正弦定理和余弦定理同步练习
正弦定理和余弦定理同步练习
基础达标 一、选择题
1.在△ABC 中,a=1,b=3,A=30°,则B 等于( ) A.60° B.60°或120° C.30°或150° D.120°
2.在△ABC 中,A=60°,C=45°,b=2,则此三角形的最小边长为( )
A.2
B.2
3-2 C.
3-1
D.2(2-1)
3.△ABC 中,根据下列条件,确定△ABC 有两解的是( ) A.a=18,b=20,A=120°
B.a=60,c=48,B=60°
C.a=3,b=6,A=30°
D.a=14,b=16,A=45° 4.已知△ABC 中,a=3,b=1,B=30°,则其面积等于
( )
A.2
3或3 B.
23
C.
4
3
或
23 D.
4
3
5.在△ABC 中,若
a
A sin =
b
B
cos ,则B 的值为…( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
6.在△ABC 中,a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)的值是( ) A.21
B.0
C.1
D.π
7.已知△ABC 中,acosB=bcosA,则△ABC 为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰或直角三角形
D.钝角三角形 8.在△ABC 中,C=2B,则B
B sin 3sin 等于( )
A.b a
B.a b
C.
c a
D.
a
c
二、填空题
9.三角形的两边分别为3 cm 和5 cm,它们所夹角的余弦为方程5x 2-7x-6=0的根,则这个三角形的面积是_______________________________.
10.△ABC 中,已知b=2a,B=A+60°,则A=___________________________. 三、解答题
11.已知三角形的两角分别是45°、60°,它们夹边的长是1,求最小边长
.
12.如图所示,AB ⊥BC,CD=33,∠ACB=15°,∠BCD=75°,∠BDC=45°,求AB 的长
.
练习题 1.在△ABC 中,已知tanA=21,tanB=31,且最长边为1,求: (1)角C 的大小;
(2)△ABC 最短边的长. 2.在△ABC 中,已知A+C=2B,tanA ·tanC=2+3. (1)求A 、B 、C 的值;
(2)若顶点C 的对边c 上的高等于43,求△ABC 各边的长
.
3.某人在草地上散步,看到他西方有两根相距6米的标杆,当他向正北方向步行3分钟后,看到一根标杆在其西南方向上,另一根标杆在其南偏西30°方向上,求此人步行的速度
.
解三角形应用举例同步练习
1.在△ABC 中,下列各式正确的是( )
A. a b =sin B sin A
B.a sin C =csin B
C.a sin(A +B )=c sinA
D.c 2
=a 2+b 2-2ab cos(A +B )
2.已知三角形的三边长分别为a 、b 、a 2+ab +b 2 ,则这个三角形的最大角是( )
A.135°
B.120°
C.60°
D.90° 3.海上有A 、B 两个小岛相距10 nmile ,从A 岛望B 岛和C 岛成60°的视角,从B 岛望A 岛和C 岛成75°角的视角,则B 、C 间的距离是( ) A.5 2 nmile B.10 3 nmile C.
1036
nmile D.5 6 nmile
4.如下图,为了测量隧道AB 的长度,给定下列四组数据,
测量应当用数据
A.α、a 、b
B.α、β、a
C.a 、b 、γ
D.α、β、γ
5.某人以时速a km 向东行走,此时正刮着时速a km 的
南风,
那么此人感到的风向为 ,风速为 .
6.在△ABC 中,tan B =1,tan C =2,b =100,则c
= .
7.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏
东60°
的方向航行30 nmile 后看见灯塔在正西方向,则这时
船与灯
塔的距离是 . 8.甲、乙两楼相距20 m ,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,
从甲楼顶望乙楼顶的俯角为300
,则甲、乙两楼的高分别是 .
9.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ,由此点向塔沿直线行走30米,测得塔顶的仰角为2θ,再向
塔前进10 3 米,又测得塔顶的仰角为4θ,则塔高是 米.
10.在△ABC 中,求证:cos2A a 2 -cos2B b 2=1a 2 -1
b
2 .
11.欲测河的宽度,在一岸边选定A 、B 两点,望对岸的标记物C ,测得∠CAB =45°,∠CBA =75°,AB =120 m ,求河宽.(精确到0.01 m )
12.甲舰在A 处,乙舰在A 的南偏东45°方向,距A 有9 nmile ,并以20 nmile/h 的速度沿南偏西15°方向行驶,若甲舰以28 nmile/h 的速度行驶,应沿什么方向,用多少时间,能尽快追上乙舰?
人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案教学内容
人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案
人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案 一、选择题 1.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,b =3, cos C =- 41,则c 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2.在△ABC 中,若BC =2,AC =2,B =45°,则角A 等于( ) (A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150° 3.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知B =30°,c = 150,b =503,那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 4.在△ABC 中,已知3 2sin ,53cos ==C B ,AC =2,那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)5 12 5.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,如果A ∶B ∶C = 1∶2∶3,那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3 二、填空题 6.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,B = 45°,C =75°,则b =________. 7.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,b =23,c =4,则A =________.
8.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2cos B cos C=1-cos A,则△ABC形状是________三角形. 9.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=4,B =60°,则c=________. 10.在△ABC中,若tan A=2,B=45°,BC=5,则AC=________. 三、解答题 11.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c, 若a=2,b=4,C=60°,试解△ABC. 12.在△ABC中,已知AB=3,BC=4,AC=13. (1)求角B的大小; (2)若D是BC的中点,求中线AD的长. 13.如图,△OAB的顶点为O(0,0),A(5,2)和B(-9,8),求角A的大小.
正弦定理和余弦定理
04—正弦定理和余弦定理 利用正弦定理解三角形 (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角.由于三角形的形状不能唯一确定,会出现两解、一解和无解三种情况. [例1] (1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a sin B cos C +c sin B cos A =1 2 b ,且 a > b ,则B =( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π 6 (2)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =3,sin B =12,C =π 6,则b =________. [解析] (1)利用正弦定理的变形,得a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,代入a sin B cos C +c sin B cos A =12b 中,得2R sin A ·sin B cos C +2R sin C sin B cos A =12×2R sin B ,所以sin A cos C +sin C cos A =12,即sin(A +C )=12,所以sin B =12.已知a >b ,所以B 不是最大角,所以B =π6 . (2)在△ABC 中,∵sin B =12,0b .又a +c =2b ,所以c =a -8,所以a 大于c ,则A =120°. 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(a -4)2+(a -8)2-2(a -4)·(a -8)·????-12,所以a 2-18a +56=0. 所以a =14或a =4(舍去).故选B. (2)由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab ,将其代入a cos C +32c =b 中得,a ×a 2+b 2-c 22ab +3 2 c =b ,化简 整理得b 2+c 2-a 2=3bc ,于是cos A =b 2+c 2-a 22bc =32,所以A =π6.[答案] (1)B (2)π 6 利用正、余弦定理解三角形 [例3] 设△ABC 1,A =2B . (1)求a 的值;(2)求sin ??? ?A +π 4的值. [解] (1)因为A =2B ,所以sin A =sin 2B =2sin B cos B .由正、余弦定理,得a =2b ·a 2+c 2-b 2 2ac .因为b =3,c =1,所以a 2=12,a =2 3. (2)由余弦定理,得cos A =b 2+c 2-a 22bc =9+1-126=-1 3 .因为0 『高考复习·精推资源』『题型归纳·高效训练』 高考复习·归纳训练 2021年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题4.5 正弦定理和余弦定理 目录 一、题型全归纳 (1) 题型一利用正、余弦定理解三角形 (1) 类型一用正弦定理解三角形 (2) 类型二用余弦定理解三角形 (2) 类型三综合利用正、余弦定理解三角形 (3) 题型二利用正、余弦定理边角互化 (5) 题型三与三角形面积有关的问题 (7) 二、高效训练突破 (10) 一、题型全归纳 题型一利用正、余弦定理解三角形 【题型要点】解三角形的常见题型及求解方法 (1)已知两角A,B与一边a,由A+B+C=π及a sin A= b sin B= c sin C,可先求出角C及b,再求出c. (2)已知两边b,c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bc cos A,先求出a,再求出角B,C. (3)已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C. (4)已知两边a,b及其中一边的对角A,由正弦定理a sin A=b sin B可求出另一边b的对角B,由C=π-(A+B), 可求出角C,再由a sin A=c sin C可求出c,而通过a sin A= b sin B求角B时,可能有一解或两解或无解的情况. 类型一 用正弦定理解三角形 【例1】.(2020·北京朝阳区模拟)在△ABC 中,B =π6,c =4,cos C =53 ,则b =( ) A .3 3 B .3 C.32 D.43 【例2】.(2020·丹东模拟)在△ABC 中,C =60°,AC =2,AB =3,则A =( ) A .15° B .45° C .75° D .105° 类型二 用余弦定理解三角形 【例3】(2020·贵阳模拟)平行四边形ABCD 中,AB =2,AD =3,AC =4,则BD =( ) A .4 B.10 C.19 D.7 【例4】.在△ABC 中,AB =4,AC =7,BC 边上中线AD =72 ,则BC =________. 类型三 综合利用正、余弦定理解三角形 【例5】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .设(sin B -sin C )2=sin 2A -sin B sin C. △求A ; △若2a +b =2c ,求sin C. 【例6】在△ABC 中,a =3,b -c =2,cos B =-12 . 1.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,则b 等于( ) D .26 2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( ) A .4 2 B .4 3 C .4 6 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,则角B 为( ) A .45°或135° B .135° C .45° D .以上答案都不对 4.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A .1∶5∶6 B .6∶5∶1 C .6∶1∶5 D .不确定 解析:选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c =1∶5∶6. 5.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( ) A .1 C .2 6.在△ABC 中,若cos A cos B =b a ,则△ABC 是( ) A .等腰三角形 B .等边三角形 C .直角三角形 D .等腰三角形或直角三角形 7.已知△ABC 中,AB =3,AC =1,∠B =30°,则△ABC 的面积为( ) 或 3 或3 2 8.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( ) B .2 C. 3 9.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a =1,c =3,C =π 3,则A =________. 10.在△ABC 中,已知a =43 3,b =4,A =30°,则sin B =________. 11.在△ABC 中,已知∠A =30°,∠B =120°,b =12,则a +c =________. 12.在△ABC 中,a =2b cos C ,则△ABC 的形状为________. 13.在△ABC 中,A =60°,a =63,b =12,S △ABC =183,则a +b +c sin A +sin B +sin C =________,c =________. 14.已知△ABC 中,∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,a =1,则a -2b +c sin A -2sin B +sin C =________. 15.在△ABC 中,已知a =32,cos C =1 3,S △ABC =43,则b =________. 16.在△ABC 中,b =43,C =30°,c =2,则此三角形有________组解. 17.如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°, 航行半小时后船到达C 点,观测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是多少 18.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,若a =23,sin C 2cos C 2=14,sin B sin C =cos 2A 2,求A 、B 及b 、c . 19.(2009年高考四川卷)在△ABC 中,A 、B 为锐角,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,且cos 2A =35,sin B =1010.(1)求A +B 的值;(2)若a -b =2-1,求a ,b ,c 的值. 20.△ABC 中,ab =603,sin B =sin C ,△ABC 的面积为153,求边b 的长. 正余弦定理常见解题类型 1. 解三角形 正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题:①已知两角和任一边,求其他两边和一角;②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角及其他的边和角. 余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题:①已知三边,求三个角;②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 例1 已知在ABC △中,4526A a c ∠===,,,解此三角形. 解:由余弦定理得22(6)26cos 454b b +-=, 从而有31b =±. 又222(6)222cos b b C =+-?, 得1cos 2 C =±,60C ∠=或120C ∠=. 75B ∴∠=或15B ∠=. 因此,31b =+,60C ∠=,75B ∠= 或31b =-,120C ∠=,15B ∠=. 注:此题运用正弦定理来做过程会更简便,同学们不妨试着做一做. 2. 判断三角形的形状 利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或 边的关系,一般的,利用正弦定理的公式2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===,,,可将边转化为角的三角函数关系,然后利用三角函数恒等式进行化简,其中往往用到三角形内角和定理: A B C ++=π;利用余弦定理公式222222 cos cos 22b c a a c b A B bc ac +-+-==,, 222 cos 2a b c C ab ++=,可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系,然后充分利用代数知识来解决问题. 例2 在ABC △中,若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=,判定三角形的形状. 解:由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===,为ABC △外接圆的半径, 可将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =, sin sin 0B C ≠∵, sin sin cos cos B C B C ∴=,即cos()0B C +=. 90B C ∴+=,即90A =,故ABC △为直角三角形. 3. 求三角形中边或角的范围 例3 在ABC △中,若3C B ∠=∠,求c b 的取值范围. 解: A B C ∠+∠+∠=π,4A B ∴∠=π-∠. 04B π∴<∠<.可得210sin 2 B <<. 又2sin sin 334sin sin sin c C B B b B B ===-∵, 2134sin 3B ∴<-<.故13c b <<. 点评:此题的解答容易忽视隐含条件B ∠的范围,从而导致结果错误.因此,解此类问题应注意挖掘一切隐含条件. 4. 三角形中的恒等式证明 根据所证等式的结构,可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式. 例4 在ABC △中,若2()a b b c =+,求证:2A B =. 证明:2222cos 2222a c b bc c b c a B ac ac a b +-++====∵, 222222 22222cos 22cos 1214222a a b b bc b c b B B b b b b -+--∴=-=?-===. 高一数学《正弦定理、余弦定理》单元测试题(1) 班级 姓名 1.在ABC ?中,?=∠?=∠=15,30,3B A a ,则=c ( ) A .1 B. 2 C .3 2 D. 3 2.在ABC ?中,若 B b sin 2=,则∠A 等于( ) A .30°或60° B .45°或60° C .120°或60° D .30°或150° 3.在ABC ?中,?=∠==60,10,15A b a ,则B cos =( ) A .-223 B.223 C .-63 D.63 4.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若B b A a sin cos =,则 B A A 2cos cos sin +=( ) A .-12 B.1 2 C .-1 D .1 5.在ABC ?中,若A b a sin 23=,则B 等于 ( ) A. 30 B. 60 C. 30或 150 D. 60或 1206.在ABC ?中,已知 45,1,2=== B c b ,则a 等于 ( ) A. 226- B. 2 2 6+ C. 12+ D. 23- 7.不解三角形,确定下列判断中正确的是 ( ) A. 30,14,7===A b a ,有两解 B. 150,25,30===A b a ,有一解 C. 45,9,6===A b a ,有两解 D. 60,10,9===A c b ,无解 8.在ABC ?中,?===30,3,1A b a ,则c =( ) A .1 B .2 C .1或2 D .无解 9.在ABC ?中,已知B a b sin 323=,C B cos cos =,则ABC ?的形状是( ) A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 10.在ABC ?中, 60=A ,3=a ,则 =++++C B A c b a sin sin sin ( ) A. 338 B.3392 C.3 3 26 D. 32 11.在ABC ?中,已知3,45,60=?=∠?=∠C ABC BAC ,则AC =________; 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导; 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形; 3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用; 2.通 过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 基础知识梳理 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可 以变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin _B ∶sin _C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos_A ,b 2 =a 2 +c 2 -2ac cos_B ,c 2 =a 2 +b 2 -2ab cos_C .余弦 定理可以变形:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab .2021年高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题:4.5 正弦定理和余弦定理(原卷版)文
正余弦定理练习题(答案)
新课标高考数学题型全归纳正余弦定理常见解题类型典型例题
《正弦定理、余弦定理》单元测试题
正弦定理和余弦定理详细讲解