijkl；R ijlk=-R ijkl；

③R ijkl+ R iklj+ R iljk= 0 ．

该性质表明，函数组 { R ijkl } 之中有许多平凡元素为零，非平凡的元素只有R1212=- R1221=- R2112=R2121．

⒊Gauss方程的独立性

利用Riemann曲率张量的分量组，Gauss方程 (1.1) 式可等价变形为-R i l jk= (ΩijΩkm-ΩikΩjm) g ml

?-R i l jk g ln= (ΩijΩkm-ΩikΩjm) g ml g ln

?-R injk=ΩijΩkn-ΩikΩjn．

直接验证，可知上式右端关于指标满足Riemann曲率张量分量组关于指标所满足的同样的性质；故而Gauss方程(1.1) 式等价变形为12个左、右恒为零的恒等式，以及4个互相等价的方程

(1.10) -R1212=Ω11Ω22- (Ω12)2=|Ω|．

特别当参数网正交时，g12=0 ，联络系数有由第三章§3例1所示的简化形式，代入 (1.9) 式并整理可得

R1212=1

2 [(g22)11+ (g11)22] +

Γ1m1Γ2m2-Γ1m2Γ2m1

=1

2 [G11+E22] +

Γ111(Γ212E) +Γ121(Γ222G) -Γ112(Γ211E) -Γ122(Γ221G)

=1

2 [G11+E22] +

E1

2E

-G1

2 +

-E2

2G

G2

2 -

E2

2E

E2

2 -

G1

2G

G1

2 ；

由此，在正交参数网下，可直接验算（留作习题）成立

(1.11) R1212=EG{ [(E )2G]2+[(G )1E]1 }．

三．Gauss绝妙定理

Gauss方程 (1.10) 式改写成Gauss曲率的形式，便得到内蕴几何发展史上具有重要意义的结果，表述为下列定理．

定理（Gauss绝妙定理）曲面S的Gauss曲率K由第一基本形式完全确定，在第一基本形式系数表示下即为

(1.12) K=

-R1212

g11g22- (g12)2

．

推论1若两张曲面局部等距对应，则它们在对应点处的Gauss曲率相等．

推论2（可展曲面内蕴特征）若曲面S无脐点，则有充要条件：S可展?S局部等距对应于平面?S的Gauss曲率K≡ 0 ．

注记①在正交参数网下，由 (1.12) 式和 (1.11) 式可写

(1.13) K=-1

EG

{ [(E )2

G

]

2

+[(G )1E]1 }．

②在等温参数 (u1, u2) 下，d s2=ρ2 [(d u1)2+ (d u2)2] ，ρ> 0 ，则

(1.14) K=-1

ρ2

[?2

?(u1)2

+

?2

?(u2)2

] (ln ρ ) ．

此式说明Gauss曲率与Laplace算子有关．

③在一般参数 (u1, u2) 下，较易记忆的有Liouville形式的Gauss方程

(1.15) K = -1 2|g | [( E 2 |g | ) 2 + (G 1 |g | ) 1 - (F 2 |g | ) 1 - (F 1 |g |

) 2] - 1 4|g |2 E F G E 1 F 1 G 1 E 2 F 2 G 2

． 利用Gauss 曲率是等距不变量，既有助于鉴别不等距的曲面，也有助于寻求等距曲面之间的等距对应关系．

习 题

⒈ 验证 (1.11) 式．

⒉ 设正则曲面 S 具有第一和第二基本形式Ⅰ= d u 2 + d v 2 , Ⅱ= μ(u , v ) d u d v ．试证 S 是

平面．

⒊ 在曲面的正交曲率线网 (u 1, u 2)之下，试证：

① Codazzi 方程简化为 {L 2 = HE 2 ， N 1 = HG 1 ．

② 主曲率 κ1, κ2 满足 ?κ1?u 2 = 1 2E ?E ?u 2

(κ2 - κ1) ，?κ2?u 1 = 1 2G ?G ?u 1

(κ1 - κ2) ． ⒋ 设正则曲面 S 在参数 (u , v ) 下具有第一和第二基本形式

Ⅰ= u 2 (d u 2 + d v 2) , Ⅱ= λ(u , v ) d u 2 + μ(u , v ) d v 2 ．

① 证明 λ(u , v ) 和 μ(u , v ) 只依赖于 u ；

② 证明 λμ ≡ 1．

⒌ 设正则曲面 S 具有常平均曲率函数．试证曲面 S 或者是全脐曲面，或者第一和第

二基本形式可以化为在某个参数 (u , v ) 下的如下形式：

Ⅰ= μ (d u 2 + d v 2) , Ⅱ= (1 + μH ) d u 2 - (1 - μH ) d v 2 ．

⒍ 设正则曲面 S 在参数 (u , v ) 下的第一和第二基本形式系数分别都是常值函数．试证

曲面 S 或者是平面，或者是圆柱面．

⒎ 已知下列曲面 r (u , v ) 的第一基本形式Ⅰ，其中c = const. ∈R ；试求其Gauss 曲率． ① Ⅰ= d u 2 + d v 2

(u 2 + v 2 + c )2

； ② Ⅰ=

c 2

v 2

(d u 2 + d v 2) ； ③ Ⅰ= d u 2 + e 2u c

d v 2 ；

④Ⅰ= d u2+ ch2u

c d v

2；

⑤Ⅰ= d u2+ 2cos? d u d v+ d v2 , 其中?=?(u, v) 连续可微．

⒏设正则曲面S的第一基本形式Ⅰ是正则曲面S* 的第一基本形式Ⅰ* 的一个常数倍

(此时称它们是位似的)，试求S和S* 的Riemann曲率张量分量之间的关系以及Gauss曲率之间的关系．

⒐试证：球面、柱面、马鞍面相互之间不存在局部等距对应.

⒑对两张曲面S: r= (u cos v , u sin v , ln u) 和S*: r* = (u* cos v* , u* sin v* , v*) 证明：

①使S和S* 的Gauss曲率对应相等的对应关系满足且只需满足u* =±u；

②S和S* 之间不存在局部等距对应.

⒒已知曲面族S(a, b): r= (au , bv , au2+bv2

2) ，其中a, b= const. ≠ 0 ；试证：

①S(a, b)的Gauss曲率K(a, b)=

1

ab(1 +u2+v2)2

；

②S(a, b)和S(λ, μ)之间存在局部等距对应的充要条件是：ab=λμ并且或者 (|a|, |b|)

= (|λ|, |μ|) ，或者 (|a|, |b|) = (|μ|, |λ|) .

⒓当正则曲面S: r(u, v) 无脐点时，设S和曲面S*: r*(u, v) 建立对应关系，使对应点取相同的参数值(u, v) ，并且在对应点处沿每一个相同的切方向d u:d v所对应的法曲率保持对应相等．试证：

①存在函数λ> 0 使Ⅰ=λⅠ* 且Ⅱ=λⅡ* ；

②函数λ是常值函数；

③S和S* 之间存在局部等距对应.