2019 年河南省中考数学试卷
2019年河南省中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1
1．的绝对值是（）.
2
11
2
A．B．C．2D．﹣2
2
2．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）.
A ．46107B．4.6107C ．4.6106D．0.46105
）.
3．如图，AB∥CD，∠B＝75°，E 27，则∠D的度数为（
A．45°B．48°C．50°D．58°
4．下列计算正确的是（
A ．2a 3a6a
）.
B ．-3a2
6a
2
C ．x y 2x
5．如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）.
D．32222
2y2
A．主视图相同
C．俯视图相同
B．左视图相同
D．三种视图都不相同
）.
A．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
D．没有实数根
7．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）.
6．一元二次方程x 1x -12x3的根的情况是（
A．1.95元
8．已知抛物线y-x
A．﹣2B．﹣4
B．2.15元C．2.25元
2,n 和4,n两点，则n的值为（
C．2D．4
D．2.75元
2bx4经过）.
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ，D 90，AD4，BC3．分别以点A，
1
C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点2
O．若点O是AC的中点，则CD的长为（）.
A．22B．4C．3D．10
10．如图，在△OAB 中，顶点O0，0，A -3，4，B3，4，将△OAB与正方形ABCD 组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）.
A．10，3B．3，
10
C．10,-3D．3﹣,10
二、填空题（每小题3分，共15分。）
11．计算：4－21=．
x
1
12．不等式组2的解集是．
x 74
13．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2
个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色
相同的概率是．
14．如图，在扇形 AOB 中，AOB 120 ，半径 OC 交弦 AB 于点 D ，且OC ⊥OA ．若 OA 2 3 ，则阴影部分的面积为
．
3
15．如图，在矩形 ABCD 中，AB
1，BC
a ，点 E 在边 BC 上，且 BE
a ．连接 AE ， 5
将△ABE 沿 AE 折叠，若点 B 的对应点 B ′落在矩形 ABCD 的边上，则 a 的值为 ．
三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） x 1 2x
x 2
16．（8 分）先化简，再求值： 1 ，其中 x 3 ．
x 2 x
2 4x 4
17．（9 分）如图，在△ABC 中，BA BC ，ABC
90 ，以 AB 为直径的半圆O 交 AC
于点 D ，点 E 是 上不与点 B ， D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F ，连接 BE 并 BD 延长交 AC 于点G ．
（1）求证： ADF ≌BDG ； （2）填空：
①若 AB
4 ，且点 E 是 的中点，则 DF 的长为
；
BD ②取 的中点 H ，当
EAB 的度数为
时，四边形OBEH 为菱形．
AE
18．（9 分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年
级各随机抽取 50 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信 息如下：
a ．七年级成绩频数分布直方图：
b．七年级成绩在70x80这一组的是：7072747576767777
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
777879
年级平均数
76.9中位数
m
七
八79.279.5根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有（2）表中m的值为人；
；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学
生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平
均数76.9分的人数．
19．（9分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如
图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再
沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67，3 1.73）
20．（9分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2
个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
1（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请
3
设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
21．（10 分）模具厂计划生产面积为 4，周长为 m 的矩形模具．对于 m 的取值范围， 小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
4 设矩形相邻两边的长分别为 x ， y ，由矩形的面积为 4，得 xy 4，即 y ；由周长
x
m
为 m ，得 2x y m ，即 y x ．满足要求的x,y 应是两个函数图象在
第
象 2 限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
4 m 函数 y x 0的图象如图所示，而函数 y -x 的图象可由直线 y x 平移得 x 到．请在同一直角坐标系中直接画出直线 2
y x ．
y x （3）平移直线 ，观察函数图象
4
①当 直 线 平 移 到 与 函 数 y x 0 的图象 有唯一交 点 2，2 时，周 长 m 的值
x
为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 m 的取 值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长 m 的取值范围为 ．
22．（10 分）在△ABC 中，CA CB ，ACB ．点 P 是平面内不与点 A ，C 重合的 任意一点．连接 AP ，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转α得到线段 DP ，连接 AD ，BD ，CP ．
（1）观察猜想
BD
如图 1，当 60时， 的值是 ，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的
CP
度数是 ．
（2）类比探究
BD
如图 2，当 90 时，请写出 的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数，
CP
并就图 2 的情形说明理由．
（3）解决问题
当 90 时，若点 E ，F 分别是 CA ，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点
AD
CP
C ，P ，
D 在同一直线上时
的值． ．
1 2
x c ，C 交 x 轴于 A ，B 两点，交 y 轴于点 C ．直 y ax 23．（11 分）如图，抛物线
2
1
线 y x 2 经过点 A ，C ．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M ，设点 P 的 横坐标为 m ．
①当△PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标；
②作点 B 关于点 C 的对称点 B'，则平面内存在直线l ，使点 M ，B ，B ′到该直线的距离 y 都相等．当点 P 在 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线l ：y kx
b
的解析式．（ k ，b 可用含 m 的式子表示）
2019年河南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1
1．的绝对值是（）.
2
11
2
A．B．C．2D．﹣2
2
1
2
1
2
解：，故选B．
2．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）.
A．46107B ．4.6107C．4.6106D．0.46105
解：0.0000046 4.6106．故选C．
3．如图，AB∥CD，∠B＝75°，E 27，则∠D的度数为（
A．45°B．48°C．50°D．58°
）.
解：∵AB∥CD ∴B 1
∵1D E ∴D B E 752748，故
选B．
4．下列计算正确的是（）.
A．2a 3a6a B．-3a26a
D．32222
3a29a
，B错误；
2
C．x y 2x
解：2a 3a5a，A错误；
2y2
2
x y x
5．如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）.
22xy y2，C错误；，D正确；故选D．
32222
A．主视图相同
C．俯视图相同
B．左视图相同
D．三种视图都不相同
解：图①的三视图为：
图②的三视图为：故选C．
6.一元二次方程x 1x -12x3的根的情况是（）.
A．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
D．没有实数根
解：原方程可化为：x 22x 40∴a1，b 2，c
4
∴2241-4200
7．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某
天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）.
∴方程由两个不相等的实数根．故选A．
A．1.95元
解：这天销售的矿泉水的平均单价是510%315%255%120% 2.25（元），故选C．
B．2.15元C．2.25元D．2.75元
8．已知抛物线y-x 2bx4经过
B ．﹣4
bx 4经过-2,n 和4,n两点，可知函数的对称轴x1∴
1
2,n 和4,n两点，则n的值为（）.
A．﹣2C．2D．4
b 解：抛物线y-x2
2∴b=2∴y-x
2x 4，将点-2,n代入函数解析式，可得n-4，故选B．
2
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，D 90，AD4，BC3．分别以点A，
1
C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点
2
O．若点O是AC的中点，则CD的长为（）.
A．22
解：如图，连接FC，则AF FC ．
FAO BCO
B．4C．3D．10
∴FAO BCO．
∵AD ∥BC
在△FOA与△BOC 中OA OC ∴FOA≌BOC
ASA
∴AF BC 3
AOF COB
∴FC AF3，FD AD AF 431．
在FDC 中，D 90
故选A．
∴CD 2DF 2FC2∴CD 21
2
32∴
CD22
10．如图，在△OAB 中，顶点O 0，0，A -3，4，B 3，4，将△OAB与正方形ABCD 组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）.
B．10，3B．3，
10
C．10,-3D．3﹣,10
解：∵A-3，4，B 3，
4
∴AB 336
∵四边形ABCD为正方形∴AD AB6∴D-3，10
∵704172∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与
正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°
∴点D的坐标为3,-10．故选D．
二、填空题（每小题3分，共15分。）
11．计算：4－21=．
111
421=21．故答案为1．
解：
222
x
1
12．不等式组2的解集是．
x 74
x
解：解不等式1，得x 2，解不等式x 74，得x3，则不等式组的解集2
为x 2，故答案为x 2．
13．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2
个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色
相同的概率是
解：列表如下：
．
黄红红
红（黄，红）
（黄，红）
（黄，白）（红，红）
（红，红）
（红，白）
（红，红）
（红，红）
（红，白）
红
白
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，所以摸出
44
的两个球颜色相同的概率为，故答案为．
99
14．如图，在扇形AOB 中，AOB 120，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA23，则阴影部分的面积为．
解：∵AOB 120，OA OB23∴OAB OBA
30
OA1∵OC⊥OA ∴AOC 90∴OD 2∴S
AOD OD OA23
32
3
∵BOC AOB AOD 30 ∴ S OD 3 2 BOD
4
30 ∵ S
扇形 B OC
OB 2
∴ S 阴影 S
S S BOD
3
AOD
扇形BOC
360
3
15．如图，在矩形 ABCD 中，AB 1，BC a ，点 E 在边 BC 上，且 BE a ．连接 AE ，
5
将△ABE 沿 AE 折叠，若点 B 的对应点 B ′落在矩形 ABCD 的边上，则 a 的值为 ．
解：分两种情况：①当点 B ′落在 AD 边上时，如图 1．
∵四边形 ABCD 是矩形 ∴BAD B 90 ∵将△ABE 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 B ′落在 AD 边上
1 3 3
∴BAE B AE BAD 45
∴AB=BE
∴ a 1 ∴ a 2 5 5 ②当点 B 落在CD 边上时，如图 2． ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴BAD B C D
90， ∵将△ABE 沿 AE 折叠，点 B 的对应点
B 落在CD 边上 3
∴B AB E 90 ， AB AB 1， EB EB a AD BC
a
5 3 2 ∴
' 2 2 2 ， EC BC BE a a a . DB B A AD 1 a 5 5 B'AD EB'C
90AB'D 在△ADB
与△B CE 中， ∴△ADB ∽△B CE
D C 90
1 a 2
1
DB' AB'
5 ∴
，即 ，解得 a 1= ， a 2
0（舍去）．
2 3
5
CE B'E' a
a 3 5
5 5
5 5 综上，所求 a 的值为 或 ．故答案为 或 3 ．
3 3 3
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
x 12x
x2
16．（8分）先化简，再求值：1，其中x3．
x 2x 4x
4
2
x1x x x
2
23x233
3
．解：原式，当x3时，原式
x2x 2x
22
x2x x3 18．（9分）如图，在△ABC中，BA BC ，ABC 90，以AB为直径的半圆O交AC 于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并BD
延长交AC于点G．
（1）求证：ADF≌BDG；
（2）填空：
①若AB4，且点E是的中点，则DF的长为；
BD
②取的中点H ，当EAB的度数为时，四边形OBEH为菱形．
AE
解：（1）证明：如图1
∵AB 是O 的直径
∴DAF BGD DBG BGD 90
∵BA BC，ABC 90
∴ADB AEB 90
∴DAF DBG
∴ABD BAC 45∴AD=BD
∴BAC 45
∵ABD BAC
90
∴ADF ≌BDG
ASA
（2）①如图2，过F作FH AB于H
∵FD⊥AD，FH⊥AB
∵点E是的中点∴BAE DAE
BD
∴FH FD
FH
BF
2FD
BF
2
∵sin ABD=sin45°∴，即
BF2FD
22
∵AB4∴，
BD 4cos4522
22
即，21FD22∴FD 422 BF FD22
21
故答案为．
422
②连接OE，EH，∵点H是的中点∴OH AE
AE
∵AEB90∴BE⊥AE∴BE∥OH
1BE
AB 1 2
∵四边形OBEH为菱形∴BE OH OB AB∴sin EAB
2
∴EAB30．故答案为30°
18．（9分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：
b．七年级成绩在70x80这一组的是：
7072747576767777777879
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级平均数
76.9中位数
m
七
八79.279.5根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有（2）表中m的值为人；
；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15823人，故答案为23；
（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分
77 78
别为 78、79，所以 m 77.5，故答案为 77.5
2
（3）甲学生在该年级的排名更靠前
∵七年级学生甲的成绩大于中位数 78 分，其名次在该年级抽查的学生数的 25 名之前， 八年级学生乙的成绩小于中位数 79.5 分，其名次在该年级抽查的学生数的 25 名之后
∴甲学生在该年级的排名更靠前．
5+15+8
（4）估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数为 400 224 （人）．
50
19．（9 分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如 图所示，炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上，在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34°，再 沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处，测得塑像顶部 D 的仰角为 60°，求炎帝塑像 DE 的高度．
（精确到 1 m ．参考数据： sin34 0.56，cos34 0.83，tan34 0.67 ， 3 1.73 ）
CE 解：∵ACE 90，CAE 34 ，CE 55m ∴tan CAE
AC
CE 55 ∴ AC
= 82.1m ∵ AB 21m ∴ BC AC AB 61.1m tan34 0.67
CD
在 Rt △BCD 中，tan60 3 ∴CD 3BC 1.7361.1105.7m
BC
∴ DE CD EC 105.7 55 51m ， 答：炎帝塑像 DE 的高度约为 51m ． 20．（9 分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买 3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元．
（1）求 A ，B 两种奖品的单价；
1
（2）学校准备购买 A ，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的 ．请
3
设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
3x 2y 120
x 30 ∴
解：（1）设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 元，根据题意得 y 5x 4y 210
y 15
∴A 的单价 30 元，B 的单价 15 元 （2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为
30 z
个，购买奖品的花费为W 元，由题
1 15
意可知 z 30
z
∴ z ，W 30z 1（5 30 z ）=450 15z 3 2 当 z 8 时，W 有最小值为 570 元，即购买 A 奖品 8 个，购买 B 奖品 22 个，花费最少
21．（10 分）模具厂计划生产面积为 4，周长为 m 的矩形模具．对于 m 的取值范围， 小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
4 设矩形相邻两边的长分别为 x ， y ，由矩形的面积为 4，得 xy 4，即 y ；由周长
x
m
为 m ，得 2x y m ，即 y x ．满足要求的x,y 应是两个函数图象在
第
象 2 限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
4 m 函数 y x 0的图象如图所示，而函数 y -x 的图象可由直线 y x 平移得 x 到．请在同一直角坐标系中直接画出直线 2
y x ．
y x （3）平移直线 ，观察函数图象
4
①当 直 线 平 移 到 与 函 数 y x 0 的图象 有唯一交 点 2，2 时，周 长 m 的值
x
为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 m 的取 值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长 m 的取值范围为 ．
解：（1） x ， 都是边长，因此，都是正数，故点 x,y 在第一象限，答案为一； y （2）图象如右图所示： m m
（3）①把点
2，2
代入 y
x 得：2 2+ ，解得 m 8 ，即 0 个交点时，m 8 ；2 2
1 个交点时， m 8 ；
2 个交点时， m 8
4 m
②在直线平移过程中，交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况，联立 y 和 y x
x 2
1 1
并整理得 x 2 mx 4 0 ，△= m 2 44 0时，两个函数有交点，解得 m 8 ；
2
4 （4）由（3）得 m 8 ．
22．（10分）在△ABC 中，CA CB ，ACB ．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想
BD
如图1，当60时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的
CP
度数是．
（2）类比探究
BD
如图2，当90时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，
CP
并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当90时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点
AD
C，P，D在同一直线上时的值．
CP
解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O ．
∵PAD CAB
60
∵CA BA，PA DA
∴CAP BAD
∴△CAP≌△BAD SAS
∴BEO CAO 60
∴PC BD ，ACP ABD ∵AOC BOE
BD
∴1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°.故答案为1，60°．PC
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
AB AD
∵PAD CAB
45
∴PAC DAB ∵2
AC AP
BD AB
∴△DAB∽△PAC ∴PCA DBA ，2∵EOC AOB
PC AC
∴CEO OABB 45∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
∵CE EA ，CF FB
∵PAO 45∴PAO OFH
∵APC 90，EA EC
∴EF∥AB ∴EFC ABC 45
∵POA FOH ∴H APO
∴ADB 90
∴PE EA EC ∴EPA EAP BAH
∵ADP BDC 45
∵ADB ACB 90∴H BAH
∴BD AH
∴BH BA
∴DBA DBC 22.5
∴A，D，C，B四点共圆，DAC DBC 22.5，DCA ABD 22.5
2∴DAC DCA22.5∴DA DC，设AD a，则DC AD a，PD a
2 AD
a
22
∴CP2．
a a
2
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证DA DC，设AD a，则CD AD a，
AD
a
22
22
PD a∴PC a a∴PC2．
a a
22
2
1
2x c，C交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直
y ax
23．（11分）如图，抛物线
2
1
线y x2经过点A，C．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的
横坐标为m．
①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离
y
都相等．当点P在轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l ：y kx b 的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
1
解：（1）当x0时，y x 2
2
∴点C 的坐标为0,-2
∴点A 的坐标为4，0
2
1
当y 0时，x 20，解得x
42
1
4
16a 2c
a
1
将A4，0，C
0,2代入
y ax 2x c，得解得
2c 2c 2
11
y x 2x2．
∴抛物线的解析式为
（2）①∵PM x轴
42
∴PMC 90∴分两种情况考虑，如图1所示．
∴点P的纵坐标为﹣2．当y 2时，
x x 22解得x=-2，x0
∴点P 的坐标为2,2
12
（i ）当MPC 90时，PC∥x轴
1
4
1
2
2
（ii ）当PCM 90时，设PC与x轴交于点D ．
∵OAC OCA 90，OCA OCD 90∴OAC OCD
OD OC OD2
4又∵AOC COD 90
∴OD1∴点D的坐标为1，0．
设直线PC的解析式为y kx b k 0，将C0﹣,2，D1，0代入y kx b，得
∴△AOC∽△COD ∴，即
OC OA 2
b 2k2
解得
b 2
∴直线PC的解析式为y 2x2．
k b 0
联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得
y 2x 2 x
1 0 x
2 6
6，
10 ． 1 1 解得 ，
∴点 P 的坐标为 y x 2 x 2 y 2 y 10 2
1
4 2
综上所述，当△PCM 是直角三角形时，点 P 的坐标为2,2
或6，10
．
1 4 1
②当 y
0时， x 2 x 2 0 ，
2
解得 x =-4， x 2
∴点 B 的坐标为
2，0
1 2 ∵点 C 的坐标为
0,2
，点 B ，B ′关于点 C 对称 ∴点 B ′的坐标为
2,4
∵点 P 的横坐标为m
m 0且m 0
∴点 M 的坐标为m,m
2．
m 4
m 4 m 2
利用待定系数法可求出：直线 BM 的解析式为 y x
，直线 B ′M 的解析 2m 4
m 4 2m 4 5m 6
m 2
式为 y x
，直线 BB ′的解析式为 y x 2． 分三种情况考虑，如图 2 所示：
m 4
当直线l ∥BM 且过点 C 时，直线l 的解析式为 y x
2； x 2；
2m 4 m 4
当直线l ∥B M 且过点 C 时，直线l 的解析式为 y
2m+4
1 1
当直线l ∥BB 且过线段 CM 的中点 N m, m 2 时，直线l 的解析式为
2 4
3
y
x m 2 ． 4
m 4 m 4 2m+4 3
综上所述，直线l 的解析式为 y
x 2， y x 2或 y x m 2 ．
2m 4 4