一阶差分方程

高阶线性微分方程常用解法介绍

高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根

分数阶控制理论概述--总成

得分：_______ 南京林业大学 研究生课程论文 2013 ～2014 学年第 1 学期 课程号：PD03088 课程名称：工程应用专题 题目：分数阶控制理论研究及工程领域的应用 学科专业：机械工程 学号：8133013 姓名：钱东星 任课教师：陈英 二○一四年一月

分数阶控制理论研究及工程领域的应用 摘要: 作为控制科学与工程中一个新的研究领域，分数阶控制的研究愈来愈被关注。本文简要介绍分数阶控制的数学背景和基本知识,对分数阶控制理论及应用(分数阶系统模型、系统分析、分数阶控制器、非线性分数阶系统、系统辨识) 的研究作了总结、评述和展望。 关键词:控制理论；分数阶微积分(FOC)；分数阶系统 Fractional Control Theory and Engineering Applications Qian Dongxing （Nanjing Forestry University, Nanjing Jiangsu 210037）Abstract: As a new study field of control theory and applications , the fractional order control is attracted much attention recently. In this paper, an overview in this field is surveyed. The historical development and the basic knowledge of fractional-order control are introduced. The latest works of fractional-order control are summarized and reviewed, including mathematical model, system analysis, fractional-order controller, nonlinear fractional order system and identification, etc. Some future trends in its further studies are prospected. Key words: Theory of control ；Fractional order calculus( FOC) ；Fractional order system

差分方程基本概念和方法

差分方程基本概念和方法 考察定义在整数集上的函数，(),,2,1,0,1,2, n x f n n ==-- 函数()n x f n =在n 时刻的一阶差分定义为： 1(1)()n n n x x x f n f n ?+=-=+- 函数()n x f n =在n 时刻的二阶差分定义为一阶差分的差分： 21212n n n n n n x x x x x x ???+++=-=-+ 同理可依次定义k 阶差分 k n x ? 定义1．含有自变量n ,未知函数n x 以及n x 的差分2,, n n x x ??的函数方程, 称为常 差分方程，简称为差分方程。出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方 程的阶。 k 阶差分方程的一般形式为 (,,, ,)0k n n n F n x x x ??= 其中(,,,,)k n n n F n x x x ??为,,, k n n n n x x x ??的已知函数，且至少k n x ?要在式中出 现。 定义2．含有自变量n 和两个或两个以上函数值1,, n n x x +的函数方程，称为（常） 差分方程，出现在差分方程中的未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。 k 阶差分方程的一般形式为 1(,,, ,)0n n n k F n x x x ++= 其中1(,,,,)n n n k F n x x x ++为1,,, n n n k n x x x ++的已知函数，且n x 和n k x +要在式中一定 要出现。 定义3．如果将已知函数()n x n ?=代入上述差分方程，使其对0,1,2, n =成为恒 等式，则称()n x n ?=为差分方程的解。如果差分方程的解中含有k 个独立的任意

含参数的分数阶差分方程特征值问题

含参数的分数阶差分方程特征值问题 与经典的整数阶模型相比,分数阶模型可以更好地刻画多种材料的记忆和遗传特性,所以分数阶微积分的研究逐步引起了国内外学者的广泛关注。分数阶差分方程是离散化的分数阶微分方程,不仅在数学领域有应用价值,还出现在流变学、自相似中的动力学过程和多孔结构、电力网、粘弹性、化学物理和其它许多科学分支。 因为分数阶差分方程的理论发展和实际应用价值,它引起了专家学者们极大的研究兴趣。对差分系统加入参数以后,当参数值变化时,系统的稳定性和结构也可能改变。 因此,研究含参数分数阶差分系统、掌握参数变动对系统的性能、状态和动力学性质的影响是非常有科学意义和应用价值的。另外,研究含参数的分数阶差分方程特征值问题也是进一步研究分数阶差分方程谱理论的重要基础。 由分数阶差分方程的研究我们可以推广到带p-Laplace算子的分数阶差分方程研究,由于p-Laplace算子是非线性算子,因此它可以应用到许多领域,例如动力系统、分子结构、互联网络、图像处理等等。除此之外,当p（28）2时,就可以转化成一般分数阶差分方程边值问题。 本文主要研究了几类分数阶差分方程边值问题,其中包括带p-Laplace算子的边值问题,方程含参数的边值问题,奇异边值问题,最小特征值问题和分数阶Nabla边值问题等多种类型,给出解和正解的存在性、唯一性以及正解的不存在性定理,最小特征值比较定理和Lyapunov不等式,并用例子论证主要结果。第一章给出了分数阶差分方程的研究背景与意义,正文中将会用到的一些基本的定义和引理以及本文的工作安排。

第二章研究了两类带p-Laplace算子的分数阶差分方程边值问题。第一节,利用Banach压缩映射原理和Brouwer不动点定理给出边值问题解的唯一性和存在性,并用例子验证所得结果。 第二节,利用Green函数的性质和Guo-krasnosel’skii不动点定理给出边值问题正解存在的几个充分条件,并用例子验证所得结果。第三章研究了两类含参数的奇异分数阶差分方程边值问题。 利用辅助函数和Guo-krasnosel’skii不动点定理给出边值问题正解的存在性定理,并给出具体例子。第四章第一节研究了一类带有非局部边值条件含参数的分数阶差分方程特征值问题。 通过基于单调迭代技巧的上下解方法给出边值问题正解存在性的结果,利用锥上的Guo-krasnosel’skii不动点定理和Green函数的性质讨论该边值问题特征值的取值范围,并给出实例加以说明。第二节,研究了一类带有强迫项的分数阶差分方程边值问题,给出Lyapunov和Hartman型不等式的结果,并给出实例加以说明。 第五章研究了两类分数阶差分方程最小特征值问题。利用₀u正算子给出两个边值问题最小特征值存在的结果,并给出最小特征值的比较方法。 第六章研究了两类含参数的分数阶Nabla差分方程特征值问题。利用Green 函数的性质和锥上的Guo-krasnosel’skii不动点定理讨论边值问题特征值的取值范围,并给出例子说明结果。 第七章为全文的结论与展望,总结论文的主要工作和创新之处,并对将来的可做工作进行展望。

高阶差分方程

第六章 高阶差分方程 在离散时间分析中可能出现这种情况：t 期的经济变量，比如y t ，不仅取决于y t-1，而且取决于y t-2。这样便引出了二阶差分方程。 严格地讲，二阶差分方程是一个包含表达式Δ2y t ，但不含高于二阶差分的方程。Δ2y t 读作y t 的二阶差分。而符号Δ2是符号d 2y ／dt 2在离散时间情况下的对应物，表示“取二阶差分”如下： Δ2y t =Δ(Δy t )=Δ(y t+1-y t )=(y t+2-y t+1)-(y t+1-y t )=y t+2-2y t+1+y t 因此，y t 的二阶差分可以转换为包含两期时滞的项的和。因为像Δ2y t 和Δy t 这样的表达式写起来很麻烦，所以我们将二阶差分方程重新定义为包含变量的两期时滞的方程。类似地，三阶差分方程为包含三期时滞的方程；等等。 我们首先集中讨论二阶差分方程的解法，然后再在后面的章节中将其推广至高阶差分方程。为控制讨论的范围，在本章，我们仅讨论常系数线性差分方程。但对常数项和可变项两种形式，均作考察。 具有常系数和常数项的二阶线性差分方程 一类简单的二阶差分方程的形式为： y t+2+a 1y t+1+a 2y=c 6.1 读者应注意到，此方程为线性、非齐次，且具有常系数（a 1，a 2）和常数项c 的差分方程。 二阶差分方程的通解是由余函数和特别积分构成：y t ＝y c +y p 。 特别积分是 1,12121-≠+++=a a a a y c p 6.2 2,1,21211-≠-=++=a a a a y t c p 6.2’ 2,1,21212-=-=+=a a a t y c p 6.2’’ 为求出余函数，我们必须集讨论简化方程 y t+2+a 1y t+1+a 2y ＝0 6.3 解一阶差分方程的经验告诉我们，Ab t 式在这种方程的通解中起非常重要的作用。因此，我们先试探形式为y t ＝Ab t 的解，它自然意味着y t+1＝Ab t+1，等等。我们的任务便是确定A 和b 的值。 将试探解代入简化方程，方程变成 Ab t+2+a 1Ab t+1+a 2Ab t ＝0 或在消去（非零）共同因子Ab t 后，有b 2+a 1b+a 2＝0 6.3’ 此二阶差分方程的特征方程与二阶微分方程的特征方程具有可比性。它具有两个特征根：

蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第18章 高阶差分方程)【圣才出品】

第18章 高阶差分方程 练习18.1 1．写出下列每个方程的特征方程，并求出特征根： （a ）y t ＋2－y t ＋1＋（1/2）y t ＝2； （b ）y t ＋2－4y t ＋1＋4y t ＝7； （c ）y t ＋2＋（1/2）y t ＋1－（1/2）y t ＝5； （d ）y t ＋2－2y t ＋1＋3y t ＝4。 解：（a ）特征方程为：b 2－b ＋1/2＝0，可解得特征根为： （b ）特征方程为：b 2－4b ＋4＝0，可解得特征根为： （c ）特征方程为：b 2＋b/2－1/2＝0，可解得特征根为： （d ）特征方程为：b 2－2b ＋3＝0，可解得特征根为： 2．对于上题中的每个差分方程，根据特征根判定时间路径是否包含振荡或阶梯波动，以及时间路径是否是放大的。 1211,22b b i == ±12,2,2b b ==12111,,1 222b b ?=-±=- ?12,1b b = =±

解：（a ）特征根为一对共轭复根：b 1，b 2＝1/2±（1/2）i ，时间路径包含阶梯波动。又因为特征根的绝对值为，所以时间路径衰减。 （b ）特征根为：b 1，b 2＝2＞0，时间路径不包含振荡，也不包含阶梯波动。又因为特征根的绝对值|b|＝2＞1，所以时间路径放大。 （c ）特征根为两个不同实根，其中－1是强根。由于其为负，则时间路径包含振荡，且最终为单位振荡。 （d ）特征根为一对共轭复根： ，时间路径包含阶梯波动。又因为特征根的绝对值为 ，所以时间路径放大。 3．求练习18.1-1中的方程的特别解。它们表示稳定均衡或移动均衡吗？ 解：（a ）a 1＝－1，a 2＝1/2，c ＝2，由于a 1＋a 2≠－1，由（18.2），特别解为：y p ＝c/（1＋a 1＋a 2）＝2/（1/2）＝4。 （b ）a 1＝－4，a 2＝4，c ＝7，由于a 1＋a 2≠－1，由（18.2），特别解为：y p ＝c/（1＋a 1＋a 2）＝7/1＝7。 （c ）a 1＝1/2，a 2＝－1/2，c ＝5，由于a 1＋a 2≠－1，由（18.2），特别解为：y p ＝c/（1＋a 1＋a 2）＝5/1＝5。 （d ）a 1＝－2，a 2＝3，c ＝4，由于a 1＋a 2≠－1，由（18.2），特别解为：y p ＝c/（1＋a 1＋a 2）＝4/2＝2。 4．解下列差分方程： （a ）y t ＋2＋3y t ＋1－（7/4）y t ＝9（y 0＝6；y 1＝3） （b ）y t ＋2 －2y t ＋1＋2y t ＝1（y 0＝3；y 1＝4 ） 1R == <12,1b b =±1R ==>