2016年北京市石景山区初三数学一模试题及答案

石景山区2016年初三统一练习暨毕业考试

数 学 试 卷

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．据北京市商务委表示，除夕至初五，21家节能减排补贴商品定点销售企业销

售额超过28 000 000元．将28 000 000用科学记数法表示应为 A ．

0.28×108

B ．2.8×

108

C ．2.8×107

D ．28×106

2．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中绝对值小于2的数对应的点是 A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D 3．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于．．．

中心对称图形 的是

A B C D

4

则本组数据的众数与中位数分别为

A ．5，4

B ．6，5

C ．7，6

D ．5，5

5．脸谱是中国戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型，助增所扮演人物的性格和特征．在下列八张脸谱图片中，随机抽取一张为

的概率是

A ．3

1

B ．85

C ．53

D ．8

3

6．如图，直线m ∥n ，△ABC 的顶点B ，C 分别在直线n ，m 上，且∠ACB = 90°，若∠1= 40°，则∠2的度

数为 A ．140° B ．130° C ．120° D ．110° 7．在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势” 分别穿

1

2n

m C

A

D B C A 0–1–2123

过这两个空洞，则该几何体为

A B C D 8．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B =135°，则∠AOC 的度数为 A ． 45° B ．90° C ．100° D ．135°

9．王先生清明节期间驾车游玩，每次加油都把油箱加满．下表记录了该车相邻两次加

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 根据数据，王先生计算出这段时间内该车行驶一百公里．．．．的平均耗油量大约是 A ．7升 B ．8升 C ．9升 D ．10升

10．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野

挑战赛．路线图如图1所示，点E 为矩形ABCD 边AD 的中点，在矩形ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P 从 点B 出发，沿着B -E -D 的路线匀速行进，到达点D ．设运动员P 的运动时间 为t ，到监测点的距离为y ．现有y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示， 则这一信息的来源是

图1

A ．监测点A

B ．监测点B

C ．监测点C

D ．监测点D 二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．分解因式：2

2

4am an -=_______________．

12．如图，方格纸中有一四边形ABCD （A ，B ，C ，D 四点均为格点），若方格纸中每

个最小正方形的边长为1，则该四边形的面积为 ． 13．反比例函数6

y x

=

的图象上有两个点()12,A y -，()21,B y ，则1y 2y （用“>”，“<”或“=”连接）．

14．如图，AD=AE ，请你添加一个条件______________，使得△ADC ≌△AEB ．

第14题图 第15题图

E D C B A

销售量/万箱

15．某市2012~2016年春节期间烟花爆竹销售量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估2017年该市春节期间烟花爆竹销售量约为_________万箱，你的预估理由是__________________________________________________． 16．阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7

分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．计算：()2

11 3.142sin 602π-??

+--?+ ???

．

18．已知m n -=求111

m n mn ??-÷ ???的值．

19．19．求不等式组3(1)1,23 2.3

x x x +>-??

?-+≥??的整数解．．．

． 20．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的中线，DE ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ．

求证：∠AED =∠DCB ．

21．已知关于x 的一元二次方程0132

=-+-k x x 有两个不相等的实数根．

（1）求k 的取值范围； （2）若k 为负．整数．．

，求此时方程的根．

22．某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共200

件，进行DIY 手绘设计后出售，所获利润全部捐给“太阳村”．每种文化衫的 假设文化衫全部售出，共获利3040元，求购进两种文化衫各多少件？

E D C

A

23．如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，过点B 作AC 的平行线交∠CAB 的平分线于点D ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，交AD 于点G ． （1）求证：四边形ABDE 是菱形； （2）若BD =14，cos ∠GBH =

8

7

，求GH 的长．

24．阅读下面材料：

春节是中国最重要的传统佳节，而为期40天的春运被称为“人类规模最大的周期性迁徙”．

2016年春运40天，全国铁路客运量3.25亿人次，同比增长10.2%；全国公路客运量24.95亿人次，同比增长3%；水路客运量4260万人次，同比下降0.6%；民航客运量5140万人次，同比增长4.7%．今年春运在正月初七达到最高峰，铁路春运再创单日旅客发送人数新高，达到1034.4万人次．

2015年春运40天，全国铁路客运量2.95亿人次，同比增幅10.4%．全国公路客运量24.22亿人次，水路客运量4284万人次，民航客运量4914万人次．

2014年春运40天，全国公路客运量32.6亿人次；民航客运量4407万人次；全国铁路客运量2.66亿人次，增长约12%．其中，2月6日全国铁路客运量达到835.7万人次，比去年春运最高峰日多发送93.1万人次．

根据以上材料解答下列问题：

（1）2016年春运40天全国民航客运量比2014年多 万人次；

（2）请你选择统计表或统计图，将2014～2016年春运40天全国铁路、公路客运量表示出来．

25．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，

交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．（1）求证：EF ⊥AB ； （2）若∠C =30°，EF EB 的长．

26．阅读下面材料：

上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x ，关于x

的不等式

H

G

F E D

C

B A

2210x x a --->恒成立，求a 的取值范围．

小捷的思路是：原不等式等价于221x x a -->，设函数2121y x x =--，2y a =，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数1y 的图象在2y 的图象上方时a 的取值范围． 请结合小捷的思路回答：

对于任意实数x ，关于x 的不等式2210x x a --->恒成立，则a 的取值范 围是___________．

参考小捷思考问题的方法，解决问题：

关于x 的方程34a x x

--=在04x <<

27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：142++=x mx y ．

（1）当抛物线C 经过点()5,6-A 时，求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）当直线1+-=x y 与直线3+=x y 关于抛物线C 的对称轴对称时，

求m 的值；

（3）若抛物线C ：142++=x mx y )0(>m 与x 轴的交点的横坐标都在1-和0之间（不包括1-和0），

结合函数的图象，求m 的取值范围．

28．在正方形ABCD 中，E 为边CD 上一点，连接BE ．

（1）请你在图1画出△BEM ，使得△BEM 与△BEC 关于直线BE （2）若边AD 上存在一点F ，使得AF+CE=EF ，请你在图2中探究∠ABF 与

∠CBE 的数量关系并证明；

x

E A C D B （3）在（2）的条件下，若点E 为边CD 的三等分点，且CE

cos ∠FED 的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．

图1 图2 备用图

29．在平面直角坐标系xOy 中，图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设

点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ， 则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如右图，图形W 在x 轴上的投影长度

213=-=x l ；

在y 轴上的投影长度404=-=y l ．

（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W

为△OAB ，则=x l ，=y l ．

（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标． （3）若图形W 为函数2

x y =）（b x a ≤≤的图象，其中0a b ≤<．当该图形

满足1≤=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．

石景山区2016年初三统一练习暨毕业考试

A

C D

B

图1

数学试卷答案及评分参考

阅卷须知：

为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可。若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

11．()()

22

a m n m n

+-；12．12；13．

12

y y

<；14．如B

C

∠

=

∠或AC AB

=等；

15．预估理由需包含统计图提供的信息，且支撑预估的数据．如：8万，预估理由是下降趋势变缓．

16．角平分线上的点到角两边的距离相等；若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，

第29题8分）

17．解：原式1124

+-+…………………………4分

=4．………………………………………………5分

18．解：原式=

11

()mn

m n

-?=

11

mn mn

m n

?-?=n m

-．……………………3分

（或原式=

n m

mn

mn

-

?=n m

-．………………………………………3分）

∵m n

-=，

∴原式=n m

-=……………………………………………5分

19．解：解不等式()

311

x x

+>-，得2

x>-．………………………………2分

解不等式

2

32

3

x

-+≥，得

3

2

x≤．…………………………………3分

∴原不等式组的解集为

3

2

2

x

-<≤．………………………………4分

∴原不等式组的整数解为-1，0，1．………………………………5分

20．证明：∵Rt△ABC中，?

=

∠90

ACB，CD是AB边上的中线，

∴

1

2

CD AB DB

==．…………………1分

∴B DCB

∠=∠．………………………2分

∵AB

DE⊥于点D，

∴90

A AED

∠+∠=?．………………3分

∵90

A B

∠+∠=?，

∴B AED

∠=∠．………………………4分

∴AED DCB

∠=∠．…………………5分

21．解：（1）由题意：0

?>，………………………………………………1分

即：()

9410

k

-->．解得

5

4

k>-．…………………………………………………2分（2）若k为负整数，则1

k=-，……………………………………3分

原方程为2320

x x

-+=，

E

D

C

A

解得121,2x x ==．………………………………………………5分 22．解： 设购进白色文化衫x 件，黑色文化衫y 件．…………………………1分 根据题意，得

200,

14173040.x y x y +=??

+=?

……………………………………………………3分 解得120,80.

x y =??=? …………………………………………4分

答： 购进白色文化衫120件，黑色文化衫80件． ………………………5分 23．（1）证明：∵AC //BD ，AB //ED ，

∴四边形ABDE 是平行四边形． ……………………………1分 ∵AD 平分CAB ∠，∴BAD CAD ∠=∠．

∵AC //BD ，∴ADB CAD ∠=∠．∴ADB BAD ∠=∠． ∴BD AB =．

∴四边形ABDE 是菱形． ……………………………………2分 （2）解： ∵?=∠90ABC ，

∴?=∠+∠90ABG GBH ．

∵BE AD ⊥， ∴?=∠+∠90ABG GAB ． ∴GBH GAB ∠=∠………………………3分 ∵87

cos =

∠GBH ，∴8

7cos =∠GAB ． ∴

7

8

AB AG AH AB ==． ∵四边形ABDE 是菱形，14=BD , ∴14==BD AB

∴16=AH ，4

49

=

AG ． ………………………………………4分 ∴4

15

=

-=AG AH GH ．………………………………………5分 24．（1）733 ……………………………………………………………………1分 （2）例如：统计表如下：

25．（1）证明：连接OD ，AD ，

∵AC 为⊙O 的直径，

∴∠ADC =90°． 又∵AB =AC ，

∴CD =DB ．又CO =AO ，

∴OD ∥AB ． ……………………1分 ∵FD 是⊙O 的切线，

∴OD ⊥DF ． ∴FE ⊥AB ．……………2分

（2）解：∵30C ∠=?，∴60AOD ∠=?

（3）在Rt △ODF 中，90ODF ∠=?， ∴30F ∠=?．

∴1

2

OA OD OF ==

在Rt △AEF 中，90AEF ∠=?，

∵EF =

AE =． ……………………………………3分 ∵OD AB ∥，OA OC AF ==

∴2OD AE ==

2AB OD ==……………………………………………4分

∴EB = …………………………………………………5分

26．解：2a <-； ……………………………………………………………2分

解决问题：将原方程转化为a x x =+-342

·

设函数3421+-=x x y ，a y =1，………………………………3分

记函数1y 在40<

结合图象可知

3<．……………………………………5分

27142

++x 经过点()65-，A ∴120256+-=m ∴1=m ……………………………1分 ∴142

++=x x y

∴()322

-+=x y

∴抛物线的顶点坐标是()3,2--．……………………3分 （2）∵直线1y x =-+与直线3y x =+相交于点()2,1- ∴两直线的对称轴为直线1x =- ．……………………4分

∵直线1y x =-+与直线3y x =+关于抛物线C ：142++=x mx y 的对称轴对称 ∴124

-=-

m

∴2=m ．………………………………5分 （3） 43≤

28．（1）补全图形，如图1所示．

…………………………………1分

（2）ABF ∠与CBE ∠的数量关系：45ABF CBE ∠+∠=?． ………2分

证明：连接BF ，EF ，延长DC 到G ，使得AF CG =，连接BG …3分

∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB BC =，90A BCD ABC ∠=∠=∠=?

∴△BAF ≌△BCG ．

∴BG BF =，ABF CBG ∠=∠． ∵EF CE AF =+，

∴EF GE =． ……………………4分 ∴△BEF ≌△BEG ．

∴∠FBE =∠CBE ABF MBE ∠+∠=．

∴45ABF CBE ∠+∠=?． ………………5分 （3）求解思路如下：

a ．设正方形的边长为3a ，AF 为x ，则EF x a =+，3DF a x =-；

b ．在Rt △EFD 中，由222EF DF DE =+,、 可得()()()2

2

2

32x a a x a +=-+ 从而得到x 与a 的关系23x a =； c ．根据cos ∠FED 2DE a

EF x a

=

=+，可求得结果．………7分 29．解：（1）4，3． ………………………2分

（2）设点(),26D x x -+．

①当0x ≤时，4,26x y l x l x =-=-+． ∵x

y l l =，

∴624+-=-x x ，

M

E A C D B

∴02>=x （舍去）．

②当04x <<时，4,26x y l l x ==-+．

∵x

y l l =，

∴624+-=x ， ∴1=x 或5=x （舍去）． ∴()1,4D ．

③当4x ≥时，,26x y l x l x ==-． ∵x

y l l =，

∴62-=x x ， ∴6=x ． ∴()6,6D -．

综上满足条件的D 点的坐标为()1,4或()6,6-．……6分

（3） 1

02

a ≤<． …………………8分