面板数据模型与应用

面板数据模型初步

在经济学研究和实际应用中，经常会遇到时间序列与横截面相结合的二维数据。例如，在居民家庭消费分析中，会遇到不同省市地区的居民家庭人均消费和居民家庭人均收入的年度时间序列数据；在生产函数分析中，会遇到不同企业的产出、资本、劳动等年度或季度时间序列数据。这种具有时间序列与横截面信息的二维数据称为面板数据（Panel Data ），也可称为平行数据、时间序列与截面混合数据（Pooled Time Series and Cross Section Data ）。面板数据从横截面上看，是由若干个体，比如个人、家庭、企业或国家等，在某一时间构成的截面观测值，从纵剖面上看每个个体都是一个时间序列。

经典计量经济学在分析实际问题时，只利用了时间序列或截面数据进行建模，在很多情况下是不能满足人们分析问题的需要。例如，在分析企业生产成本问题，若只选用截面数据，即选择同一时间上不同规模的企业数据作为样本观测，可以分析生产成本与企业规模的关系，但是不能分析技术革新对生产成本的影响；若只采用时间序列数据，即选择某个企业在不同时间上的数据作为样本观测，可以分析生产成本与技术革新的关系，但是不能分析企业规模对生产成本的影响；然而利用面板数据，即在不同的时间上选择不同规模的企业数据作为样本观测，就可以同时分析企业规模和技术革新对生产成本的影响。因此，面板数据含有更多的信息，能更好构造和检验真实的、复杂的行为模型，同时它还能够增加模型的自由度，降低解释变量之间的多重共线性程度，更高的估计效率，正是由于面板数据具有诸多的优点，Panel Data 模型是近年来非经典计量经济学的一个重要发展之一，在经济学领域得到大量广泛的应用，比如在宏观经济领域，它被广泛应用于经济增长、技术创新、金融、税收政策等领域；在微观经济领域，它被大量应用于就业、家庭消费、入学、市场营销等领域。但是，由于面板数据自身的特点，Panel Data 模型的设定和估计都存在一定的假设条件，如果应用不当的话，将会产生较大偏误，估计结果与实际相差甚远。

第一节 面板数据模型分类

从形式上看，面板数据与截面数据或时间序列数据的区别在于变量用双下标表示，例如：

T t N i y x it it ,,2,1;,,2,1,, ==

其中i 对应面板数据中不同个体，如个人、家庭、企业或国家等，N 表示面板数据中含有N 个个体；t 对应面板数据中不同时间，T 表示时间序列的最大长度。对于面板数据，如果数据是完整的，即每个个体在相同的时期内都有观测记录，称此面板数据为平衡面板数据（balanced panel data ）；若面板数据中的个体在相同时期内缺失若干个观测值，称此面板数据为非平衡面板数据（unbalanced panel data ），例如，考虑时间跨度为20年的企业生产函数问题，在此期间若某些企业倒闭，将缺失有关数据。 例1：2002-2009年中国西部9个省市区的城镇居民家庭人均支出（CP ）和人均收入（IP ）数据见表1和表2。数据是8年的，每一年都有9个数据，共72组观测值。

人均支出和收入两个面板数据都是平衡面板数据，各有9个个体。人均支出和收入的面板数据从纵剖面观察分别见图1和图2。

表1 2002—2009年中国西部9个省市区的城镇居民家庭人均支出数据

CP-SC （四川） 5413.08 5759.21 6371.14 6891.27 7524.81 8691.99 9679.14 10860.2 CP-CQ （重庆） 6360.24 7118.06 7973.05 8623.29 9398.69 9890.31 11146.8 12144.1 CP-YN （云南） 5827.92 6023.56 6837.01 6996.9 7379.81 7921.83 9076.61 10201.8 CP-GZ （贵州） 4598.28 4948.98 5494.45 6159.29 6848.39 7758.69 8349.21 9048.3 CP-GS （甘肃） 5064.24 5298.91 5937.3 6529.2 6974.21 7875.78 8308.62 8890.8 CP-NX （宁夏） 5104.92 5330.34 5821.38 6404.31 7205.57 7817.28 9558.29 10280 CP-QH （青海） 5042.52 5400.24 5758.95 6245.26 6530.11 7512.39 8192.56 8786.5 CP-SX （陕西） 5378.04

5666.54

6233.07

6656.46

7553.28

8427.06

9772.07

10705.7

CP-XJ （新疆） 5636.4 5540.61 5773.62 6207.52 6730.01 7874.27 8669.36 9327.6

表2 2002—2009年中国西部9个省市区的城镇居民家庭人均收入数据

CP-SC （四川） 6988.56 7488.49 8261.44 9003.59 10117 12009.81 13685.1 15323.8 CP-CQ （重庆） 7663.32 8671.91 9910.09 11079.15 12548.91 13441.17 15217.73 16990.3 CP-YN （云南） 7690.2 8202.58 9546.29 9994.65 10848.1 12296.42 14118.03 15680.3 CP-GZ （贵州） 6107.28 6746.36 7518.72 8385.08 9439.31 11066.43 12185.62 13793.4 CP-GS （甘肃） 6524.28 7132.82 7990.65 8738.11 9586.46 10859.69 11669.33 12918 CP-NX （宁夏） 6409.44 6991.26 7748.53 8744.86 10002.03 11793.08 14118.64 15550.8 CP-QH （青海） 6499.32 7155.13 7785.09 8766.68 9803.13 11428.29 12867.33 14150.3 CP-SX （陕西） 6747 7314.44 8043.23 8902.26 9938.19 11482.13 13847.12 15311.3 CP-XJ （新疆）

7452.6

7866.85

8201.82

8693.67 9689.07 11302.99 12478.61

13602.2

4000

5000600070008000900010000110001200013000

2002

2003

20042005

20062007

20082009

6000

8000

1000012000

14000

1600018000

20022003200420052006200720082009

图1 9个省市区的城镇人均支出序列 图2 9个省市区的城镇人均收入序列

单方程Panel Data 模型的一般形式为：

it i it i it u x y ++=βα', T t N i ,,2,1;,,2,1 == (10.1)

其中i α表示截距项，i β表示对应于解释变量it x 的1?k 维系数向量，k 表示解释变量的个数，随机误差项it u 相互独立，且满足零均值，同方差为2

u σ的假设。根据截距项i α和系数向量i β中各分量的不同限制，可将（10.1）所描述的Panel Data 模型分为三种类型：混合回归模型；变截距模型；变系数模型。 1混合回归模型（Pooled Regression Model ）

如果一个面板数据模型定义为，

it it it u x y ++=βα', T t N i ,,2,1;,,2,1 == (10.2)

称此模型为混合回归模型。混合回归模型的特点是无论对任何个体和截面，回归系数α和β都相同，即在横截面上无个体影响、无结构变化。

如果模型是正确设定的，解释变量与误差项不相关，即0),cov(=it it u x 。那么无论是N →∞，还是T →∞，将各个体的时间序列数据放在一起作为样本数据，则模型参数的混合最小二乘估计量（Pooled

OLS ）是一致有效估计量。 2．变截距模型

变截距模型是应用最广泛的一种面板数据模型，可表示为：

it it i it u x y ++=βα', T t N i ,,2,1;,,2,1 == (10.3)

其中i α为个体影响，为模型中被忽略的反映个体差异变量的影响;而在各个个体上的系数向量i β都相同，即β，反映各个个体无结构变化。it u 为随机误差项，反映模型中被忽略的随横截面和时间变化的因素的影响。

在变截距模型（10.3）中，如果个体影响i α是固定的（未知）常数，则模型（10.3）称为个体固定效应变截距模型；如果个体影响i α是一个随机变量而非固定的常数时，则模型（10.3）称为个体随机效应变截距模型。

类似地，如果一个面板数据模型定义为：

it it t it u x y ++=βγ', T t N i ,,2,1;,,2,1 == (10.4)

其中t γ是是固定的（未知）常数，表示对于T 个时点有T 个不同的截距项，包含了那些随不同时点变化，但不随个体变化的难以观测的变量的影响，称模型（10.4）为时点固定效应变截距模型；如果t γ是一个随机变量而非固定的常数时，称模型（10.4）为时点随机效应变截距模型。同样地，在变截距模型中，还有个体时点双固定效应模型、个体时点双随机效应模型。

3．变系数模型

变截距模型中的随着截面个体而变化的截距反映了方程中未出现的变量对被解释变量的影响；但有时，变化的经济结构或不同的社会经济背景因素使得响应参数（也称结构参数）也随着横截面个体不同而变化。此时模型表示为：

it i it i it u x y ++=βα', T t N i ,,2,1;,,2,1 == (10.5)

称此模型为变系数模型或无约束模型，在该模型中，被解释变量除了存在个体影响外，在横截面上还存在变化的经济结构。同样地，变系数模型也可以分为固定效应和随机效应两种类型。

第二节 固定效应模型

变截距模型是Panel Data 模型中最常见的一种形式，同时典型的面板数据是时间长度短而截面上包括的个体多的平衡面板数据，这样，面板数据模型技术主要集中于讨论横截面的变化，即异质性（heterogeneity ）。因此，本章我们主要讨论个体固定效应变截距模型，即模型为：

it it i it u x y ++=βα', T t N i ,,2,1;,,2,1 == (10.6)

其中i α为跨截面不同的常数，用来描述不同个体建立的模型间的差异，即反映模型中忽略的反映个体差异变量的影响。

1．最小二乘虚拟变量（LSDV ）模型及估计

模型（10.4）对应的矩阵形式如下：

111211],,,[??????++=NT K K NT N N NT N NT X d d d Y μβα （10.7）

其中，1

21??

?????? ??=NT N y y y Y ，K NT N x x x X ???????? ??= 21，121???????? ??=N N αααα ， 121?????

??? ??=K K ββββ ，121???????? ??=NT N u u u u ，121???????? ??=T iT i i i u u u u

121???????? ??=T iT i i i y y y y ，K T KiT iT iT Ki i i Ki i i i x x x x x x x x x x ????

??

?? ??= 212222

11121

1，1111???????? ??=T e ，N

NT N e e e d d d ?????

???

??= 000000],,,[21 式（10.5）中的i d 实际是一个虚拟变量，即

?

?

?== 其他,,

个个体如果属于第，,0 ..., ,1,1N i d i i 令],,,[21n d d d D =，则(10.5)等价于：

μβαβα+???

? ??=++=),(X D u X D Y (10.8)

对（10.8）式进行OLS 估计，实际上是对固定效应模型（10.6）设定了N 个虚拟变量后的OLS 估计，因此，对（10.8）的OLS 估计又称为最小二乘虚拟变量估计（LSDE ），模型（10.8）通常被称为最小二乘虚拟变量(LSDV)模型，有时也称之为协方差分析模型（解释变量既有定量的，也有定性的）。

因此，（10.8）的OLS 估计结果为：

Y X D X D X D )',()),()',((??1

-=???

? ??βα （10.9） 如果随机扰动项μ满足古典假定时，LSDE 将是最佳线性无偏估计（BLUE ）。 2．内部（Within ）估计（协方差估计）

在模型（10.6）中，如果个体成员N 较大，在（10.7）的估计结果中需要计算)()(N K N K +?+阶矩阵),()',(X D X D 的逆矩阵，毋庸置疑，计算量非常庞大，因此，可以采用较为简便的方法Within 估计进行。Within 估计基本思想是先把面板数据中每个个体的观测值变换为对其平均数的离差观测值，然后利用离差数据估计模型参数。具体说来可分解为如下两步进行。

第一步：剔除虚拟变量在模型中的影响，然后对参数β进行估计。即对每个个体在时间上求平均，可

得到如下模型，

i i i i u x y ++=βα' N i ,,2,1 = （10.10）

其中∑==T t it i y T y 11，∑==T t it i x T x 11，i ε=∑==T

t it i u T u 1

1，N i ,,2,1 =。将式（10.6）减去式（10.10），

于是消除了个体影响i α，得到如下模型：

i it i it i it u u x x y y -+-=-β)'(, T t N i ,,2,1;,,2,1 == (10.11)

称上述模型为离差数据模型。（10.11）式OLS 估计结果为：

111

11

??(()'())(()'())N T N T

W cv

it i it i it i it i i t i t x x x x x x y y ββ-======----∑∑∑∑ （10.12） 将上述估计过程称为Within 估计或协方差估计（Covariance Estimate ），得到的估计量称为Within 估计

量或协方差估计量。记为?W β或?cv

β 第二步：估计个体影响i α。

根据（10.12）的估计结果，利用（7.10），得到：

cv

i i i x y βα?'?-= N i ,,2,1 = （10.13） 换一种矩阵的角度，上述β

?也可以通过如下方式得到： 由（10.7）容易得到

i i i i u e x y ++=αβ，N i ,,2,1 = （10.14）

令e e T

I Q T '-

=1

,显然Q 2=Q ，即Q 为幂等矩阵；同时有0=Qe 。易证： 1

11?''N N W i i i i i i x Qx x Qy β-==????=????????

∑∑ （10.15） 事实上，将Q 作用于（10.14）得

i i i i i i Qu Qx Qu Qe Qx Qy +=++=βαβ

于是，i i i i i i Qu x Qx x Qy x '''+=β，N i ,,2,1 =，则

∑∑∑+=i

i i i

i i i

i

i Qu x Qx x Qy

x β)('

所以，1

11?''N N W i i i i i i x Qx x Qy β-==????=????????

∑∑。同时，也容易得到（10.12）与（10.15）等价。参数β的协方差估计是无偏的，且当N →∞或T →∞，均为一致估计量。对应的协方差矩阵为：

1

21?()'N

W u i i i Var x Qx βσ-=??=????

∑ 截距i α的估计是无偏估计，且仅当T →∞时，i α

?为一致估计量。对应的协方差矩阵为： 2

??()'()'u i i W i

Var x Var x T

σα

β=+ 方差2

u σ的估计量为：

∑∑==----=

N i T t CV it i it u x y K

N NT 11

22

)?'?(1?βασ 内部估计（协方差估计）法的主要缺点是不能估计回归变量不随时间变动的变量所构成的面板数据模型，即个体it x 观测不随时间改变，那么计算离差时有0=-i it x x ，那么就无法估计结构参数向量β。 3．引进总体均值截距项的固定效应变截距模型

在模型（10.6）中引入总体均值截距项α，则模型（7.4）可以写成如下形式：

it it i it u x y +++=βαα'*, T t N i ,,2,1;,,2,1 == (10.16)

模型（10.16）中的反映个体影响变化的截距项被分解成在每个个体方程中都相等的截距项α和个体对总体均值偏离的个体截距项*

i α。为了避免出现虚拟变量陷阱或完全多重共线性，则在最小二乘虚拟变量模型中只需1-N 个虚拟变量，即需对*

i α施加约束条件，一般假设为0*

=∑i

i α

，即个体截距项*i α所

有偏离之和应该为0。

根据前面的介绍，模型（10.14）β的协方差估计为：

111

11

?(()'())(()'())N T N T

W

it i it i it i it i i t i t x x x x x x y y β-=====----∑∑∑∑ 平均截距项α的估计量为：

??W

y x αβ=- 其中，

∑∑∑∑==

i t

it i t it x NT x y NT y 1

,1

因此，可以进一步得到个体截距项*

i α的估计量：

*???'i i i W

y x αβα=-- 值得注意的是，在计算个体固定效应变截距模型的个体影响时，不同的软件可能给出不同的个体影

响形式。本书所介绍的EViews 软件，给出的是总体均值α?和不含总体均值的个体影响*

?i α，即EViews5.0

给出的个体影响反映的是各个个体成员对总体均值的一个偏离。

【例1续】根据凯恩斯的绝对收入假说，利用中国西部9个省市区2002-2009的城镇居民人均收入和人均支出数据建立消费模型，对西部9省市区的城镇居民消费结构进行对比分析。模型中的被解释变量为城镇居民人均支出（ZC ），解释变量为城镇居民人均收入（SR ），利用上面所介绍的内容分别作混合回归和个体固定效应变截距模型的估计。

混合回归模型：

it it it u SC ZC +?+=βα, 2009,2002;9,,2,1 ==t i

表3 混合模型的估计结果

)

05.39()

61.6(61.0215.1098=+=t

SC ZC it it

通过上述结果可以看到，模型整体式显著的，边际消费倾向和自发消费也都是显著的，且符号与预期是一致的。

个体固定效应变截距模型：

it it i it u SR ZC +?++=βαα* 2009

,2002;9,,2,1 ==t i 上式中，α为9个省市区的平均自发消费水平，*

i α为第i 个省市区自发消费对平均自发消费的偏离，用来反映各个省市区之间的消费结构差异，利用EViews5.0软件估计结果如下：

)

59.75()

87.15(589.023.1311*=++=t SR ZC it

i it α 2009

,2002;9,,2,1 ==t i 其中*

i α的估计结果为：

表4 个体固定效应变截距模型的估计结果

从上述估计结果看出，虽然西部9个省市区的城镇居民消费倾向相同，即0.589，但是在2002-2009

年期间，各个省市区的自发消费存在显著差异，其中重庆的城镇居民自发消费最高，其次为四川、陕西，

而城镇居民自发消费最低的是青海，其次是云南、贵州。

表5 个体随机效应变截距模型的估计结果

第三节 随机效应模型

一. 随机效应模型的建立

对于面板数据模型

it it i it X y εβα++='， i = 1, 2, …, N ; t = 1, 2, …, T

其中X it 为k ?1阶回归变量列向量（包括k 个回归量），β为k ?1阶回归系数列向量，对于不同的个体，回归系数相同。我们假设αi 为随机变量(我们称为随机效应)，并且对于任何的i 和t ，αi 与X it 无关，则我们称模型为个体随机效应模型(individual random effect model)。在这里，我们假设αi 服从均值为α方差为σα2的独立同分布，εit 服从均值为0方差为σε2的独立同分布，并且αi 与εit 之间相互独立。

我们同样可以定义时点随机效应模型(time random effect model):

it t it it X y εβα++='

以及个体时点随机效应模型(individual and time random effect model):

it t it i it X y εβα++='

其中这里αi 和β t 都可定义为独立同分布的随机变量。

在实际应用中，我们大多较为关心个体间的异质性，所以个体随机效应模型更为常用。 在个体随机效应模型中，我们即考虑到了不同个体之间的异质性，同时也考虑到相同个体之间样本的相关性：

根据假设 αα=)(i E ，2

)(ασα=i Var ；0)(=it E ε，2

)(εσε=it Var ，0),(=it i Cov εα

那么对于相同个体在不同时点的样本，

22

),(),(εασσεαεα+=++=is i it i is it Cov y y Cov

由于相同个体在不同时点之间的样本相关性与相隔时段t-s 无关，所以个体随机效应模型也称作等相关模型（Equicorrelated model ），或者称可交换误差模型（exchangeable model ）。

*二. 随机效应模型的参数估计方法

1 可行GLS （feasible GLS ）估计法

有个体随机效应模型

it it i it X y εβα++='

αi ，εit 服从独立同分布。对其作如下变换

it i it i it v X X y y +-+-=-βλαλλ)'()1(

其中v it = (1-λ)(αi -α)+ (εit -λi ε) 服从均值为零的独立同分布，λ = 1-

2

2

α

εεσσσT +，

如果λ = 1，则以上个体随机效应模型等同于个体固定效应模型；当λ= 0时，以上个体随机效应模型等同于混合模型。

对于以上的模型，如果λ已知，我们可以使用OLS 对其进行估计。在λ未知的情况下，我们首先对

λ进行估计，然后应用OLS 估计，则所得估计量称为随机效应估计量或可行GLS 估计量。其中

22???1?αεεσσ

σλ

T +-=。对εσ

?和ασ?有几种常见的估计方法： 我们可将模型改写为

y it = X it 'β + (αi +εit ) = X it 'β + u it

由于Cov(u it ,u is ) = Cov[(αi +εit )( αi +εis )] = ?????=+≠s

t s t ,,2

22εαασσσ 我们很容易将u 的方差协方差阵Ω分解为

Q P 2

2

1εσσ+=Ω

其中 2

2

2

1εασσσ+=T 。（30）为Ω的谱分解表达式（spectral decomposition ）,其中21σ和2

εσ分别为

Ω的N 次和N(T-1)次特征根。所以我们可以很容易得到21σ和2εσ的二次最佳无偏估计(BQU):

N

u T P tr Pu

u N

i i ∑===12

.

2

1)

('?σ

, )

1()()

('?11

2

.2

--==∑∑==T N u u

Q tr Qu

u N i T

t i it

εσ

由于真实的u 未知，我们需要对其做估计。Wallace 和Hussain(1969)建议直接用OLS u ?来代替真实u 从而得到21σ和2

εσ，虽然OLS u

?是一致且无偏的，但不是有效的。 Amemiya(1971)证明当u 分布已知时，对2

1σ和2

εσ的以上估计量有一种不同的渐近分布，他建议用

虚拟变量最小二乘(LSDV)来估计u ：βα~1~~X y u NT --=。其中，βα~

~....X y -=，..

X 是一个K 阶向量来表示解释变量的平均值。用u ~来代替真实u 从而得到2

1

σ和2

εσ的Amemiya 估计。 Swamy 和Arora(1972)建议分别用离差(Within)OLS: y it -i y = (X it -i X )'β + (εit -i ε) 和平均(Between)OLS:

i y T = T α +i T X 'β +i T ε来估计21σ和2εσ：

])1(/[])'(''[??12K T N Qy QX X QX y Qy y ---=-εσ

)1/(])'(''[??121---=-K N Py PZ Z PZ y Py y σ

, 其中 ],1[X Z NT =。 对于随机效应模型，可行GLS 估计量不但是一致估计量，而且是有效估计量，但对于个体固定效应模型，可行GLS 估计量不是一致估计量。

面板数据模型估计量的稳健统计推断。在实际的经济面板数据中，N 个个体之间相互独立的假定通常是成立的，但是每个个体本身却常常是序列自相关的，且存在异方差。为了得到正确的统计推断，需

要克服这两个因素。

对于第i 个个体，当N →∞，X i ?的方差协方差矩阵仍然是T ?T 有限阶的，所以可以用以前的方法克服异方差。采用GMM 方法还可以得到更有效的估计量。

EViwes 中对随机效应回归模型的估计采用的就是可行（feasible ）GLS 估计法。Wallace,Hussain 方法，Amemiya 方法和Swamy,Arora 方法均为可选择的方差估计方法。

2 最大似然估计法

在αi 和εit 服从正态分布的前提下，我们可以写出似然函数： u u NT t cons L 1

2222

2'21log 21log 2tan ),,,(-∑-+-

=α

αεσφσσφβα (10..17) 其中 ∑=Ω2

ασ，2

12

2

/σσφα=，以及 P Q 2

-+=∑φ。这里我们用到了=Ω||其特征根之积

N NT

N T N --==)()()()(2221)1(2φσσσαα。由于(31)为非线性函数，Breusch(1987) 关注于似然函数中的α以及2ασ。这样，我们可以得到mle mle X y βα?'?....-=，以及u u NT mle ??'?)/1(?1

2

,-∑=ασ，

其中u ?和∑?取决于2,φβ和α的最大似然估计。让mle X y d β?-=，那么d NT NT mle '1)/1(?=α,d J d d u NT mle NT -=-=α?1?。那么mle 2

,?ασ

可以写成 NT d J P Q d NT mle /)](['?2

2,-+=φσα (10.18) 并且关于2

,φβ的似然函数可以写为： 222

log 2

1

})]([log{2tan ),(φφφβ+-+-

=d J P Q d NT t cons L NT C (10.19) 那么，固定β，我们最大化(33)可以得到

∑∑∑---=--=2

...2

.2

)

()1()()(')1('?d d T T d d d J P d T Qd d i i it NT φ (10.20) 类似的，固定2

φ，我们最大化(10.19)可以得到

y J P Q X X J P Q X NT NT mle )]([']))(('[?212-+-+=-φφβ (10.21) 我们可以在2

?φ和mle

β?之间做迭代从而得到其迭代最大似然估计(IMLE)。

第四节 面板数据模型设定检验方法

这一节我们主要介绍用于辨别混合模型与个体固体效应模型的

F 检验以及用于辨别个体随机效应

模型与个体固定效应模型的Hausman 检验。

1. F 检验

先介绍原理。F 统计量定义为 F =

()//()

r u u RSS RSS q

RSS T k --~ F (q , T – k ) (10.22)

其中R SS r 表示施加约束条件后估计模型的残差平方和，R SS u 表示未施加约束条件的估计模型的残差平方和，q 表示约束条件个数，T 表示样本容量，k 表示未施加约束的模型中被估参数的个数。在原假设成立条件下，F 统计量渐近服从自由度为( q , T – k )的F 分布。

以检验个体固定效应模型为例，介绍F 检验的应用。建立假设

零假设 H 0：αi =α。模型中不同个体的截距相同（真实模型为混合模型）。 备择假设H 1：模型中不同个体的截距项αi 不同（真实模型为个体固定效应模型）。 F 统计量定义为：

F =()/[(1)()]/()

r u u RSS RSS NT k NT N k RSS NT N k --------=()/(1)

/()r u

u RSS RSS N RSS NT N k ---- (10.23)

其中R SS r 表示约束模型，即混合估计模型的残差平方和，R SS u 表示非约束模型，即个体固定效应回归模型的残差平方和。非约束模型比约束模型多了N -1个被估参数。在原假设成立条件下，F 统计量渐近服从自由度为( N-1 , NT –N- k )的F 分布。

如果计算出的F 统计量小于F 分布临界值，则不拒绝原假设，即认定真实的模型为混合模型；反之，如果计算出的F 统计量大于F 分布临界值，则拒绝原假设，即认定真实的模型为固定效应模型。

2. Hausman 检验

对同一参数的两个估计量差异的显著性检验称作Hausman 检验，简称H 检验。H 检验由Hausman1978年提出，是在Durbin （1914）和Wu （1973）基础上发展起来的。所以H 检验也称作Wu-Hausman 检验，和Durbin-Wu-Hausman 检验。

先介绍Hausman 检验原理

例如在检验单一方程中某个回归变量（解释变量）的内生性问题时得到相应回归参数的两个估计量，一个是OLS 估计量、一个是2SLS 估计量。其中2SLS 估计量用来克服回归变量可能存在的内生性。如

果模型的解释变量中不存在内生性变量，那么OLS 估计量和2SLS 估计量都具有一致性，都有相同的概率极限分布。如果模型的解释变量中存在内生性变量，那么回归参数的OLS 估计量是不一致的而2SLS 估计量仍具有一致性，两个估计量将有不同的概率极限分布。

更一般地，假定得到q 个回归系数的两组估计量θ

?和θ~

，则H 检验的零假设和被择假设是： H 0: plim(θ?-θ~) = 0 H 1: plim(θ

?-θ~

) ≠ 0 假定两个估计量的差作为统计量也具有一致性，在H 0成立条件下，

N (θ?-θ~) d

→N (0, V H )

其中V H 是(θ

?-θ~

)的极限分布方差矩阵。则H 检验统计量定义为 H = (θ?-θ~)' (N -1H

V ?)-1 (θ?-θ~

) → χ2(q ) （10.24） 其中(N -1H

V ?)是(θ?-θ~

)的估计的方差协方差矩阵。在H 0成立条件下，H 统计量渐近服从χ2(q )分布。其中q 表示零假设中约束条件个数。

H 检验原理很简单，但实际中V H 的一致估计量H

V ?并不容易。一般来说， N -1H

V ?= Var(θ?-θ~) = Var(θ?)+Var(θ~)-2Cov(θ?,θ~

) （10.25） Var(θ

?)，Var(θ~)在一般软件计算中都能给出。但Cov(θ?,θ~

)不能给出。致使H 统计量（10.24）在实际中无法使用。

实际中也常进行如下检验。

H 0：模型中所有解释变量都是外生的。 H 1：其中某些解释变量都是内生的。 在原假设成立条件下，

H = (θ?-θ~)' ()~(θ∧Var -)?(θ∧Var )-1 (θ?-θ~)~χ2(k ) （10.26）

其中)~

(θ∧

Var 和)?(θ∧

Var 分别是对Var(θ~

)和Var(θ?)的估计。与（34）式比较，这个结果只要求计算Var(θ

?)和Var(θ~

)，H 统计量（10.26）具有实用性。

当θ表示一个标量时，H 统计量（10.26）退化为，

H = 222S

S ?~)

~?(--θθ~χ2(1)

其中2

S ~和2

S

?分别表示θ~

和θ?的样本方差值。 H 检验用途很广。可用来做模型丢失变量的检验、变量内生性检验、模型形式设定检验、模型嵌套检验、建模顺序检验等。

下面详细介绍面板数据中利用H 统计量进行模型形式设定的检验。

假定面板模型的误差项满足通常的假定条件，如果真实的模型是随机效应回归模型，那么β的离差

（within ）OLS 估计量W β?和随机GLS 法估计量RE β~

都具有一致性。如果真实的模型是个体固定效应回归模型，则参数β的离差OLS 法估计量W β?是一致估计量，但随机GLS 估计量RE β~

是非一致估计量。因此可以通过H 统计量检验(RE β~

-W

β?)的非零显著性，检验面板数据模型中是否存在个体固定效应。原假设与备择假设是

H 0: 个体效应与回归变量无关（个体随机效应回归模型） H 1: 个体效应与回归变量相关（个体固定效应回归模型）

H = (W β?-RE β?)' ()?(RE Var β∧-)?(W

Var β∧

)-1 (W β?-RE β?)~χ2(k ) 其中k 表示待估参数向量β的维数。特别的，如果待估的参数β为标量，则

H = 222)?()~()~?(W

RE RE W s s ββββ--~χ2(1)

如果计算出的H 统计量小于卡方分布临界值，则不拒绝原假设，即认定真实的模型为个体随机效应模型；反之，如果计算出的H 统计量大于卡方分布临界值，则拒绝原假设，即认定真实的模型为固定效应模型。

第五节 案例分析

Grunfield 考虑以下投资模型：

it it it it u C F I +++=21ββα

其中，it I 表示公司i 在第t 年的投资额，it F 表示该公司在该年的资产总值，it C 表示该公司在该年的资产股值。所用面板数据包含美国11大制造业公司20年(1935-1954)的数据。该数据可以从网上以“Grunfeld.?l ”搜索得到。我们使用Eviews 软件 Quick\Graph 分别画出三个变量I,F,C 的图形 (Eviews 中的panel option 中选择Combined cross-sections)。

（11个公司的投资额序列）（11个公司的年投资总值）

（11个公司的年资产股值）

我们需要对该面板数据进行个体混合模型，个体固定效应模型以及个体随机效应进行模型估计。在Eviews中选择Quick\Estimation Equation, 在模型设定(specification)分别输入解释变量，常数项以及被解释变量。在面板选项(panel option)的效应设定(effect specification)中cross-section和periods都选择none，点击确定后，我们可以得到以下混合模型估计结果

Dependent Variable: I

Method: Panel Least Squares

Date: 06/07/07 Time: 16:36

Sample: 1935 1954

Periods included: 20

Cross-sections included: 11

Total panel (balanced) observations: 220

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -38.41005 8.413371 -4.565358 0.0000

F 0.114534 0.005519 20.75337 0.0000

CA 0.227514 0.024228 9.390448 0.0000

R-squared 0.817887 Mean dependent var 133.3119

Adjusted R-squared 0.816209 S.D. dependent var 210.5872

S.E. of regression 90.28063 Akaike info criterion 11.85727

Sum squared resid 1768678. Schwarz criterion 11.90354

Log likelihood -1301.299 Hannan-Quinn criter. 11.87595

F-statistic 487.2840 Durbin-Watson stat 0.217528

Prob(F-statistic) 0.000000

Dependent Variable: I

同样的，如果需要估计个体固定效应模型，则在面板选项(panel option)的效应设定(effect specification)中cross-section选择fix, periods选择none，其他不变，点击确定后，我们可以得到以下个体固定效应模型估计结果

Dependent Variable: I

Method: Panel Least Squares

Sample: 1935 1954

Periods included: 20

Cross-sections included: 11

Total panel (balanced) observations: 220

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -55.27155 10.89102 -5.074963 0.0000

F 0.110129 0.011300 9.746075 0.0000

CA 0.310033 0.016540 18.74392 0.0000

Effects Specification

Cross-section fixed (dummy variables)

R-squared 0.946075 Mean dependent var 133.3119

Adjusted R-squared 0.942949 S.D. dependent var 210.5872

Sum squared resid 523718.7 Schwarz criterion 10.93167

Log likelihood -1167.426 Hannan-Quinn criter. 10.81212

F-statistic 302.6388 Durbin-Watson stat 0.717140

Prob(F-statistic) 0.000000

如果需要估计个体随机效应模型，则在面板选项(panel option)的效应设定(effect specification)中

cross-section选择random, periods选择none，其他不变，点击确定后，我们可以得到以下个体随机效应模型估计结果

Dependent Variable: I

Method: Panel EGLS (Cross-section random effects)

Date: 06/07/07 Time: 16:40

Sample: 1935 1954

Periods included: 20

Cross-sections included: 11

Total panel (balanced) observations: 220

Swamy and Arora estimator of component variances

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -53.94360 25.65989 -2.102254 0.0367

F 0.109305 0.009900 11.04149 0.0000

CA 0.308036 0.016364 18.82440 0.0000

Effects Specification

S.D. Rho

Cross-section random 78.75236 0.7103

Idiosyncratic random 50.29952 0.2897

Weighted Statistics

R-squared 0.769988 Mean dependent var 18.84819

Adjusted R-squared 0.767868 S.D. dependent var 104.5499

S.E. of regression 50.37222 Sum squared resid 550607.1

F-statistic 363.2141 Durbin-Watson stat 0.680266

Prob(F-statistic) 0.000000

Unweighted Statistics

R-squared 0.807967 Mean dependent var 133.3119

Sum squared resid 1865017. Durbin-Watson stat 0.200834

我们可以使用F检验以及Hausman检验判断数据更适合于哪个模型，首先我们对模型进行F检验：H0：αi=α。模型中不同个体的截距相同（真实模型为混合模型）。

H1：模型中不同个体的截距项αi不同（真实模型为个体固定效应模型）。

F =

()/(1)/()

r u u RSS RSS N RSS NT N k ----=207.49)21120*11/(7.523718)

111/()7.5237181768678(=----

其中r RSS 为混合模型的残差平方和，u RSS 为个体固定效应模型的残差平方和。 查表可得=)207,10(05.0F 1.88

因此我们拒绝H 0，即相对于混合模型，数据更适合于个体固定效应模型。

我们同样可以使用Eviews 直接得出结果： 首先运行个体固定效应模型，在运行结果对话框中选择View\Fixed/Random Effect Testing\Redundant Fixed Effects 。运行后我们可以得到相同的结果。

接下来我们进行Hausman 检验：

H 0: 个体效应与回归变量无关（个体随机效应回归模型） H 1: 个体效应与回归变量相关（个体固定效应回归模型）

H = (W β?-RE β?)' ()?(RE Var β∧-)?(W

Var β∧

)-1 (W β?-RE β?) =2.628 查表可得 99.5)2(2

05.0=χ

因此我们拒绝H 0，即相对于个体随机效应模型，数据更适合于个体固定效应模型。

综上两种检验我们可以判定，数据更适合于个体固定效应模型。 我们同样可以使用Eviews 直接得出结果： 首先运行个体随机效应模型，在运行结果对话框中选择View\Fixed/Random Effect Testing\Correlated Random Effects 。运行后我们可以得到相同的结果。