功能关系 能量守恒定律

6.4 功能关系能量守恒定律

概念梳理：

一、功能关系

1．能的概念：一个物体能对外做功，这个物体就具有能量．

2．功能关系

(1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化．

(2)做功的过程一定伴随着能量转化，而且能量的转化必通过做功来实现．

3．功与对应能量的变化关系

不同的力做功对应不同形式能量的变化定量关系

合外力做的功(所有外力做的功)动能变化W合＝ΔE k=E k2－E k1

重力做的功重力势能变化W G＝－ΔE p＝E p1－E p2

弹簧弹力做的功弹性势能变化W弹＝－ΔE p＝E p1－E p2

只有重力、弹簧弹力做的功不引起机械能变化ΔE＝0

除重力和弹力之外的力做的功机械能变化W其他＝ΔE

电场力做的功电势能变化W电＝－ΔE p＝E p1－E p2

分子力做的功分子势能变化W分＝－ΔE p＝E p1－E p2

一对滑动摩擦力做的总功内能变化Q＝f·s相对

思考：功和能有什么区别？

答案功是反映物体间在相互作用的过程中能量变化多少的物理量，功是过程量，它与一段位移相联系；能是用来反映物体做功本领的物理量，它反映了物体的一种状态，故能是状态量，它与某个时刻(或某一位置)相对应．

二、能量守恒定律

1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变．2．表达式：ΔE减＝ΔE增．

3．对定律的理解

(1)某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等；

(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．

这也是我们列能量守恒定律方程式的两条基本思路．

考点精析：

考点一 功能关系的应用

【例1】物体只在重力和一个不为零的向上的拉力作用下，分别做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动．在这三种情况下物体机械能的变化情况是 ( ) A ．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小 B ．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小

C ．由于该拉力与重力大小的关系不明确，所以不能确定机械能的变化情况

D ．三种情况下，物体的机械能均增加

【练习】已知货物的质量为m ，在某段时间内起重机将货物以加速度a 加速升高h 高度，则在这段时间内，下列叙述正确的是(重力加速度为g ) ( )

A ．货物的动能一定增加 mah －mgh

B ．货物的机械能一定增加mah

C ．货物的重力势能一定增加mah

D ．货物的机械能一定增加mah ＋mgh 【例2】如图所示，质量为m 的物体(可视为质点)以某一速度从A 点冲上倾角为30°的固定

斜面，其运动的加速度为3

4

g ，此物体在斜面上上升的最大高度为h ， 则在这个过程中物体：

(1)重力势能增加了多少？

(2)动能损失了多少？ (3)机械能损失了多少？

【练习】一物块放在如图所示的斜面上，用力F 沿斜面向下拉物块，物块沿斜面运动了一段距离，若已知在此过程中，拉力F 所做的功为A ，斜面对物块的作用力所做的功为B ，重力做的功为C ，空气阻力做的功为D ，其中A 、B 、C 、D 的绝对值分别为100 J 、30 J 、100 J 、20 J ，则：

(1)物块动能的增量为多少？ (2)物块机械能的增量为多少？ (3)物块重力势能的改变量为多少？ (4)物块克服摩擦力做的功是多少？

考点二摩擦力做功的特点及应用

【注意】一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量Q＝f·s相对，其中s相对是物体间相对路径长度．如果两物体同向运动，s相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，s相对为两物体对地位移大小之和；如果一个物体相对另一物体做往复运动，则s相对为两物体相对滑行路径的总长度．

【例1】如图所示，质量为m的长木板A静止于光滑水平面上，在其水平的上表面左端放一质量为m的滑块B，可视为质点.已知木板长为L，它与滑块之间的动摩擦因数为μ.现用

水平向右的恒力F拉滑块B.

(1)当长木板A的位移为多少时，B从A的右端滑出？

(2)求上述过程中滑块与木板之间产生的内能．

类别

比较

静摩擦力滑动摩擦力

不同点能量转

化方面

在静摩擦力做功的过程中，只

有机械能从一个物体转移到另

一个物体(静摩擦力起着传递机

械能的作用)，而没有机械能转

化为其他形式的能量

1．相互摩擦的物体通过摩擦力做功，

将部分机械能从一个物体转移到另一

个物体

2．部分机械能转化为内能，此部分能

量就是系统机械能的损失量

一对摩

擦力做

的总功

方面

一对静摩擦力所做功的代数和

等于零

一对相互作用的滑动摩擦力对物体系

统所做的总功总为负值，系统损失的机

械能转变成内能

相同点两种摩擦力都可以对物体做正功，做负功，还可以不做功

【练习】如图所示，倾角为30°的光滑斜面的下端有一水平传送带，传送带正以6 m/s的速度运动，运动方向如图所示.一个质量为2 kg的物体(物体可以视为质点)，从h＝3.2 m高处由静止沿斜面下滑，物体经过A点时，不管是从斜面到传送带还是从传送带到斜面，都不计其动能损失.物体与传送带间的动摩擦因数为0.5，物体向左最多能滑到传送带左右两端AB的中点处，重力加速度g＝10 m/s2，则：

(1)物体由静止沿斜面下滑到斜面末端需要多长时间？

(2)传送带左右两端AB间的距离l至少为多少？

(3)物体在传送带上完成第一次来回滑行过程中产生的

摩擦热为多少？

考点三能量守恒定律的应用

应用能量守恒定律解题的步骤

(1)分清有多少形式的能[如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等]在变化．

(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式．

(3)列出能量守恒关系式：ΔE减＝ΔE增．

【例1】小物块A 的质量为m ，物块与坡道间的动摩擦因数为μ，水平面光滑；坡道顶端距水平面高度为h ，倾角为θ；物块从坡道进入水平滑道时，在底端O 点处无机械能损失，重力加速度为g .将轻弹簧的一端连接在水平滑道M 处并固定在墙上，另一自由端恰位于坡道的底端O 点，如图所示.物块A 从坡道顶端由静止滑下，求： (1)物块滑到O 点时的速度大小； (2)弹簧为最大压缩量d 时的弹性势能； (3)物块A 被弹回到坡道时上升的最大高度.

【练习】如图所示，水平长传送带始终以速度v =3m/s 匀速运动.现将一质量为m =1kg 的物块放于左端（无初速度）.最终物体与传送带一起以3m/s 的速度运动，在物块由速度为零增加至v =3m/s 的过程中，求： (1)由于摩擦而产生的热量.

(2)由于放了物块，带动传送带的电动机多消耗多少电能.

v

课后练习

一．单项选择题

1．光滑水平地面上叠放着两个物体A 和B ，如图所示．水平拉力F 作用

在物体B 上，使A 、B 两物体从静止出发一起运动．经过时间t ，撤去拉力F ，再经过时间t ，物体A 、B 的动能分别设为E A 和E B ，在运动过程中A 、B 始终保持相对静止．以下有几个说法：

①E A ＋E B 等于拉力F 做的功 ②E A ＋E B 小于拉力F 做的功 ③E A 等于撤去拉力F 前摩擦力对物体A 做的功 ④E A 大于撤去拉力F 前摩擦力对物体A 做的功，其中正确的是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④

2．如图所示，物体A 的质量为m ，置于水平地面上，A 的上端连一轻弹簧，原长为L ，劲度系数为k ，现将弹簧上端B 缓慢地竖直向上提起，使B 点上移距离为L ，此时物体A 也已

经离开地面，则下列论述中正确的是( )

A ．提弹簧的力对系统做功为mgL

B ．物体A 的重力势能增加mgL

C ．系统增加的机械能小于mgL

D ．以上说法都不正确

3．如图所示，质量为m 的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v 匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体过一会儿能保持与传送带相对静止，对于物块从静止释放到相对静止这一过程，下列说法正确的是( )

A ．电动机做的功为1

2

m v 2

B ．摩擦力对物体做的功为m v 2

C ．传送带克服摩擦力做的功为1

2

m v 2

D ．电动机增加的功率为μmg v

4．飞船返回时高速进入大气层后，受到空气阻力的作用，接近地面时，减速伞打开，在距地面几米处，制动发动机点火制动，飞船迅速减速，安全着陆．下列说法正确的是( ) A ．制动发动机点火制动后，飞船的重力势能减少，动能减小 B ．制动发动机工作时，由于化学能转化为机械能，飞船的机械能增加 C ．重力始终对飞船做正功，使飞船的机械能增加

D ．重力对飞船做正功，阻力对飞船做负功，飞船的机械能不变

5．如图所示，具有一定初速度的物块，沿倾角为30°的粗糙斜面向上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面向上的拉力F 作用，这时物块的加速度大小为4 m/s 2，方向沿斜面向下，那么，在物块向上运动过程中，正确的说法是( )

A ．物块的机械能一定增加

B ．物块的机械能一定减小

C ．物块的机械能可能不变

D ．物块的机械能可能增加也可能减小

6．如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球．支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面垂直的固定轴转动．开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法不正确的是()

A．A球到达最低点时速度为零

B．A球机械能减少量等于B球机械能增加量

C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度

D．当支架从左向右摆回时，A球一定能回到起始高度

二．双项选择题

1．若礼花弹在由炮筒底部击发至炮筒口的过程中，克服重力做功W1，克服炮筒阻力及空气阻力做功W2，高压燃气对礼花弹做功W3，则礼花弹在炮筒内运动的过程中(设礼花弹发射过程中质量不变) ()

A．礼花弹的动能变化量为W3＋W2＋W1 B．礼花弹的动能变化量为W3－W2－W1 C．礼花弹的机械能变化量为W3－W2 D．礼花弹的机械能变化量为W3－W2－W1 2．一物体放在升降机的水平地板上，在升降机加速竖直上升的过程中，地板对物体的支持力所做的功等于()

A．物体重力势能的增加量

B．物体动能的增加量

C．物体动能的增加量和物体重力势能的增加量之和

D．物体动能的增加量和克服重力所做的功之和

3．轻质弹簧吊着小球静止在如图所示的A位置，现用水平外力F将小球缓慢拉到B位置，此时弹簧与竖直方向的夹角为θ，在这一过程中，对于整个系统，下列说法正确的是( ) A．系统的弹性势能不变

B．系统的弹性势能增加

C．系统的机械能不变

D．系统的机械能增加

4．如图所示，A、B、C、D四图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度h处由静止释放小球，使之进入右侧不同的竖直轨道：除去底部一小段圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B图中的轨道与A图中的轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大于小球直径的管道，其上部为直管，下部为圆弧形，与斜面相连，管的高度大于h；D图中的轨道是个半圆形轨道，其直径等于h.如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，小球进入右侧轨道后能到达h高度的是()

三．计算题

1．如图所示，斜面的倾角为θ，质量为m的滑块距挡板P的距离为l0，滑块以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力．若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块经过的总路程．

2．如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，皮带在电动机的带动下，始终保持以v0＝2 m/s的速率运行．现把一质量为m＝10 kg的工件(可视为质点)轻轻放在皮带的底端，经时间1.9 s，工件被传送到h＝1.5 m的高处，g取10 m/s2. 求：

(1)工件与皮带间的动摩擦因数；

(2)电动机由于传送工件多消耗的电能．