三角形的证明(一)

第1讲 三角形的证明（一）

【教学目标】

.理解掌握等腰三角形的性质和判定，能熟练结合全等三角形进行相关的计算和证明．

【教学重难点】

等腰三角形的性质和判定

考点：等腰三角形

知识点与方法技巧梳理：

1．全等三角形的判定：(1)_________；(2)_________；(3)_________；(4)_________；(5)_________．

2．等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的两腰______．等腰三角形的两底角______，可以简述为____________________．

(2)等腰三角形顶角的_________、底边上的_________、底边上的_________互相重合．也称为等腰三角形的“_____________”．

(3)等边三角形是特殊的______三角形，所以_______具有的性质等边三角形都具有，而且等边三角形三边都______，三个内角也都______，并且都等于______°．

3．等腰三角形的判定

(1)有__________相等的三角形是等腰三角形；

(2)有__________相等的三角形是等腰三角形，可以简述为___________________________．

(3)三边________三角形是等边三角形；

(4)三个角________三角形是等边三角形；

(5)有一个角是______°的______三角形是等边三角形；

(6)有两个角是______°的三角形是等边三角形．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的________．

(7)构造等腰三角形，常用的构造方法有：

①“角平分线＋平行线”构造等腰三角形；

②“角平分线＋垂线”构造等腰三角形；

③用“垂直平分线”构造等腰三角形；

④用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形．

【例1】（2014海门期末）已知：OC 平分∠AOB ，MN ∥OB ，求证：MO ＝MN ．

备课：_________________________________________________________

【变式】（2016成华区期中）已知△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝10cm ．BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，EF ∥BC ，且EF 过点D ，求△AEF 的周长．

备课：____________________________________________________

A

O B C M N A B C E F D

【例2】（2014泰兴校级期中）已知点D是等边△ABC外的一点，∠BDA＝60°，求证：BD＋CD＝AD．

备课：_____________________________________________________________________________________ 【变式1】如图，在△ABC中，AD是中线，BF交AC于F，交AD于E，F A＝FE．求证：BE＝AC．

延长ED至G，使DG＝DE，连接CG，证BG＝GC＝AC

备课：_____________________________________________________________________________________

【变式2】（2015青山区期末）如图，△DEF中，∠D＝2∠E，F A⊥DE于点A，试判断DF、AD、AE间的数量关系．

DF+AD＝AE，理由：在AE上取一点B，使AB＝AD，连接BF．易证FD＝FB，∵∠FBD是△BEF 的外角，易证∠E＝∠BFE，∴BE＝BF，∴AE＝AB＋BE＝AD＋DF

【例3】如图，边长为1的正方形ABCD内有一等边△EBC，连接BD、ED，求△BDE的面积．

过E作EH⊥DC于H，则S△BDE＝S△EBC＋S△CDE－S△BDC＝3－1

4

A

B C

D

A

B C

D

E

F

D

E F

A

B

D

E F

A

E

A D

B C

【变式】（2015武侯区期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，点E 在线段BD 上，过点E 作BC 的垂线，交AB 于点G ，交CA 的延长线于点F ．若GE ＝3，AD ＝5，则FE ＝____________．

过A 作AH ⊥FE 于H ，证明AF ＝AG 则FH ＝HG ＝HE －GE ＝AD －GE ＝2

∴FE ＝7

【例4】（2016南开区期中）如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，直线AN 、MC 交于点E ，直线BM 、CN 交于点F ．

（1）求证：△ACN ≌△MCB ；

（2）求证：△CEF 是等边三角形；

（3）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第

（1）、（2）两小属结论是否仍然成立（不要求证明）．

(1)△ACN ≌△MCB (SAS)；(2)再证△CNE ≌△CBF (ASA)得CE ＝CF ；(3)结论(1)成立，结论(2)不成立．

备课：_____________________________________________________________________________________

【变式】（2014滨湖区校级期末）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

（1）特殊情况，探索结论

当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：

AE __________DB （填“＞”，“＜”或“＝”）

（2）特例启发，解答题目：

解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE __________DB （填“＞”，“＜”或“＝”）．

图2 M N

E F A C B N C M A B 图1 图

2

A D C

B E 图1 A B

C E

D F

G A B C

E D

F

G H

理由如下：如图2，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ．（请你继续完成未完成的解答过程）

（3）拓展结论，设计新题：

在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED ＝EC ．若△ABC 的边长为1，AE ＝2，求CD 的长．（请你直接写出结果）

（1）＝；（2）＝．易证CF ＝BE ，∴△EFC ≌△DBE （AAS ）；（3）3或1．

备课：_____________________________________________________________________________________

【家庭作业】

1．（2013贵阳）如图，在第1个△ABA 1中，∠B ＝20°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；……，按此做法进行下去，第n

个三角形的以A n 为顶点的内角的度数为_____________°．80·(12)n -1．

2．（2014庆阳）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 和BE 两条高交于点H ，且AE ＝BE ，求证：AH ＝2BD ．

由△AHE ≌△BCE （ASA ），得AH ＝BC ＝2BD

备课：_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________ A D C B E F 图2 B

A A 1 A 2 A 3 A 4

C

D E A B C D E H